2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第7讲 余弦定理、正弦定理应用举例

第五章三角函数、解三角形第7讲余弦定理、正弦定理应用举例能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_______的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如点B的方位角为α(如图②)．上方下方3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为东北方向、西南方向等．(1)北偏东α，即由__________________________到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由__________________________到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．指北方向顺时针旋转α指北方向逆时针旋转α4．坡角与坡度(1)坡角：____________所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与___________之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．坡面与水平面水平长度1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(

)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°解析：由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.4.如图，若为测量隔湖相望的A，B两地之间的距离，某同学任意选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是________．②③5.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为________m/s.核心考向突破考向一

测量距离问题距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确．②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．考向二

测量高度问题处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古．如图，在滕王阁旁边水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．考向三

测量角度问题解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．课时作业3.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝100cm，BC＝100cm，AB＝180cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(

)A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.626．(2025·四川成都诊断考试)如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得A1B1＝80米，CC1＝86米，∠C1A1B1＝48.60°，∠A1C1B1＝30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据：tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750)(

)A．268米 B．265米C．266米 D．267米7．(2025·福建名校联盟质检)“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部B在同一平面内的两个测量基点C与D.现测得∠CBD＝30°，CD＝23.8m，在C点测得雕塑顶端A的仰角为45°，在D点测得雕塑顶端A的仰角为30°，则雕塑的高度AB＝(

)A．47.6m B．35.7mC．23.8m D．11.9m11．某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角∠ACB＝α，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案是(

)A．如图①所示，从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出∠ADB＝βB．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠ACD＝β，∠ADC＝γ，CD＝a米C．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠BDC＝β，CD＝a米D．如图③所示，从过点C的直线上(不过点B)另选点D，E，测量出CD＝2DE＝a米，∠ADB＝β，∠AEB＝γ4430°14．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长200mm，曲柄CB长70mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为________mm.(结果精确到1，参考数据：sin53.2°≈0.8)36四、解答题15.如图所示，A，B，C为三个村庄，AB＝7km，AC＝5km，BC＝8km.(1)求∠ACB；(2)若村庄D在线段BC的中点处，要在线段AC上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，求该最小值．16．如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解：(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.又α＝45°，∴CD＝AC＝4.17．滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边A与B两点之间的距离，在岸边选取C，D两点，现测得AD＝20km，CD＝28km，∠DAC＝60°，∠CAB＝15°，∠ABC＝120°.(1)求AC的长；(2)求AB的长．18．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．