2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b﹣i）i，若z＝a+bi，则的虚部是（）A．2 B．1 C．﹣2i D．2i2．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则a＝（）A．6 B． C．8 D．3．（5分）公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（）A．8 B．9 C．10 D．114．（5分）函数的图像大致为（）A． B． C． D．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点（|AN|＜|NM|），若存在实数λ和μ，使得，则λ+μ＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），当x∈[﹣3，0）时，f（x）＝2x+sin，则f（2023）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣7．（5分）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则φ的值为（）A． B． C． D．8．（5分）给定函数f（x）＝（x+1）ex﹣a（a∈R），若函数f（x）恰有两个零点，则a的取值范围是（）A． B．a≥0 C． D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（）A．若，则 B．＝ C．若向量是非零向量，则与方向相同 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使（多选）10．（5分）已知向量，设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）的图象可以由y＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到（多选）11．（5分）已知数列{an}满足，则（）A．an＝2n+2 B．{an}的前n项和为n（n+3） C．{（﹣1）nan}的前100项和为﹣100 D．{|an﹣10|}的前20项和为284（多选）12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）有极小值 B．函数f（x）在x＝1处切线的斜率为4 C．当时，f（x）＝k恰有三个实根 D．若x∈[0，t]时，，则t的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知等差数列{an}满足a1＝2，a2+a4＝a6，则公差d＝．14．（5分）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为．15．（5分）已知，则cos（2α+2β）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数b的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求的值．（2）若△ABC的面积S＝3，且b＝2，求△ABC的外接圆半径R．18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1．（1）证明数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．19．（12分）如图，五面体P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD＝，PD＝BC＝CD＝AD，AP⊥PD．（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男16女50总计（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82821．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝2x﹣3．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）＝g（x0）．22．（12分）已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦长为2．（1）求椭圆C2的方程；（2）过点F作斜率为k的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，且与同向．（i）当直线l绕点F旋转时，判断△OAB的形状；（ii）若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．

2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b﹣i）i，若z＝a+bi，则的虚部是（）A．2 B．1 C．﹣2i D．2i【考点】共轭复数；虚数单位i、复数；复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，先求出a，b，再结合共轭复数、以及复数虚部的定义，即可求解．【解答】解：a﹣2i＝（b﹣i）i＝1+bi，则，故z＝1﹣2i，，其虚部为2．故选：A．2．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则a＝（）A．6 B． C．8 D．【考点】正弦定理．【答案】A【分析】由同角的平方关系和正弦定理求解．【解答】解：由得．由正弦定理得＝．故选：A．3．（5分）公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】等比数列的性质．【答案】C【分析】由已知结合等比数列的性质可得a1a10＝9，又a1am＝9，得a1a10＝a1am，从而得到m＝10．【解答】解：在等比数列{an}中，由a5a6+a4a7＝18，得2a1a10＝18，∴a1a10＝9，又a1am＝9，∴a1a10＝a1am，则m＝10．故选：C．4．（5分）函数的图像大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，判断当x∈（0，1）时函数值的大小进行排除即可求得答案．【解答】解：函数y＝f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝＝＝f（x），故函数是偶函数，故排除选项AC；当x∈（0，1）时，y＜0，故排除选项D．故选：B．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点（|AN|＜|NM|），若存在实数λ和μ，使得，则λ+μ＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】根据题意，有＝﹣＝﹣＝（+）﹣＝（+）﹣＝﹣+，从而可确定λ与μ的值，可由计算出λ+μ．【解答】解：根据题意，＝﹣，又N是AM的一个三等分点（|AN|＜|NM|），所以＝，则＝﹣＝（+）﹣；由于在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，有＝，所以＝（+）﹣＝﹣+，所以λ+μ＝﹣+＝﹣．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），当x∈[﹣3，0）时，f（x）＝2x+sin，则f（2023）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣【考点】函数的周期性．【答案】D【分析】令x＝﹣2，可得f（1）＝﹣f（﹣2）；由f（x+3）＝﹣f（x），得出函数的周期；化简f（2023）并代入解析式求值即可．【解答】解：由已知，令x＝﹣2，可得f（1）＝﹣f（﹣2）；由f（x+3）＝﹣f（x），可得f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），即函数f（x）的周期为6；则f（2023）＝f（6×337+1）＝f（1）＝﹣f（﹣2）＝﹣[2﹣2+sin（﹣）]＝﹣（﹣）＝﹣+，故选：D．7．（5分）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则φ的值为（）A． B． C． D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】D【分析】先由相邻对称轴间的距离判断出最小正周期，由此得到ω＝6，再结合正弦函数的对称性运算即可．【解答】解：由f（x）＝2sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以ω＝6，f（x）＝2sin（6x+φ），又因为其关于点对称，，即，则，解得，且，所以．D正确．故选：D．8．（5分）给定函数f（x）＝（x+1）ex﹣a（a∈R），若函数f（x）恰有两个零点，则a的取值范围是（）A． B．a≥0 C． D．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】求导，根据导数符号可得出f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，从而得出x＝﹣2时，f（x）取最小值，从而得出a应满足，然后解出a的范围即可．【解答】解：f′（x）＝（x+2）ex，∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞﹣2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x＝﹣2时，f（x）取最小值，∵x→﹣∞时，f（x）→﹣a；x→+∞时，f（x）→+∞，∴要使f（x）有两个零点，需满足，解得．故选：C．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（）A．若，则 B．＝ C．若向量是非零向量，则与方向相同 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使【考点】向量相等与共线；充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模．【答案】BCD【分析】根据向量的基本概念与运算性质，对选项中的命题进行分析，由此确定正确选项．【解答】解：对于A，因为向量不能比较大，所以由，不能得出，选项A错误；对于B，因为﹣﹣﹣＝﹣﹣＝（﹣）﹣＝﹣＝，所以选项B正确；对于C，向量是非零向量时，与方向相同，选项C正确；对于D，根据向量的共线定理知，与共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使，选项D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知向量，设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）的图象可以由y＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性．【答案】AC【分析】由题意，根据两个向量的数量积公式求得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于向量，函数＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，故函数f（x）的最小正周期为＝π，故A正确．令x＝，求得f（x）＝1，可得f（x）的图象关于点（，1）对称，故B错误．令x＝，求得f（x）＝3，为最大值，可得f（x）的图象关于直线对称，故C正确．把y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象，再向上平移1个单位得到y＝2sin（2x+）+1的图象，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知数列{an}满足，则（）A．an＝2n+2 B．{an}的前n项和为n（n+3） C．{（﹣1）nan}的前100项和为﹣100 D．{|an﹣10|}的前20项和为284【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】ABD【分析】选项A，利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）的思想，运算得解，注意检验n＝1的情形；选项B，由等差数列的求和公式，即可得解；选项C，利用分组求和法，即可得解；选项D，易知数列{an﹣10}的前3项为负数，从第4项开始为非负数，设数列{an﹣10}的前n项和为Tn，则所求和为T20﹣2T3，代入运算，得解．【解答】解：选项A，因为，所以当n＝1时，a1＝4；所以当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n，两式相减得，2n﹣1an＝（n+1）•2n，所以an＝2n+2（n≥2），当n＝1时，a1＝4，满足上式，所以an＝2n+2，即选项A正确；选项B，因为an＝2n+2，所以数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，所以{an}的前n项和为＝＝n（n+3），即选项B正确；选项C，设{（﹣1）nan}的前100项和为S100，则S100＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣…﹣a99+a100＝﹣4+6﹣8+10﹣…﹣200+202＝2+2+…+2＝2×＝100，即选项C错误；选项D，令an﹣10＝2n+2﹣10≥0，则n≥4，所以数列{an﹣10}的前3项为负数，从第4项开始为非负数，设数列{an﹣10}的前n项和为Tn，则Tn＝n（n+3）﹣10n＝n2﹣7n，所以数列{|an﹣10|}的前20项和为﹣T3+（T20﹣T3）＝T20﹣2T3＝（202﹣7•20）﹣2（32﹣7•3）＝284，即选项D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）有极小值 B．函数f（x）在x＝1处切线的斜率为4 C．当时，f（x）＝k恰有三个实根 D．若x∈[0，t]时，，则t的最小值为2【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】AD【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，极值，最值，从而判断各个选项即可．【解答】解：∵函数，∴f′（x）＝，f′（x）＞0⇒﹣2＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＞2或x＜﹣2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，∴函数f（x）有极小值，故A正确；又f′（0）＝4，∴函数f（x）在x＝0处切线的斜率为4，故B错误；又f（﹣2）＝﹣2e2，f（2）＝，且当x＞2时，f（x）＞0，当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，画出函数y＝f（x）的图像，如图示：∴当时，f（x）＝k可能有一个实根、两个实根、三个根，故C错误；由图知，若x∈[0，t]时，，则t≥2，故t的最小值是2，故D正确．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知等差数列{an}满足a1＝2，a2+a4＝a6，则公差d＝2．【考点】等差数列的通项公式．【答案】见试题解答内容【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{an}中，由a1＝2，a2+a4＝a6，得2a1+4d＝a1+5d，即4+4d＝2+5d，得d＝2．故答案为：2．14．（5分）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为（﹣3，﹣4）．【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（﹣3，﹣4）．【分析】由投影向量定义直接求解即可．【解答】解：由＝（3，4），可得||＝5，由定义，在方向上的投影向量为：＝＝（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．15．（5分）已知，则cos（2α+2β）＝．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】．【分析】由两角和与差的正弦公式，结合二倍角公式求解即可．【解答】解：已知，则，cosαsinβ＝，即，则sin（α+β）＝，则cos（2α+2β）＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数b的取值范围为（，2）．【考点】函数零点的判定定理．【答案】见试题解答内容【分析】函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有四个零点可化为函数y＝f（x）+f（2﹣x）与y＝b的图象有四个交点，从而化简y＝f（x）+f（2﹣x）＝，作图象求解．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（2﹣x）＝，∵函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有四个零点，∴方程f（x）﹣g（x）＝0有四个解，即f（x）+f（2﹣x）﹣b＝0有四个解，即函数y＝f（x）+f（2﹣x）与y＝b的图象有四个交点，y＝f（x）+f（2﹣x）＝，作函数y＝f（x）+f（2﹣x）与y＝b的图象如下，，f（）+f（2﹣）＝f（）+f（2﹣）＝，结合图象可知，＜b＜2，故答案为：（，2）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求的值．（2）若△ABC的面积S＝3，且b＝2，求△ABC的外接圆半径R．【考点】解三角形；两角和与差的三角函数；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式变形，化为含有cosA的三角函数求解；（2）由题意利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求a的值，进而利用正弦定理即可求解得△ABC的外接圆半径R的值．【解答】解：（1）因为，所以＝+2cos2A﹣1＝（1+cosA）+2cos2A﹣1＝（1+）+2×﹣1＝；（2）因为b＝2，，所以sinA＝＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＝3，解得c＝5，所以由余弦定理可得a＝＝＝，所以由正弦定理可得△ABC的外接圆半径R＝＝＝．18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1．（1）证明数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义和通项公式运算求解；（2）由（1）可得，利用错位相消法运算求解．【解答】（1）证明：由题意：（常数），且a1+1＝2≠0，则数列{an+n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）解：由（1）可得：，则，两边同乘得：，作差得，所以．19．（12分）如图，五面体P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD＝，PD＝BC＝CD＝AD，AP⊥PD．（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，CF，由三角形中位线定理证明BE∥CF，即可得到BE∥平面PCD；（2）方法一、以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；方法二、以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可．【解答】（1）证明：取PD的中点F，连接EF，CF，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且EF＝AD；∵BC＝AD，BC∥AD，∴EF∥BC且EF＝BC；∴BE∥CF．又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD；（2）解：方法一、以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC＝1，则P（0，0，0），A（0，，0），D（1，0，0），C（1，0，1），B（，，1），＝（0，，0），＝（，﹣，1），＝（1，﹣，0）．设平面PAB的一个法向量为n＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，﹣1）．同理可求平面ABD的一个法向量为＝（3，，0）．cos＜＞＝＝．平面ABD和平面ABC为同一个平面，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；方法二、以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC＝1，则P（，，0），A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，0，1），B（1，0，1），＝（，﹣，0），＝（﹣1，0，1），设平面PAB的一个法向量为＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（1，，1）．易知平面ABC的一个法向量为＝（0，1，0）．∴cos＜＞＝＝．∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男16女50总计（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【答案】（1）a＝0.005；（2）列联表见解析，有；（3）分布列见解析，3．【分析】（1）由题意，根据频率和为1，列方程即可求出a的值；（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；（3）将晋级失败的频率估计概率，得到，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．【解答】（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，所以10（2a+0.020+0.030+0.040）＝1，解得a＝0.005；（2）易知晋级成功的频率为0.20+0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25，列联表如下：晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男163450女94150总计2575100此时，所以有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）由（2）知晋级失败的频率为，将频率视为概率，若从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，此时，则，，，，，所以X的分布列为：X01234P故．21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝2x﹣3．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）＝g（x0）．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而函数的最大值即可；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣3x+3，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x3﹣x，得f'（x）＝3x2﹣1，…（1分）所以f'（1）＝2，又f（1）＝0…（3分）所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣0＝2（x﹣1），即：2x﹣y﹣2＝0．…（4分）（Ⅱ）令f'（x）＝0，得．…（5分）f（x）与f'（x）在区间[0，2]的情况如下：xf'（x）