动能定理（讲义）解析版

5.2功能定理

出知识填充

一、动能

।.定义：物体由于运动而具有的能。

2.公式：Ek=1/nv2,u为瞬时速度，动能是状态量。

22

3.单位：焦耳,1J=1N•m=1kg•m/so

4.标矢性：动能是标量,只有正值。

5.动能的变化量：△&=氏2—Ek1=/冠一o

二、动能定理

1.内容：合外力对物体所做的功等于物体效能的变化。

2.表达式：W=△反='也一；〃八九

3.物理意义：金丝垃对物体做的功是物体动能变化的量度。

4.适用条件

(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。

上考点速查

热点题型一对动能定理的理解及应用

【题型要点】1.对“外力”的两点理解

(1)“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同

时作用，也可以不同时作用。

(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力。

2.公式卬令=八反中"=''体现的三个关系

L①因果关系：W台是引起物体动能变化的原因

三个关系——②数量关系：W合=

—@单位关系：W合与的单位相同

【典例1】（全国卷1改编・18）如图，。儿是竖直面内的光滑固定轨道，，活水平，长度为2R;be

是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于〃点.一质量为〃？的小球，始终受到与重力大小相

等的水平外力的作用，自。点处从静止开始向右运动.重力加速度大小为g.小球从。点开始运

动到其轨迹最高点，机械能的增量为（）

A.2mgRB.4mgR

C.5nigRD.6mgR

【答案】C

【解析】小球从〃运动到c,根据动能定理，得F.3R—〃igR=%m*,又F=，ng,ii.v\=2y[gRf

小球离开C点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动.且水平

方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g,故小球从c点到最高点所用的时间

水千位移x=^gr=2R,根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为力产做的功，

即△E=F（2R+/?+x）=5〃2gR。

【变式1]（2021•江苏卷・7）（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，。点为

弹簧在原长时物块的位置.物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到

达B点.在从A到B的过程中，物块（）

A0B

A.加速度先减小后增大B.经过。点时的速度最大

C.所受弹簧弹力始终做正功D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功

【答案】AD

【解析】A对，B错：由A点开始运动时，F#＞尺,合力向右，小物块向右加速运动，弹簧压

缩量逐渐减小，尸*减小，由F弹一R=〃也知，。减小；当运动到尸汴=R时，。减小为零，此

时弹簧仍处于压缩状态，由于惯性，小物块继续向右运动，此时尸"6,小物块做减速运动,

且随着压缩量继续减小，£存与a差值增大，即加速度增大；当越过o点后，弹簧被拉伸，此

时弹力方向与摩擦力方向相同，有用+R=〃4,随着拉伸量增大，〃，也增大.故从A到8过

程中，物块加速度先减小后增大，在压缩状态尸律=4时速度达到最大.C错：在A0段物块

运动方向与弹力方向相同，弹力做正功，在08段运动方向与弹力方向相反，弹力做负功.D

对：由动能定理知，A到B的过程中，弹力做功和摩擦力做功之和为0。

热点题型二动能定理的基本应用

1.应用流程

解

方

阶

分

或

段

确定研究程

过

全

、

得

列

对象和研程

出

程

究过程方

结

果

2.注意事项

(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物

体为参考系.

(2)应用动能定理的关键在于湮确分析研究对象的受力情况及运动情况,可以画出运动过程的

草图，借助草图理解物理过程之间的关系.

⑶当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定

理.

(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根

据结果加以检脸.

【典例2】(2018•高考全国卷HI)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道48c和水

平就道出在A点相切，5c为圆弧轨道的直径，O为圆心，04和03之间的夹角为G,sina

=：一质量为机的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；

在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用.已知小球在

。点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零.重力加速度大小为g.求

c

/〃〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃»〃〃〃〃〃B〃/〃

A

(1)水平恒力的大小和小球到达c点时速度的大小;

(2)小球到达4点时动量的大小;

(3)小球从。点落至水平轨道所用的时间.

【解析】(1)设水平恒力的大小为R),小球到达C点时所受合力的大小为E由力的合成法则有

Fo

©

产=(〃2g产+用②

设小球到达。点时的速度大小为v,由牛顿第二定律得

F=nrR③

由①②③式和题给数据得

.3

后=心吆④

v~2'⑤

(2)设小球到达A点的速度大小为力，作CD_L%,交玄于。点，由几何关系得

DA=Rsina⑥

CZ)=/?(1+cosa)⑦

由动能定理有

1

-⑧

—mgCD—FoDA—2

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为

,n\j23gR

p=tnv\=?⑨

(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖

直方向的初速度为Vx,从。点落至水平轨道上所用时间为/.由运动学公式有

Vi=vsina®

由⑤⑦⑩皿和题给数据得

【变式2](2021・上海模拟・19]如图所示，与水平面夹角9=37。的斜面和半径R=0.4m的光滑

圆神道相切于〃点，且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A点由静止释放，经3点后沿圆

轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零.已知滑块与斜面间动摩擦因数〃=0.25.(g

取lOm/s2,sin37°=0.6,cos370=0.8)求：

(1)滑块在C点的速度大小vc;

(2)滑块在B点的速度大小

(3)4、8两点间的高度差〃.

2

【解析】(1)对C点，滑块竖直方向所受合力提供向心力加g=管

vc-yjgR~2m/s

(2)对过程，由动能定理得

——〃zgR(l+cos37°)=vi-vi

VB=+2gK(l+cos37)々4.29m/s

(3)滑块在A—8的过程，由动能定理得

h__1.

mgh-jumgcos37°-sin37。-2W一°n

代人数据解得gl.38m

【答案】⑴2m/s(2)4.29m/s(3)1.38m

【变式3】如图所示，半径为厂的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质

量为m的物块从圆弧轨道A端正上方。点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨

道并做勺速圆周运动，到△点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g,不

计空气阻力，不计物块的大小，则：

(1)物块到达八点时的速度大小和小问的高度差分别为多少？

⑵物块从A运动到8所用时间和克服摩擦力做的功分别为多少？

【答案⑴折；⑵久〃⑹'

【解析】(1)设物块在B点时的速度为也由牛顿第二定律得：FN—〃7g=〃7?

因为“N=2〃7g,所以v=y[gt',

因为物块从A点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块到达A点时速度大小为赤•:

设方间的高度差为/?,从尸到A的过程由动能定理得：〃所以〃=；.

7ir

2

(2)因为物块从A点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块从A运动到8所用时间t-=

从A运动到B由动能定理有：〃侬-W/=(),解得：Wa=mgr.

热点题型三应用动能定理求解多过程问题

【题型要点】1.多过程问题的分析方法

⑴将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程''间由"衔接点”连接。

(2)对各“衔接点'’进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。

⑶根据"子过程'’和"衔接点的模型特点选择合理的物理规律列方程。

(4)分析“衔接点''速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。

(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。

2.利用动能定理求解多过程问题的基本思路

末初

曲

明合外力,

动

状

究

分段态

研分析

做的总-W^=E,-E

差

能

象

之

对受力tu

硒功

【典例3】(高考全国卷IH改编)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，

还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用.距地面高度〃在3m以内时，物体

上升、下落过程中动能以随力的变化如图所示.重力加速度取1()m/s2.该物体的质量为()

C.1kgD.().5kg

【答案】C

【解析】设物体的质量为〃?，则物体在上升过程中，受到竖直向下的重力mg和竖直向下的恒

定外力F,由动能定理结合题图可得一(〃吆+7^)x3m=(36—72)J;物体在下落过程中，受到竖

直向下的重力mg和竖直向上的恒定外力F,再由动能定理结合题图可得(〃zg—F)x3m=(48—

24)J,联立解得m=1kg、F=2N,

选项C正确，A、B、D均错误。

【变式4](2021•陕西省宝鸡市一中模拟)A、B两物体分别在水平恒力”和3的作用下沿水平

面运动，先后撤去B、尸2后，两物体最终停下，它们的1，一，图象如图所示.已知两物体与水

平面间的滑动摩擦力大小相等.则下列说法正确的是()

o2b3«oC

A.Q、Fi大小之比为1：2B.为、6对A、3做功之比为1:2

C.A、8质量之比为2：1D.全过程中A、8克服摩擦力做功之比为2：1

【答案】C

【解析】由速度与时间图象可知，两个匀减速运动的加速度之比为1：2,由牛顿第二定律可

知：A、8受摩擦力大小相等，所以A、8的质量关系是2：1,由速度与时间图象可知，A、B

两物体加速与减速的位移相等，且匀加速运动的位移之比为1:2,匀减速运动的位移之比为2：

1,由动能定理可得：A物体的拉力与摩擦力的关系，Fi-x-/i-3x=0-0;B物体的拉力与摩擦

力的关系，F2-2A—^-31=0-0,因此可得：Fi=3/i,/2=/,力=力，所以Fi=2B.全过程中

摩擦力对A、8做功相等，乃、后对4、3做功大小相等，故A、B、D错误，C正确.

【变式5】如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到4点，04之间

的水平面光滑，固定曲面在8处与水平面平滑连接.之间的距离s=lm.质量机=0.2kg

的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数4=0.4.现洽物块一个

水平向左的初速度vo=5m/s,g取10m/s2.

(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能EP;

(2)求物块返回8点时的速度又小；

(3)若物块能冲上曲面的最大高度〃=0.2m,求物坎沿曲面上滑过程所产生的热量.

【答案(1)1.7J(2)3m/s(3)0.5J

【解析】(1)对小物块从3点至压缩弹簧最短的过程，由动能定理得，

一"mgs-W比弹=0-pnvo2

代人数据解得6=1.7J

(2)对小物块从B点开始运动至返回B点的过程，由动能定理得，

0_12_12

代人数据解得Vfi=3m/s

(3)对小物块沿曲面上滑的过程，

由动能定理得一W免f—mg/?=0—vir

产生的热量Q=Wj=0.5J.

热点题型四动能定理与图象的综合问题

【题型要点】1.解决图象问题的基本步骤

(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.

(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.

(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截

距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特

定莅代入函数关系式求物理量.

2.图象所围“面积”的意义

(14一，图象：由公式x=W可知，图线与，坐标轴围成的面积表示物体的位移.

(2)。一/图象：由公式AIHS叶知，。一，图线与，坐标轴国成的面积表示物体速度的变化量.

(3)F—大图象：由公式W=EE可知，/一x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功.

(4)P—f图象：由公式W=P/可知，P—/图线与/坐标轴围成的面积表示力所做的功.

【典例4】(2021•北京海淀区模拟)(多选)如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面

上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高力处由繇止释放.某同学在研究小球落到弹簧上后

继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴

Ox,作出小球所受弹力尸大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻

力，重力加速度为&以下判断正确的是()

A.当犬=/?+2xo时，小球的动能最小

B.最低点的坐标X=/?+2.YO

C.当x=〃+2xo时，小球的加速度为一g