2023-2024学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合1．已知全集U＝Z，集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（∁UA）∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1} C．{0，1} D．{2}2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lgx B．y＝x3 C． D．y＝2x+2﹣x3．若，则tan2θ＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．已知a＝log50.5，b＝50.5，c＝0.50.6，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．函数的图象的一条对称轴是（）A． B．x＝0 C． D．6．设x∈R，则“x（1+x）＞0”是“0＜x＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则＝（）A． B． C．2 D．38．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）A． B．1 C． D．9．已知函数，g（x）＝x2﹣4x﹣4．设b∈R，若存在a∈R，使得f（a）+g（b）＝0，则实数b的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，5]10．已知点集A＝{（x，y）|x∈Z，y∈Z}，S＝{（a，b）∈A|1≤a≤5，1≤b≤5}．设非空点集T⊆A，若对S中任意一点P，在T中存在一点Q（Q与P不重合），使得线段PQ上除了点P，Q外没有A中的点，则T中的元素个数最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知函数f（x）＝sinπx+cosπx，则f（x）的最小正周期是．12．已知单位向量，满足•（+2）＝2，则向量与的夹角为．13．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为，能说明“若d＜0，则数列{Sn}是递减数列”为假命题的一组a1，d的值依次为．14．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长．将圆心角α所对的弦长记为crdα．如图，在圆O中，60°的圆心角所对的弦长恰好等于圆O的半径，因此60°的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60°＝60．若θ为圆心角，（0°＜θ＜180°），则crdθ＝．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上（包括边界）的动点，且B1D⊥MN，给出下列四个结论：①动点N的轨迹是一段圆弧；②动点N的轨迹与CD1没有公共点；③三棱锥N﹣B1BC的体积的最小值为；④平面BMN截该正方体所得截面的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为，满足a2＝6，S3＝26．（1）求{an}的通项公式及Sn；（2）若Sn+an＞2024，求n的最小值．17．在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：；条件②：a+b＝12；条件③：c＝12．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝BC＝2，．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小；（Ⅲ）求点C到平面PAB的距离．19．已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）在区间上的最小值和最大值；（Ⅱ）若，求证：f（x）在x＝0处取得极小值．20．已知函数f（x）＝mxlnx﹣x2+1（m∈R）．（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）试比较ln4与的大小，并说明理由．21．已知是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i＜s≤m，1≤j＜t≤m时，记d（ai，j，as，t）＝|ai，j﹣as，j|+|as，j﹣as，t|．设n∈N*，若Am满足如下两个性质：①ai，j∈{1，2，3；⋯，n}（i＝1，2，⋯，m；j＝1，2，⋯，m）；②对任意k∈{1，2，3，⋯，n}，存在i∈{1，2，⋯，m}，j∈{1，2，⋯，m}，使得ai，j＝k，则称Am为Γn数表．（1）判断是否为Γ3数表，并求d（a1，1，a2，2）+d（a2，2，a3，3）的值；（