陕西榆林市靖边县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含详解）

陕西榆林市靖边县第一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，若，则（

）A． B．2 C． D．2i2．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（

）A． B． C． D．3．已知，是坐标原点，则（

）A． B． C． D．4．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A． B． C． D．6．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．7．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则A．90 B．60 C．45 D．308．设，且，则的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．二、多选题9．已知向量，，，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为钝角，则 D．在上的投影向量为10．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（

）

A．水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH的面积不改变C．棱始终与水面EFGH平行 D．当时，是定值11．如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（

）A．与平面所成的角为B．异面直线与所成角的正弦值为C．二面角的余弦值为D．点到平面的距离为三、填空题12．已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是__________.13．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为______.四、解答题15．设复数．(1)若是实数，求；(2)若是纯虚数，求．16．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．17．如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.18．在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．(1)求角；(2)若，求周长的取值范围．19．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离.参考答案1．B【详解】解：，则．故选：B．2．A【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误，C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆台，下方为圆锥，与题设不合，故C错误.3．D【详解】故选：4．A【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，故选：A5．D【详解】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，，故选D.6．C【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.7．D【详解】由正弦定理及得,因为，所以；由余弦定理、三角形面积公式及，得,整理得，又,所以,故.故选D8．C【详解】记，，，对应的点为，则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．故选：C．9．BD【详解】对于A：因为，所以，解得，故A错误；对于B：若，则，即，所以，即，解得，故B正确；对于C：当时，，此时与的夹角为，故C错误；对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BD10．ACD【详解】由长方体可得，面面，所以面面，因为BC固定于地面上，所以面，因为，所以面，根据线面平行的性质定理可得，所以，所以在倾斜过程中，始终为棱柱，所以A正确.由A可知，四边形为平行四边形，因为长方体可得面，所以，因为，所以，所以四边形为矩形，可知在倾斜过程中长度不变，但是随着倾斜加重，长度变大，所以面积会改变，所以B错误.由A可知，面，面，所以始终与水面EFGH平行，C正确.因为水的体积不变，即四棱柱体积不变，棱柱高不变，所以底面积不变，即四边形，因为，所以四边形为直角梯形，所以上下底不变，所以D正确.故选：ACD.11．ACD【详解】在三棱锥中，由，为的中点，得,由，得点在平面上的射影到三顶点的距离相等，即点在平面上的射影为点，因此平面，对于A，是与平面所成的角，而为正三角形，则，A正确；对于B，由点是的中点，得，则是异面直线与所成的角，而，，则，B错误；对于C，取中点，连接，则，是二面角的平面角，，C正确；对于D，由选项C，得平面，而平面，则平面平面，在平面内过点作于，而平面平面，则平面，，因此点到平面的距离为，D正确.故选：ACD12．【详解】的直观图如下图所示：设，，，对应地，在中，，，，则.故答案为：.13．【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．14．【详解】如图，由余弦定理得，，又，两式相加得，即，化简得，所以.

故答案为：15．(1)；(2).【详解】（1）由，得，而是实数，于是，解得，所以．（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，所以．16．(1)(2)【详解】（1）由，可得，所以，因为，所以，所以，因为，所以；（2）由（1）知，在三角形中，由余弦定理得，又因为，所以，又，所以，解得，所以.17．(1)(2)【详解】（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.18．(1)；(2).【详解】（1）因，，则，而，且向量，的夹角为，则，因此，在锐角中，，则，解得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，则，，而，由锐角得，，即有，显然有，于是得，有，，所以周长的取值范围为.19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【详解】证明：取中点，连接，．在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．（2）在正方形中，．又由题知，直线，在平面内，且