北师大版小学数学三年级寒假自学导学案：两位数除以一位数的算理探究与应用

北师大版小学数学三年级寒假自学导学案：两位数除以一位数的算理探究与应用

  一、顶层设计与理念阐述

  本导学案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为根本宗旨，聚焦于“数的运算”这一关键内容领域。针对三年级学生从直观思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，本设计超越对“算法”（如何算）的机械训练，深化对“算理”（为什么这样算）的本质理解。我们秉持“学生是学习主体”的建构主义理念，将寒假自学情境转化为一个结构化、引导式的探究旅程。设计融合了跨学科视野（如与分物活动、简单经济模型建立联系），强调在真实或拟真的问题情境中，引导学生通过操作、猜想、验证、表达、应用等一系列数学化的活动，自主建构两位数除以一位数（包括整除和有余数）的知识体系，深刻理解除法运算的两种现实模型（等分除、包含除），掌握竖式计算的标准程序与灵活策略（如估算、试商），同步提升运算能力、推理意识、模型意识和应用意识。本导学案旨在为学生提供一份兼具系统性、探究性与支持性的自学框架，使之在脱离课堂实时互动的环境下，依然能经历高质量的数学思考过程，实现认知结构的深化与迁移。

  二、学情深度分析

  学习本专题前，学生已有的认知结构包括：熟练掌握表内乘除法，能够快速进行相关口算；初步理解了除法的意义，能运用除法解决简单的等分实际问题；具备利用小棒、方块等直观模型进行平均分操作的经验；掌握了整十数除以一位数的口算方法（如60÷3=20）；接触过简单的有余数除法情境（表内范围）。同时，潜在的学习障碍与生长点亦需明晰：其一，从“实物操作分”到“符号抽象算”之间存在思维跨度，部分学生可能仅记住算法步骤而不解其理；其二，面对非整十的两位数（如52÷4），如何将其分解为可计算的部分（转化为已学的整十数除以一位数和表内除法）是认知关键；其三，竖式书写格式的规范性及其每一步与操作过程的对应关系，是理解的难点亦是重点；其四，“余数必须比除数小”这一核心规则的理解，需从操作局限上升为逻辑必然；其五，在自学环境中，学生可能缺乏及时的反馈和深入的讨论，容易形成理解孤岛或思维定式。因此，本设计将通过精心编排的“脚手架”问题链、可视化思维工具和分层练习，引导学生自我监控思考过程，突破这些节点。

  三、学习目标体系（素养导向）

  1.知识与技能维度：在具体情境中，进一步理解除法的意义。探索并掌握两位数除以一位数（商是两位数且没有余数，以及有余数）的竖式计算方法，明确书写格式与每一步的含义。能结合分物的过程，解释竖式计算的算理。理解并牢固掌握“余数必须比除数小”的规则。能正确、熟练地进行计算，并初步形成估算习惯，能判断商的大致范围。

  2.过程与方法维度：经历“问题情境—动手操作—算式抽象—算法探究—总结提炼”的完整学习过程。学会运用小棒图、方块图等直观模型辅助思考与解释。在尝试、交流（即使是与文本或自我对话）、比较、优化中，发展归纳与演绎的推理能力。学会利用已有的知识（整十数除以一位数、表内除法）解决新问题的迁移策略。

  3.情感态度与价值观维度：体验通过自主探究克服困难、获得数学结论的成就感，增强自学数学的信心。感受除法与日常生活的紧密联系，体会数学的实用价值。在严谨的计算和问题解决中，初步养成认真、细致、有条理的学习品质和反思习惯。

  四、学习重点与难点剖析

  *学习重点：两位数除以一位数竖式计算的算理理解与算法掌握。重点体现在将分物的过程与竖式计算的每一步动态关联，理解从高位除起的必要性，以及每一次商的位置和含义。

  *学习难点：理解竖式计算中分层处理的思维过程（先分整捆的，再分单根的），特别是当十位除后有余数时，如何将其与个位上的数结合继续除。对“余数必须比除数小”的算理本质理解（即：如果余数大于或等于除数，说明还可以继续分）。

  五、核心素养渗透点

  *运算能力：不仅追求计算的准确与速度，更强调根据算理选择合理算法，理解算法背后的道理，并能通过估算进行结果合理性的判断。

  *推理意识：在从具体操作到抽象算法的过程中，进行逻辑推理。例如，从“4捆零8根小棒平均分给3个人”的操作，推理出“先分捆（40÷3），每份1捆，剩1捆拆开与8根合起来再分（18÷3）”的算式逻辑。

  *几何直观：利用小棒图、点子图、长方形面积模型等直观手段，将抽象的除法计算过程可视化，辅助理解与解决问题。

  *模型意识：识别不同情境（如平均分配物品、求一个数包含几个另一个数）背后相同的除法模型，并运用该模型进行求解。

  *应用意识：有意识地用除法运算解决寒假生活中可能遇到的真实或模拟问题，如分配任务、规划阅读、预算零花钱等。

  六、教学（自学）资源与环境准备建议

  1.核心学习材料：本导学案文本、北师大版三年级数学上册及下册相关章节（预习与回顾）、自备练习本（作为“数学探究日志”）。

  2.操作与直观工具：至少40根小棒（可用棉签、吸管代替）及橡皮筋、方格纸、彩色笔。

  3.信息技术支持：（可选）可使用带有绘图功能的平板电脑记录分物过程；或利用数学教育APP中的虚拟教具进行动态演示。

  4.环境要求：安静、整洁的学习空间，便于进行操作活动。

  七、教学实施过程详细设计（学生自学活动流程与指导）

  第一阶段：情境唤醒与自主初探(预估时间：60分钟)

  活动1.1：故事开场——分“智慧果”

  *情境创设：想象你是一位小小志愿者，负责将收获的“智慧果”（用圆点或小棒代表）公平地分给学习小组的伙伴。今天遇到了两个任务。

  *任务A（整除情境）：现有48个智慧果，要平均分给2个小组，每个小组能分到多少个？还剩几个？

    请你这样做：

    1.动手分一分：拿出你的48根小棒（4捆，每捆10根，和8根单的），试着平均分给2个“小组”（可以画两个圆圈代表）。记录下你是怎么分的。是先分捆的还是先分单根的？分的过程顺利吗？

    2.画图表征：在你的“数学探究日志”上，画出你分小棒的过程图。可以用简笔画表示小棒。

    3.算式记录：根据分的过程和结果，列出除法算式：48÷2=（）。

    4.尝试竖式（关键一步）：回忆一下你学过的除法竖式样子，尝试着把48÷2用竖式算一算。写完后，对着你的小棒图和分的过程，想一想竖式里的每一步，分别对应了你刚才分小棒的哪个动作？比如，竖式里先写的“4”除以2，得到“2”，写在哪一位上？这对应了你分的时候先分了什么？

  *任务B（有余数情境）：如果这48个智慧果，要平均分给5个小组呢？每个小组能分到多少个？还剩几个？

    请你重复上述1-4步。特别注意：在分的过程中，当整捆的分完剩下不够整捆的时候，你做了什么处理？（拆开捆，变成单根）在竖式计算中，这个“拆开”的动作是如何体现的？

  活动1.2：我的发现与疑问（记录在日志）

  自学完两个任务后，请冷静思考并回答以下问题，这比直接算出答案更重要：

  1.在分小棒和写竖式的过程中，你觉得为什么我们总是习惯从“整捆的”（也就是十位上的数）开始分/除？如果从单根（个位）开始分会怎样？试试看，并说说你的感受。

  2.在任务B的竖式计算中，当十位上的“4”除以5不够商1时，你是怎么处理的？这和你分小棒时“一捆不够分给5组”的情况对应吗？

  3.比较两个任务的结果，你发现了“余数”有什么特点吗？（提示：看看余数和除数的大小关系）

  4.把你在这个阶段最大的疑问或觉得最有趣的地方写下来。

  第二阶段：结构化探究与算理深度理解(预估时间：90-120分钟)

  活动2.1：探究一——从“怎么分”到“怎么算”，打通算理

  *核心问题：竖式里的“秘密”：每一步到底在分什么？

  *案例精析：以52÷4为例。

    步骤一：操作与图解。用52根小棒（5捆和2根）平均分给4个小组。请严格按照以下思维顺序操作并记录：

      (1)先分整捆的（5捆）：5捆平均分给4组，每组最多能分到几捆？（1捆）分掉了多少捆？（1捆×4组=4捆）还剩下几捆？（1捆）把这剩下的1捆怎么办？（拆开，变成10根单棒）现在你手里一共有多少根单棒了？（10根+原来的2根=12根）

      (2)再分单根的（12根）：12根平均分给4组，每组分到几根？（3根）全部分完。

      画图：用两种颜色的笔，清晰地画出先分整捆和后分单根的两个阶段图。

  *步骤二：竖式对话。现在，看着你分小棒的过程图，我们来“翻译”成竖式：

      ______

      4)52

    1.第一层（处理十位）：竖式中先看被除数的十位“5”。这个“5”代表什么？（5个十，即5捆）。5个十除以4，商几？商“1”。这个“1”写在哪一位上？为什么必须写在十位上？（因为它表示每组先分到1个十，即1捆）。写完后，1×4=4，这个“4”写在5的下面，表示什么？（表示已经分掉了4个十，即4捆）。5-4=1，这个“1”是余数，它在哪里？（在十位下面）。它表示什么？（表示分完整捆后，还剩下1个十，即1捆）。

    2.关键衔接：接下来，我们把剩下的“1个十”如何处理？（拆成10个一）。在竖式里怎么体现这个“拆开并合并”的动作？——把被除数个位上的“2”移下来，和十位余下的“1”合在一起看。现在你看到的“12”代表什么？（代表12个一，即12根单棒）。

    3.第二层（处理个位）：用这个“12”除以4，商几？商“3”。这个“3”写在哪一位上？为什么？（写在个位，表示每组又分到3个一）。3×4=12，写在下面。12-12=0，分完。

    请你对着图，大声说出竖式每一步对应的分物动作。

  活动2.2：探究二——规则“为什么”：余数必须比除数小

  *挑战任务：计算65÷9。请你先不计算，用小棒摆一摆或画图想一想，可能会遇到什么情况？再列竖式计算验证。

  *深度思考：

    1.如果计算过程中，某一步的余数比除数大或等于除数，例如在计算某个式子时，十位除完后余数是6，而除数是5，这说明什么？（说明在分那一部分时，每份还可以再多分到至少1个！）对应小棒操作，就是剩下的那部分还可以继续平均分。

    2.反证法理解：假设余数可以等于除数，比如14÷4=2……6？这成立吗？为什么？（不成立，因为余6，而除数是4，6里面还能再分出1个4来，所以商2小了，应该商3，余2）。这就像分东西，剩下来的如果还够每人再分一个，那肯定没分完。

    3.结论：“余数必须比除数小”不是一条硬性规定，而是除法计算过程“分到不能再分为止”的必然结果。它是我们检验除法计算是否合理的重要标准。

  活动2.3：探究三——算法多样化与优化

  *情境：计算96÷3。

  *方法一（操作推演竖式）：标准竖式计算，从高位除起。

  *方法二（口算分解法）：把96看成90和6。90÷3=30，6÷3=2，30+2=32。这种方法和竖式有联系吗？竖式中的第一层（90÷3）和第二层（6÷3）是否体现了这种分解思想？

  *方法三（想乘算除）：因为3×32=96，所以96÷3=32。

  *请你比较：你喜欢哪种方法？在不同的情境下（如快速估算、精确计算、检查结果），哪种方法更有优势？竖式计算方法的普适性（对任何两位数除以一位数都有效）和程序性（步骤清晰）体现在哪里？

  第三阶段：迁移应用与问题解决(预估时间：90分钟)

  活动3.1：基础巩固工坊

  1.竖式迷宫：完成一组精心设计的竖式计算题，涵盖（1）十位整除无余（如84÷2），（2）十位除不尽有余（如72÷3），（3）十位不够商1（如56÷7），（4）有余数除法（如77÷6）等全部类型。每做完一题，要求用一句话说明“商X写在X位上，是因为……”。

  2.诊断与改错：提供几道含有典型错误的竖式计算（如余数比除数大、商的数位对错、忘记移下个位等），请扮演“数学小医生”，诊断错误原因并改正。

  活动3.2：综合应用广场

  *项目A：寒假读书计划：小明买了一本共87页的《数学奇遇记》，计划每天读5页。请问他需要多少天才能读完？最后一天读几页？（联系生活，巩固有余数除法的应用及结果的情境化解释：商加1天，余数为最后一天的页数）。

  *项目B：小小采购员：妈妈给你100元去买文具。钢笔每支8元，笔记本每本6元。你想买4支钢笔，剩下的钱全部买笔记本，最多能买几本？还剩多少钱？（两步计算，涉及混合运算和有余数除法在预算中的应用）。

  *项目C：图形中的除法：有一个长为96厘米的彩带，要剪成每段4厘米长的小段来包装礼物，可以剪成多少段？如果每8厘米做一个拉花，可以做多少个？（同一被除数，不同除数的应用，并可与乘法逆运算关联）。

  活动3.3：跨学科小链接

  *与科学（简单测量）：4个同学合作测量一段跑道的长度，他们用一根2米长的绳子量了21次正好量完。这段跑道大约多少米？（21×2）如果换一根3米长的绳子，需要量多少次？（（21×2）÷3，涉及两位数除以一位数的估算与精确计算）。

  *与艺术（图案设计）：用96枚相同的贝壳制作一副装饰画。如果设计成每行摆8枚，可以摆几行？如果设计成4行，平均每行摆几枚？（感受除法两种模型：求份数、求每份数）。

  第四阶段：系统整理与元认知发展(预估时间：60分钟)

  活动4.1：构建我的知识地图

  请你用思维导图、知识树或结构图的形式，整理本专题的核心内容。建议包括以下分支：

  1.核心概念：除法意义（等分除、包含除）、算理、算法、商、余数。

  2.计算方法：口算（分解法）、竖式计算（步骤、书写规范、每一步的含义）。

  3.核心规则：余数必须比除数小（理解原因）。

  4.关键策略：从高位除起、试商、估算（判断商是几十多）。

  5.应用题型：基础计算、图文应用题、生活情境题、逆向思考题等。

  活动4.2：自我评量与反思

  请根据以下量表，对自己的学习过程与结果进行评价（在相应程度打√或描述）：

  |评价维度|优秀(我能清晰说明并应用)|良好(我基本掌握，偶尔需提示)|待加强(我需要再回顾和练习)|自我证据/例子|

  |---|---|---|---|---|

  |我能用小棒或图画解释两位数除以一位数的分物过程。|||||

  |我能将分物过程与竖式计算的每一步准确对应，说清算理。|||||

  |我能规范、正确地计算两位数除以一位数的竖式（包括有余数）。|||||

  |我理解“余数必须比除数小”的道理，并能用它判断计算对错。|||||

  |我能运用除法解决生活中的实际问题，并合理解释结果。|||||

  |我尝试了不同的计算方法（如口算分解），并知道它们的联系。|||||

  反思问题：

  1.在这次自学中，我遇到的最大挑战是什么？我是如何克服的？

  2.我最自豪的一个发现或一次解题经历是什么？

  3.我还有什么疑问？打算如何解决？（可以记录下来，开学后与老师同学探讨）

  4.我觉得除法学习，最重要的是理解什么？

  八、评价设计

  本导学案采用嵌入式过程性评价与总结性表现评价相结合的方式。

  *过程性评价：贯穿于各“活动”中的操作记录、图解、问题回答、“数学探究日志”的书写质量、算法探究的深度。重点关注学生在“活动1.2”、“活动2.1步骤二”、“活动2.2深度思考”等环节中展现出的思维过程和对算理的理解程度，而非仅看答案对错。

  *总结性表现评价：通过“活动3.2综合应用广场”中项目的完成情况，评价学生迁移应用知识解决复杂问题的能力。通过“活动4.1知识地图”评估学生知识结构化、系统化的水平。通过“活动4.2自我评量与