2027届新高三数学热点突破复习解析几何

2027届新高三数学热点突破复习解析几何提能训练练案[59][审题破题]

(1)围绕椭圆基本量a，b，c的关系，通过离心率、长轴长直接计算．(2)利用“直线与圆锥曲线相交”的通法(联立→根与系数的关系→弦长/距离公式→面积公式)，将几何条件转化为代数方程求解，核心公式串联与方程思想．[解析]

(1)第1步：根据长轴长求a的值由2a＝4，得a＝2，

(1分)第2步：根据离心率及a，b，c之间的关系求b的值得分保障：得分点：第(1)问根据离心率与长轴长及a，b，c的关系求出a，b的值得4分，求出椭圆C的方程得1分．第(2)问设出直线方程，代入椭圆方程并整理得出一元二次方程得2分，利用Δ>0得到k2(或k)的范围并得到根与系数的关系得3分，写出三角形的面积公式并计算出k2的值得3分，写出弦长公式和正确计算结果各得1分．失分分析：①第(1)问未写b与c的值直接写出C的方程会被扣分．②第(2)问联立方程后方程计算错误得0分(没有步骤分)，容易漏掉判断Δ>0而失分，或者没有利用三角形的面积公式会被扣步骤分．时间分配建议：优先保证第(1)问完整计算出椭圆方程(约3～4min)，第(2)问留足10min细心运算，避免因粗心或跳步失分，确保两问13分稳妥拿下．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|·|AP|＝3.(ⅰ)设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；(ⅱ)设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．【关键一步：线段长度的乘积如何运用？常规思路是用两点间的距离公式，但计算很大，再看看题目给点R在射线AP上这个条件，想到使用向量的数量积计算，将模长计算与坐标运算相结合，就更方便了】【共线条件如何转化？共线这个条件正常就用斜率(斜率存在)转化较为简单，如果用向量，写起来就相对麻烦了】【如何消元？这也是本题的一个难点，这里很关键的一点是将y＋1作为整体代入消元，这样计算量就小很多】【轨迹方程的几何意义？借助点P的轨迹为圆，很快就能想到要转换，否则两个动点间距离的最值问题很难求解】即m2＋(n＋4)2＝18. (12分)【圆上的点为何转换为圆心？这应该是高中数学中一个较为常见的问题，看到椭圆上的点应该能很快想到三角换元(或椭圆的参数方程，其本质上是同解三角函数的平方关系，这在高考中经常使用)，求最值时变量越少，思维就越简单，计算才会越方便】由题设Q(3cosθ，sinθ)，K(0，－4)， (14分)则|KQ|2＝(3cosθ)2＋(sinθ＋4)2＝－8sin2θ＋8sinθ＋25，【代数换元转化为二次函数？这里不进行代数换元也可以，但换了之后书写更方便，同时借助二次函数求最值也更加方便】得分保障：得分点：第(1)问的关键是计算准确．第(2)(ⅰ)问正确利用点在射线上，|AP|·|AR|＝3得到两个关于m，n，x，y的关系式得4分，正确得到x，y关于m，n的表达式得1分，写出结论得1分；第(2)(ⅱ)问由斜率间的关系得出m，n满足的关系式得2分，将两个动点间的距离转化为一个定圆圆心到椭圆上动点距离的最值得3分，后面的计算得2分．失分点：第(1)问未设同一参数，计算不方便．第(2)(ⅰ)问中不知道将|AP|·|AR|转化为向量运算，而是直接用两点间的距离公式计算，难度很大；第(2)(ⅱ)问不会将两个动点间的距离问题转化为一个定点到动点的距离问题，而是直接运算，难度很大．[命题人思维破译]第(2)(ⅰ)问中将线段长度的乘积问题转化为向量问题能有效简化运算，对学生的思维要求很高；第(2)(ⅱ)问如果没有将两个动点的距离的最值问题转化为定点到动点的距离的最值问题，而是直接计算两个动点的距离的最大值，则难度较大．(1)求C的方程；(2)已知点M0(1,4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．(2)第1步：求出线段F1M0的垂直平分线方程如图，∵F1(－1,0)，M0(1,4)，∴线段F1M0的中点坐标为(0,2)，kF1M0＝2，第2步：将线段F1M0的垂直平分线的方程代入椭圆C的方程，证明恰有一个公共点第4步：根据Δ＝0，得M的轨迹方程由题意知Δ＝16(X＋1)2(X2＋Y2－1)2－4[3Y2＋4(X＋1)2]·[(X2＋Y2－1)2－12Y2]＝0， (12分)化简得(X2＋Y2－1)2－12Y2－16(X＋1)2＝Y4＋(2X2－14)Y2＋(X2＋2X＋1)(X2－2X－15)＝[(X＋1)2＋Y2][(X－1)2＋Y2－16]＝0，因为(X＋1)2＋Y2>0，所以(X－1)2＋Y2＝16(Y≠0)．

(15分)第6步：总结综上，M的轨迹为圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2＝16. (17分)解法二：记线段F1M的垂直平分线l与C的唯一公共点为P，①当点P不在C的长轴上时，如图，连接PF1，PM，PF2，记MF1的中点为E，线段F1M的垂直平分线l即C在点P处的切线，也为∠F1PM的平分线，则∠F1PE＝∠EPM，|PF1|＝|PM|，作∠F1PF2的平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l，∴∠F1PE＋∠F1PH＝90°，则∠F2PH＋∠EPM＝90°，故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°，∴M、P、F2三点共线，∴|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆(不包含(5,0)和(－3,0)两点)．

(15分)②当点P在C的长轴上时，M点的坐标为(5,0)或(－3,0)，也满足|MF2|＝4. (16分)综上，点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2＝16.(17分)得分保障：第(3)问若能想到利用椭圆的光学性质可以大大减少计算量，从而避免因计算错误而失分．提能训练练案[59](1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M(2,0)作不与坐标轴平行的直线l交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线AE与直线BD相交于P点．①求证：点P在定直线上；②求△PAB面积的最大值．(1)求椭圆C的方程；(2)过动点P(4，m)作椭圆C的切线，切点为A，B，A在x轴上方．(ⅰ)证明：直线AM与直线BN的斜率之比为定值；(ⅱ)若m＝4，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线，交AE于点F，DF交AB于点G，此时DG＝FG，求满足条件的所有直线PD的斜率．4．(2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2,0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点Q(4,0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由．[解析]

(1)设动圆圆心(x，y)，当x≠0时，即y2＝4x；当x＝0时，点C的轨迹为点(0,0)，满足y2＝4x.综