专题强化三：抛物线的标准方程及几何性质必刷题 （原卷版）

专题强化三：抛物线的标准方程及几何性质必刷题【题型归纳】题型一：抛物线的定义1．（2023·全国·高二）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（

）A． B． C． D．题型二：抛物线的标准方程4．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．5．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条C．连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则D．点到直线的最短距离为6．（2023春·福建泉州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．题型三：抛物线的几何性质7．（2018春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则A． B． C． D．8．（2017秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A． B． C． D．9．（2020春·广东·高二统考期末）已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型四：抛物线的对称性问题10．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（

）A． B． C． D．11．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2017春·湖南益阳·高二桃江县第一中学校考期中）已知是抛物线：上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则A． B．C． D．题型五：抛物线的最值问题13．（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．11 D．2614．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．15．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则（

）A．焦点到准线的距离为1 B．焦点，准线方程为C． D．的最小值是5题型六：抛物线的综合问题16．（2023秋·高二课时练习）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.(1)证明：直线过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.17．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积.18．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．【专题训练】一、单选题19．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．220．（2023秋·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．421．（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．22．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（

）A． B．5 C． D．1523．（2023春·云南保山·高二校联考期末）过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（

）A． B． C．1 D．224．（2023春·福建厦门·高二统考期末）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（

）

A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m25．（2023秋·全国·高二期中）已知O为坐标原点，M为抛物线C：上一点，直线l：与C交于A，B两点，过A，B作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（

）（1）；（2）若点，且直线AM与BM倾斜角互补，则；（3）点P在定直线上；（4）设点，则的最小值为3．A．1 B．2 C．3 D．426．（2023春·陕西宝鸡·高二校联考期末）已知抛物线：与圆：在第一象限交于，两点，设关于轴的对称点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．227．（2023春·山西大同·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题28．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（

）A． B．以MF为直径的圆与轴相切C． D．29．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（

）A． B．三点A、O、共线C．原点O可能是的重心 D．可能是正三角形30．（2023春·福建福州·高二校考期中）已知为抛物线上一动点，则（

）A．准线为l：B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C．点P到直线距离的最小值等于D．的最小值为631．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设线段的中点为P，以线段为直径的圆P交y轴于M，N两点，过P且与y轴垂直的直线交抛物线于点H，则（

）A．圆P与抛物线的准线相切 B．存在一条直线l使C．对任意一条直线l有 D．有最大值，且最大值为32．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．存在某条直线，使得D．若点，则周长的最小值为三、填空题33．（2023秋·吉林长春·高二长春市实验中学校考期末）已知抛物线的图像过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为.34．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点．35．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知椭圆：，抛物线：，两者的一个交点为，点.定义.若与交于，两点，则周长的取值范围为.36．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是.①若点，则的最小值是3②的最小值是2③若，则直线的斜率为④过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为四、解答题37．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.38．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.39．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）抛物线的准线被圆截得的弦长为．(1)求的值；(2)过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过原点．40．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．41．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．(1)求抛物线C的