2027届新高三数学热点复习函数的对称性

2027届新高三数学热点复习函数的对称性

答案：C

答案：A

答案：D解析：因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x－2|与y=f(x)图象的交点也关于直线x＝2对称，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D.

跟踪训练已知函数y＝f(3－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝a对称，则a＝________．答案：1解析：设点P(x0，y0)是函数y＝f(3－x)图象上的任意一点，则有y0＝f(3－x0)，又点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点Q(2a－x0，y0)在y＝f(1＋x)的图象上，∴y0＝f(1＋x0)＝f[1＋(2a－x0)]，即有f[1＋(2a－x0)]＝f(3－x0)，∴1＋2a－x0＝3－x0，∴a＝1.

真题探源

(源自人教A版必修一P87T13改编)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数y＝x3－3x2图象的对称中心为________．答案：(1，－2)

答案：B

答案：B解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．学霸笔记：(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心点B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.跟踪训练

(2026·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2025)＝2，则f(3)＝(

)A．1 B．－1C．0 D．－3

答案：C解析：由y＝f(x)－1为奇函数有f(－x)＋f(x)＝2，y＝f(x＋1)为偶函数有f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(x)＝f(2－x)，所以有f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2⇒f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)函数f(x)的周期为T＝4，所以f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2，又f(1)＋f(3)＝2⇒f(3)＝0.故选C.1．已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(

)A．0.5 B．1C．1.5 D．2答案：D解析：依题意，在函数y＝|x|的图象上取点A(0，0)，点A关于直线x＝1的对称点A′(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上，则有|2－m|＝0，解得m＝2，此时函数y＝|x－m|即y＝|x－2|，相当于将函数y＝|x|的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意．故选D.

答案：C解析：设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x的图象关于直线x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C.3．已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，当0<x≤2时，f(x)＝2x，则f(6)＝(

)A．2 B．－2C．－4 D．4答案：C解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)关于直线x＝2对称，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(－4＋2)＝f(－2)＝－f(2)．∴f(6)＝－f(2)＝－22＝－4.故选C.

答案：D

5．(2026·绥化模拟)已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(

)A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(1)<f(－1)<f(2)D．f(2)<f(1)<f(－1)答案：B解析：因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以对∀x∈R，f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，又因为y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)<f(2)<f(3)＝f(－1)．故选B.6．(2026·沈阳模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x)图象关于直线x＝2对称．当x∈[0，2]时，f(x)＝x，则f(13)＝(

)A．1 B．－1C．2 D．－2

答案：B解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(2＋x)＝f(2－x)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，所以f(13)＝f(5＋8)＝f(5)＝f(－3＋8)＝f(－3)＝－f(3)，而f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，又因为当x∈[0，2]时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，即f(3)＝f(1)＝1，所以f(13)＝－f(3)＝－f(1)＝－1.故选B.7．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(

)A．(－1，4) B．(－1，－4)C．(1，4) D．(1，－4)答案：A

答案：B

答案：ABD

10．设函数f(x)＝2x-1＋21-x，则下列说法错误的是(

)A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)为奇函数C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1，0)对称答案：ABD

答案：BC

12．已知奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(m)＝3，则f(m－4)的值为________．答案：－3解析：∵奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，