2023-2024学年福建省福州四中高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年福建省福州四中高二（上）期中数学试卷一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）2．双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x3．若直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0与直线（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直．则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣4．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0 B．x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0 C．x2+y2﹣4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣2x﹣4y＝05．方程+＝10，化简的结果是（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝16．如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设，若可用表示为（）A． B． C． D．7．若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A． B．t C．2t D．4t8．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2．若AB∥PF1，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）（多选）9．下列说法正确的是（）A．设，是两个空间向量，则，一定共面 B．设a，，是三个空间向量，则，，一定不共面 C．设，是两个空间向量，则 D．设，，是三个空间向量，则（多选）10．已知直线l：（1+2λ）x+（1﹣λ）y﹣3﹣3λ＝0（λ∈R），圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2（a≠0），下列说法正确的是（）A．圆C的圆心为C（﹣2，﹣1），半径r＝a B．直线l与圆相交且平分圆C的面积与周长 C．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则λ＝0 D．若直线l的倾斜角为，则λ＝1（多选）11．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（）A．当点P在侧面BB1C1C上时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积为定值 B．存在这样的点P，使得 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．当时，点P的轨迹长度为（多选）12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为A2D2的中点，则下述选项正确的是（）A．平面B1GD1⊥平面AA2C1 B．三棱锥D1﹣B1CG的体积为 C．平面BC2D与平面B1GD1夹角的正弦值为 D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面上三点A（﹣1，1），B（﹣5，4），C（4，1），则在上的投影向量的坐标为．14．已知方程+＝1表示椭圆，则实数k的取值范围．15．若直线ax+y﹣1＝0与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，则a的取值范围是．16．如图，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作直线与C交于Q点，且＝，若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为．四、解答题（共6小题）17．已知点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）．（1）求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程：（2）求△ABC的面积．18．已知椭圆C：的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，过F的直线与椭圆C交于A、B两点，若直线AB倾斜角为，求线段AB长度．19．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y﹣10＝0，直线l与圆C相交于P，Q两点．（1）求|PQ|的最小值；（2）当△CPQ的面积最大时，求直线l的方程．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．21．已知F1是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）O为坐标原点，直线l过点F1且与椭圆相交于P，Q两点，过点F1作EF1⊥PQ，与直线x＝﹣3相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切