2023-2024学年福建师大二附中高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年福建师大二附中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．设复数z满足z+i＝4﹣i，则＝（）A．4﹣2i B．4+2i C． D．2．已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果为U的是（）A．M∪N B．（∁UN）∪（∁UM） C．M∪（∁UN） D．N∪（∁UM）3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x的值为（）A．2 B． C．2或﹣ D．﹣2或﹣4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A． B． C． D．5．若（2﹣x）10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A+B+C＝（）A．4095 B．4097 C．﹣4095 D．﹣40976．已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣ B． C．﹣4 D．47．已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy﹣7＝0，则x+y的最小值为（）A．3 B． C．4 D．68．设数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an+an+2＝2an+1+2，若[x）表示大于x的最小整数，如[2）＝3，[﹣2.1）＝﹣2，记，则数列{bn}的前2022项之和为（）A．4044 B．4045 C．4046 D．4047二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．已知直线l：（a2+a+1）x﹣y+1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．当a＝﹣1时，直线l与直线x+y＝0垂直 B．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0 C．直线l过定点（0，1） D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等（多选）10．已知函数，则（）A．f（x）的最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）在区间上单调递减（多选）11．已知同底面的两个正三棱锥P﹣ABC和Q﹣ABC均内接于球O，且正三棱锥P﹣ABC的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（）A．PA∥平面QBC B．设三棱锥Q﹣ABC和P﹣ABC的体积分别为VQ﹣ABC和VP﹣ABC，则VQ﹣ABC＝4VP﹣ABC C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍 D．二面角P﹣AB﹣Q的正切值为（多选）12．已知函数f（x）＝exln（1+x），则（）A．函数y＝f（x）的零点是（0，0） B．不等式f（x）＞0的解集是（0，+∞） C．设g（x）＝f'（x），则g（x）在[0，+∞）上不是单调函数 D．对任意的s，t∈（0，+∞），都有f（s+t）＞f（s）+f（t）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且6，a2，a5成等差数列，则S5＝．14．若，则＝．15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有种．（用数字作答）16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，线段F1P与y轴交于点Q，若|PQ|＝2|QF1|，且△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c＝﹣3bcosA．（1）求的值；（2）若c＝2，，求△ABC的面积．18．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝5，S9＝9，数列bn＝|an|（1）求{an}的通项公式（2）求数列bn的前n项和Tn．19．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x（单位：kg）近似服从正态分布N（0.4，σ2），如图G4﹣1所示，已知P（x＜0.1）＝0.1，P（x＜0.3）＝0.3．（1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在（0.5，0.7]内的概率；（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在[0.3，0.7]内的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．重量范围（单位：kg）[0.1，0.3）[0.3，0.5）[0.5，0.7]个数24220．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点．且＝λ．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为，求λ的值．21．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：△AOB的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形