2027届高考数学一轮总复习3.1导数的概念及运算（课件）

第三章导数及其应用考点真题示例考向6年考频核心素养导数的概念及运算2025全国一卷，12求某点处的切线方程7考数学运算直观想象2024新课标Ⅱ，16(1)2021新高考Ⅱ，162022新高考Ⅱ，14过某点的切线方程2022新高考Ⅰ，152021新高考Ⅰ，72024新课标Ⅰ，13公切线问题考

情

清

单考点真题示例考向6年考频核心素养导数与函数的单调性2022新高考Ⅱ，22(1)不含参函数的单调性6考数学抽象数学运算逻辑推理2021新高考Ⅱ，22(1)2021新高考Ⅰ，22(1)2022新高考Ⅰ，7利用单调性比较大小2023新课标Ⅰ，19(1)讨论含参函数的单调性2023新课标Ⅱ，6已知单调性求参考点真题示例考向6年考频核心素养利用导数研究函数的性质2024新课标Ⅰ，10三次函数的性质3考数学运算2024新课标Ⅱ，112022新高考Ⅰ，10导数与函数的极(最)值2025全国二卷，13已知极值求参7考数学运算逻辑推理2024新课标Ⅱ，16(2)2023新课标Ⅱ，112023新课标Ⅱ，22(2)2025全国一卷，19已知最值求参2022新高考Ⅰ，22(1)2021新高考Ⅰ，15求函数最值考点真题示例考向6年考频核心素养导数与函数不等式2022新高考Ⅱ，22(2)恒成立问题求参6考数学运算逻辑推理2024新课标Ⅰ，18(1)(3)2023新课标Ⅰ，19(2)利用最值证明不等式2023新课标Ⅱ，22(1)2022新高考Ⅱ，22(3)利用放缩法证明不等式2021新高考Ⅰ，22(2)构造函数证明不等式考点真题示例考向6年考频核心素养导数与函数零点2025全国二卷，18函数的零点个数问题3考数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，22(2)2021新高考Ⅱ，22(2)【命题形式】本章知识内容丰富，题目难度跨度较大，出题形式常常是一大一小．重点考查内容有：①利用导数的几何意义求曲线的切线方程；②利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题；③利用导数解决不等式恒成立问题、不等式证明问题；④利用导数研究函数零点问题．在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化以及有关不等式证明问题的处理方法．重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的应用．第一讲导数的概念及运算知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率2．导数的概念(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝__________________.瞬时变化率3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝______(C为常数)；(2)(xn)′＝_________(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝_________；(4)(cosx)′＝___________；(5)(ax)′＝_________；(6)(ex)′＝______；(7)(logax)′＝______；(8)(lnx)′＝______.0nxn－1cosx－sinxaxlnaex4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________________.特别地：[C·f(x)]′＝___________(C为常数)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．yx′＝yu′·ux′知识点二导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_____________________________.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)归

纳

拓

展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(

)(4)(2x)′＝x·2x－1.(

)(5)[ln(－x)]′＝(lnx)′.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×[解析]

(1)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．(2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数值，而[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，即[f(x0)]′＝0.题组二走进教材2．(选择性必修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是(

)[答案]

D3．(选择性必修2P81习题T6改编)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，则f(x)＝(

)A．x3－15x B．x3＋15xC．x3＋9x D．x3－9x[答案]

A[解析]

因为f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，所以f′(x)＝3x2＋f′(1)＋f′(2)，故f′(1)＝3＋f′(1)＋f′(2)，f′(2)＝12＋f′(1)＋f′(2)，则f′(2)＝－3，f′(1)＝－12，故f(x)＝x3－15x.故选A.题组三走向考场4．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________.[答案]

4[解析]

解法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0,5)，因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4.5．(多选题)(2026·陕西商洛模拟)过点(1,0)向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是(

)A．2x－y－2＝0 B．3x－y－3＝0C．x＋4y－1＝0 D．2x＋y－2＝0[答案]

AC考点突破·互动探究导数的基本运算——自主练透1．(多选题)下列求导正确的是(

)A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2D．sin2x＝cos2x[答案]

AB2．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；[解析]

(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.3．(2026·常州质检)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为________.名师点拨：导数的运算方法1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.导数的几何意义——多维探究角度1求切线的斜率或切线方程A．2x－2y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0[答案]

C[答案]

x－ey＝0名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．角度2导数的几何意义如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(

)A．1 B．0C．2 D．4[答案]

A角度3求参数的值(或范围)A．1 B．0C．－1 D．－2[答案]

C【变式训练】[答案]

B2．(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－1[答案]

C3．(角度3)(2026·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[答案]

B名师讲坛·素养提升公切线问题的模型求解曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2025·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(

)[答案]

C[引申]本例中两曲线公切线方程为________________．[答案]

y＝2x＋1－ln2名师点拨：【变式训练】(2026·河北邯郸期中)已知函数f(x)＝mx＋lnx，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________.提能训练练案[15]A组基础巩固一、单选题A．0 B．2C．－2 D．－4[答案]

C2．(2026·甘肃白银三模)如果质点按规律s(t)＝2t2－t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在2s末的瞬时速度为(

)A．8m/s B．7m/sC．6m/s D．5m/s[答案]

B[答案]

DA．x＋πy＋π＝0 B．x＋πy－π＝0C．2x＋πy－π＝0 D．x＋π2y－π＝0[答案]

C5．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(

)A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)[答案]

A6．(2026·河南模拟)已知曲线f(x)＝(x＋k)ln(x＋k)的一条切线的方程为y＝x，则实数k＝(

)A．0 B．1C．－1 D．e[答案]

B[解析]

y＝x与f(x)的图象相切，设切点为(x0，x0)，则f′(x0)＝1＋ln(x0＋k)＝1，故x0＋k＝1，由f(x0)＝x0，即(x0＋k)ln(x0＋k)＝x0，将x0＋k＝1代入上式，得x0＝0，故k＝1.故选B.[答案]

B[答案]

A二、多选题9．(2025·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是(

)[答案]

ACD[答案]

BCD11．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(

)A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)有两个零点D．f(x)是偶函数[答案]

AC三、填空题[答案]

y＝2ex＋e13．(2026·吉林长春模拟预测)若函数f(x)＝(x2＋ax＋1)ex在x＝0处的切线与直线2x－y＋2＝0平行，则实数a＝________.[答案]

1[解析]

因为f(x)＝(x2＋ax