2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|﹣x2+x+6≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+zA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件4．（5分）已知α为锐角，cosα=1+54A．3−58 B．−1+58 C．5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3logb10的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．106．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种7．（5分）已知向量a→=（2，1），a→+bA．110b→ B．−110b8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的平均数＜众数＜中位数 C．图（2）的众数＜中位数＜平均数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)ex，则gA．在区间（a，b）上是减函数 B．在区间（a，b）上是增函数 C．在x＝a时取极小值 D．在x＝b时取极小值（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：“乙分配到B学校”，则（）A．事件M与N互斥 B．P(M)=1C．事件M与N相互独立 D．P(M|N)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝．13．（5分）(1−yx)(x+y)8的展开式中x214．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f(x−32)=−f(x)，且f(x+34)为奇函数，f四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax−bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4（1）求f（x）的解析式；（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)=4cosxsin(x−π6)的最大值为f（1）求角A；（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且AD=7，AB=17．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：150≈若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1，0]内的最大值．19．（17分）为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：（单位：只）药物M疾病A合计未患病患病未服用1545服用45合计25（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828

2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|﹣x2+x+6≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．【答案】A【分析】先确定集合M，再求M∩N．【解答】解：∵﹣x2+x+6≤0，∴x2﹣x﹣6≥0，（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝{x|x≥3或x≤﹣2}，M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝{﹣2}．故选：A．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+zA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：∵i（1﹣z）＝1，∴1−z=1i=−i，即z∴z+z故选：D．3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】D【分析】利用共面的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出结论．【解答】解：空间中不过同一点的三条直线l，m，n，若“l，m，n两两相交”，则“l，m，n共面”，反之不成立，l，m，n可能相互平行，∴“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件，故选：D．4．（5分）已知α为锐角，cosα=1+54A．3−58 B．−1+58 C．【考点】半角的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】D【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．【解答】解：cosα=1+则cosα=1−2sin故2sin2α2=1﹣cos∵α为锐角，∴sinα∴sinα2故选：D．5．（5分）已知a＞1，b＞1，a＝b3，则lga+3logb10的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．【答案】B【分析】根据条件知lga＞0，lgb＞0，并得出lga+3log【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0，又∵a＝b3，∴lga+3logb10=3lgb+3lgb∴lga+3logb10的最小值为6．故选：B．6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】B【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A2甲站在两端的情况有C2∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．7．（5分）已知向量a→=（2，1），a→+bA．110b→ B．−110b【考点】平面向量的投影向量．【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可得．【解答】解：因为向量a→=（2，1），a→向量a→在b→方向上的投影向量为故选：D．8．（5分）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】C【分析】由题意得a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，构造函数f（x）＝x﹣lnx，x∈（0，+∞），则f'（x）＝1−1x=x−1x，可得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b【解答】解：a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，即a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，令f（x）＝x﹣lnx，x∈（0，+∞），则f'（x）＝1−1由f'（x）＝0得x＝1，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（a）＝f（5），f（b）＝f（4），f（c）＝f（3），5＞4＞3＞1，则f（5）＞f（4）＞f（3），即f（a）＞f（b）＞f（c），∵a，b，c∈（0，1），∴a＜b＜c．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．（多选）9．（6分）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的平均数＜众数＜中位数 C．图（2）的众数＜中位数＜平均数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数【考点】频率分布直方图的应用．【答案】ACD【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断．【解答】解：图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，A正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)ex，则gA．在区间（a，b）上是减函数 B．在区间（a，b）上是增函数 C．在x＝a时取极小值 D．在x＝b时取极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】BC【分析】根据所给函数图象得到f（x）﹣f′（x）的符号，对函数g（x）进行求导，进而可得函数g（x）的单调性和极值，结合选项进行分析即可．【解答】解：由图象知，当x＜a时，f（x）﹣f′（x）＞0；当a＜x＜b时，f（x）﹣f′（x）＜0；当x＞b时，f（x）﹣f′（x）＞0，已知g(x)=f(x)ex可得g′(x)=f′(x)−f(x)因为ex＞0，所以当x＜a时，g′(x)=f′(x)−f(x)ex＜0，当a＜x＜b时，g′(x)=f′(x)−f(x)ex＞0，当x＞b时，g′(x)=f′(x)−f(x)ex＜0，所以函数g（x）在x＝a处取得极小值，在x＝b处取得极大值，故选：BC．（多选）11．（6分）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人．设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：“乙分配到B学校”，则（）A．事件M与N互斥 B．P(M)=1C．事件M与N相互独立 D．P(M|N)=【考点】互斥事件与对立事件；条件概率．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答．【解答】解：对于A，甲分配到A学校的事件与乙分配到B学校的事件可以同时发生，即事件M与N不互斥，A错误；对于B，甲分配到A，B，C三个学校是等可能的，则P(M)=13，对于C，由选项B知，P(N)=13，P(MN)=1+C21C21C42A因此事件M与N相互不独立，C错误；对于D，由选项BC知，P(M|N)=P(MN)P(N)=故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x，则f（0）＝．【考点】基本初等函数的导数．【答案】﹣2．【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数f（x），再求函数值作答．【解答】解：由函数f（x）＝f'（0）e2x﹣e﹣x求导得：f'（x）＝2f'（0）e2x+e﹣x，当x＝0时，f′（0）＝2f′（0）+1，解得f'（0）＝﹣1，因此f（x）＝﹣e2x﹣e﹣x，所以f（0）＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）(1−yx)(x+y)8的展开式中x2【考点】二项式定理．【答案】﹣28．【分析】化简已知关系式为：(1−yx)(x+y)8=(x+y【解答】解：由已知可得(1−y所以由二项式定理可得多项式(1−yx)(x+y)8的展开式中含x2(1−yx)(x+y)8的展开式中故答案为：﹣28．14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f(x−32)=−f(x)，且f(x+34)为奇函数，f【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．【答案】﹣1．【分析】依题意，可得y＝f（x）是以3为周期的函数，且关于点（34，0）成中心对称，结合题意可求得f【解答】解：∵f(x−32∴f（x﹣3）＝f（x），即f（x+3）＝f（x），②∴定义在R上的函数y＝f（x）是以3为周期的函数．又f(x+3∴函数y＝f（x）关于点（34∴f（x）+f（32−x由①②得：f（﹣1）＝﹣f（−52）＝﹣f（∴f（12）＝1，代入③，有f∴f（﹣1）+f（0）+f（1）＝﹣1+2﹣1＝0．∴i=12023f(i)=674×（f（1）+f（2）+f（3））+f故答案为：﹣1．四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（理）已知函数f（x）＝ax−bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4（1）求f（x）的解析式；（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0，建立方程，可求得a＝1，b＝3，从而可得f（x）的解析式；（2）求出切线方程，从而可计算切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积．【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）＝a+b∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0．∴f（2）=1∴a+b4=7∴a＝1，b＝3∴f（x）的解析式为f（x）＝x−3（2）设（x0，x0−3x0）为曲线f（x∴切线方程为y﹣（x0−3x0）＝（1+3x0令x＝0，可得y=−6x0由切线方程与直线y＝x联立，求得交点横坐标为x∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值12×|2x0|×|16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)=4cosxsin(x−π6)的最大值为f（1）求角A；（2）若点D在BC上，满足BC＝3DC，且AD=7，AB=【考点】解三角形．【答案】（1）A=π（2）a=3，b=23【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简f（x）表达式，然后利用三角函数的性质与特殊角的三角函数值，求出角A的大小；（2）根据平面向量的基本定理、向量数量积的公式，求得AC长，再利用余弦定理求得BC长，最后由勾股定理的逆定理判断出角B、C的大小，可得答案．【解答】解：（1）由f(x)=4cosxsin(x−π由三角函数的性质，可得2A−π6=结合A∈（0，π），取k＝0，得A=π（2）如图所示，可得AD→所以AD→由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC＝12+3﹣6＝9，解得a＝3，由此可得a2+c2＝12＝b2，所以B=π2，C综上所述，a=3，b=2317．（15分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：150≈若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX＝np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为：x=s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．18．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）当a≥0时，求f（x）在（﹣1，0]内的最大值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【答案】（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）0．【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得f′(x)=ex+x2−1(1+x)ex，由x＞0可得（1+x）（2）由题意可得f′(x)=ex+a(1−x2)(1+x)ex=Q(x)(1+x)ex，利用导数讨论函数Q（【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f(x)=ln(1+x)−xex，f′(x)=ex+当x＞0时，ex＞1，x2＞0，则ex+x2﹣1＞0，即f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）f′(x)=1令Q（x）＝ex+a（1﹣x2），则Q′（x）＝ex﹣2ax，由x∈（﹣1，0]且a≥0，可得﹣2ax≥0，ex＞0，则Q′（x）＞0，Q（x）在（﹣1，0]内单调递增，所以Q(x)＞Q(−1)=1又当x∈（﹣1，0]时，（1+x）ex＞0，所以f′（x