2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末练习 专题一：等差数列与等比数列（8考点14考法）

第第10页，共11考点1：数列的概念与简单表示 考法1：利用数列的通项公式求指定 考法2：数列的单调性判 考点2：等差数列的判断与证 考法3：利用定义证明等差数 考点3：等差数列的通项公式与基本量计 考法4：已知等差数列两条件求通 考法5：等差数列的角标性质应 考点4：等差数列前n项 考法6：等差数列求和公式的基本量计 考法7：等差数列前n项和的最值问 考法8：等差数列前n项和与通项的关 考点5：等比数列的判断与证 考法9：利用定义证明等比数 考点6：等比数列的通项公式与基本量计 考法10：已知等比数列两条件求通 考法11：等比数列的角标性质应 考点7：等比数列前n项 考法12：等比数列求和公式的基本量计 考法13：等比数列前n项和的性 考点8：等差与等比的综合运 考法14：等差等比综合计 本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤考点1考法11.（单选）已知数列an满足a12,an13ann，则a3 A. B. C. D.2.（单选）已知数列a通项公式为an2,1n9，若a21，则m 2n1,n A. B. C. D.数列bn称为anm等比关联数列”：

mm

*列bn的通项公式；考法2 4.（单选）设数列a的通项公式为an2kn2，则“k2”是“数列a A.充分不必要条 B.必要不充分条C.充分必要条 D.既不充分也不必要条考点2考法35.（解答）已知数列a的首项是1

an1n为奇数

a2n为偶数 6.（解答）已知数列a的前n项和为S，且2aS2nN （3）设

考点3考法47.（单选）设等差数列an的前n项和为Sn，若a47，S990，则a7 A. B. C. D.8.（单选）an是公差不为0a12，若a1a4a6成等比数列，则a3

C. D.9.（多选）已知数列an的前n项和为Sn，满足2an1an2ana12025S20252025 存在nN*，使得aan2027存在nN*，使得SSn的最大值为10.（解答）已知数列aa3a15，且数列an 11.（解答）已知数列a满足a1，且

an1是等差数列，并求aa n考法512.（单选）已知等差数列an的公差为3，则a11a2 B.

13.（多选）设S是等差数列a的前n项和，若 0,a71，则下列结论正确的 da7n7Sn使Sn0的n的最大值为考点4n考法614.（单选）设等差数列an的前n项和为Sn，若S26,S416，则S6 A. B. C. D.15.（单选）等差数列a前n项的和为S，已知 3a20, 38，则m

A. B. C. D. A. B. C. D.sin2a 17.（单选）已知等差数列an的公差d0,1， 71，当n sin an的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围是

8,16

8,16

4,8

4,8 18.（填空）S是等差数列a的前n项和，设T为数列Sn的前nS12 S12168，则Tn

记等差数列an的前n项和为Sn，求Snan时n的值考法7n20.（单选）等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，S2024S20250，则使an0的n的 A. B. C. D.21.（单选）等差数列anN*的公差为d，前n项和为S，若S27a7Sn取得最大值时，n

A. B. C. D. 22.（多选）已知数列a的前n项和S9nn2，则下列说法正确的是 Sn的最大值为n数列Snn n数列ann 23.（多选）数列an的前n项和为Sn，则下列说法不正确的是 若an2n13，则数列an的前5项和S5若等比数列an是递减数列，则公比q满足0q已知等差数列an的前n项和为Sn，若S20250，则a1013已知a为等差数列，则数列Sn 考法8n24.（多选）已知数列an的前n项和为Snn211n，则下列说法正确的是 n数列Snn 当且仅当n5Snan2n2an25.（填空）设两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若对任意正整数nSn2n1，则 的值为 b4 b3考点5考法926.（多选）已知Sn为数列an的前n项和，若a13an1Sn a2S3Sn27.（解答）已知数列a满足a1， an2,n为奇数 2an为偶数 考点6考法28.（单选）已知数列a满足a2,a 2n，则a n A. B. C. D.29.（单选）某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%，合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月（nN*，且n12）生产合格品首次突破5000台，则n的值为（参考数据：1.284.3） A. B. C. D.30.（单选）已知S为等比数列a的前n项和，若a4a4a，则

a B. C.

D.31.（多选）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下1第二天截取剩下的一半后剩下2尺，L，第五天截取剩下的一半后剩下5尺，则下列说法正确的是 A.a5

B.a

C.aa aaaa

A.数列1anB.数列1的前n和是3a

nD.数列log2an的前10项和是若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为＿＿＿＿＿＿；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为＿＿＿＿＿＿.34.（解答）已知数列a满足a1

2n，ban

考法35.（单选）记S为等比数列a的前n项和.若

1,aaa，则S

3 B. C.

D.36.（单选）已知递增等比数列an，若a3a4a514,a3a4a564，则a7 A. B. C. D.考点7n考法则数列bn的前50项的和为（ A.

B.

C.

D.38.（单选）已知等比数列a的前n项和为S.若S1033，则公比q A.

B. C.

D.39.（解答）已知数列a满足a1

an2n为奇数

2an为偶数 （2）记S为数列1的前nS3 a n考法40.（单选）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S67,S1221，则S24 A. B. C. D.41.（单选）记Sn为等比数列an的前n项和，若S97S68S3，则an的公比为 A. B.

C.

D.42.（单选）已知数列aa210，公比q1.若T是a的前n项积，则的最大值是 A.

B.

C.

D.考点8考法ab1,ab50,aba

3 第第10页，共21专题一：等差数列与等比数列（解析卷考点1：数列的概念与简单表示 考法1：利用数列的通项公式求指定 考法2：数列的单调性判 考点2：等差数列的判断与证 考法3：利用定义证明等差数 考点3：等差数列的通项公式与基本量计 考法4：已知等差数列两条件求通 考法5：等差数列的角标性质应 考点4：等差数列前n项 考法6：等差数列求和公式的基本量计 考法7：等差数列前n项和的最值问 考法8：等差数列前n项和与通项的关 考点5：等比数列的判断与证 考法9：利用定义证明等比数 考点6：等比数列的通项公式与基本量计 考法10：已知等比数列两条件求通 考法11：等比数列的角标性质应 考点7：等比数列前n项 考法12：等比数列求和公式的基本量计 考法13：等比数列前n项和的性 考点8：等差与等比的综合运 考法14：等差等比综合计 本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤𝑏𝑛=2𝑛(𝑛=±𝑎𝑛=𝑛(𝑛+𝑎= 𝑛=1或=𝑏1=5,𝑏2=10，证明 3；— 5)𝑛—𝑎𝑛=3𝑛—𝑎𝑛=2𝑛—=考点1考法11.（单选）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2,𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛—𝑛，则𝑎3= A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】由题意，𝑎1=则𝑎2=3𝑎11=321=𝑎3=3𝑎2—2=3×5—2=【点拨】已知递推公式求数列的项，直接依次代入计算即可，注意角标的对应关系2.（单选）已知数列

}通项公式为

𝑛—2,1≤𝑛≤=2𝑛1,𝑛≥10，若

=21，则𝑚= A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】若1≤𝑚≤9，则𝑎𝑚=𝑚2=21，解得𝑚=23，不合题意；若𝑚≥10，则𝑎𝑚=2𝑚+1=21，解得𝑚=10，符合题意.3.（解答）设{𝑎𝑛}是项数为𝑚(𝑚≥3,𝑚∈𝑵∗)且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列{𝑏𝑛}称为{𝑎𝑛}的“𝑚—等比关联数列”： ①数列{𝑏𝑛}的项数 (𝑚≥3,𝑚∈𝑵②{𝑎𝑛}中任意两项乘积都是{𝑏𝑛}③{𝑏𝑛}是公比大于1（1）已知数列{𝑏𝑛}是{𝑎𝑛}的“3—等比关联数列”，且𝑎1=1，𝑎2=2，𝑎3=4，求数列𝑏𝑛}因为{𝑏𝑛}是公比大于1所以因为{𝑏𝑛}是公比大于1所以𝑏1=2,𝑏2=4,𝑏3= 4所以{𝑏𝑛}是首项为2，公比为2其通项公式为𝑏𝑛=2𝑛(𝑛= 6【点拨】理解新定义数列的性质，根据定义列出有限项，再结合等比数列的通项公式求解21=2,𝑎𝑎=4,𝑎𝑎= 21=3，且各项为𝑎𝑛则{𝑏}【答案】𝑏𝑛=2𝑛(𝑛=【解析】解：（1）由题意，{𝑏𝑛}是{𝑎𝑛}的“3—4.（单选）设数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=𝑛2+𝑘𝑛+2，则“𝑘>—2”是“数列{𝑎𝑛}为单 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也【答案】【答案】【解析】数列{𝑎𝑛}为单调递增数列，等价于𝑎𝑛+1>𝑎𝑛对任意𝑛∈𝑵∗恒成立，即(𝑛+1)2+𝑘(𝑛+1)+2>𝑛2+𝑘𝑛+2，化简得2𝑛+1+𝑘>0，即即𝑘2𝑛1对任意𝑛𝑵∗恒成立因为2𝑛1的最大值（当𝑛1时）为3，所以𝑘所以“𝑘2”是“𝑘3”的充分不必要条件【点拨】判断数列的单调性，常转化为𝑎𝑛+1—𝑎𝑛>0（<0）恒成立问题，再利用分离参数法考点2考法35.（解答）已知数列

}的首项是

=𝑎𝑛+1,𝑛为奇数𝑎𝑛+2,𝑛为偶数（1）证明：{𝑎𝑛}【解析】证明：（1）当𝑛为奇数时，𝑛+1由𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2,𝑛为偶数得𝑎𝑛+1【解析】证明：（1）当𝑛为奇数时，𝑛+1由𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2,𝑛为偶数得𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+ 2则𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1+2=(𝑎𝑛+1)+2=𝑎𝑛+ 4即𝑎𝑛+2𝑎𝑛=故{𝑎𝑛}的奇数项是首项为𝑎1=1，公差为3的等差数 6【点拨】证明奇数项成等差数列，只需证明𝑎2𝑘+1𝑎2𝑘—1为常数即可，利用递推关系连续代换两𝑎𝑛+1,𝑛（3）设

，求证：数列

}中任意不同的三项都不能构成等差数列【解析】证明：（3）由2𝑎𝑛=𝑆𝑛+2，当𝑛=1时，2𝑎1=𝑎1+2，得𝑎1= 当𝑛≥2时，2𝑎𝑛—1=𝑆𝑛—1+2，两式相减得2𝑎𝑛—2𝑎𝑛—1=𝑎𝑛，即𝑎𝑛=2𝑎𝑛— 4所以{𝑎𝑛}是首项为2，公比为2的等比数列，𝑎𝑛= 6所以𝑐𝑛 1 8假设{𝑐𝑛}中存在不同的三项𝑐𝑝,𝑐𝑞,𝑐𝑟（不妨设𝑝<𝑞<𝑟）则则2𝑐𝑞=𝑐𝑝+𝑐𝑟，即 111 10两边同乘2𝑟，得2𝑟—𝑞+1=2𝑟—𝑝+ 12因为𝑝<𝑞<𝑟，所以𝑟𝑞1≥2，𝑟𝑝≥所以左边为偶数，右边为奇数，矛 14故{𝑐𝑛}中任意不同的三项都不能构成等差数 15考点3考法47.（单选）设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎4=7，𝑆9=90，则𝑎7= 【答案】【解析】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为由𝑆=【答案】【解析】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为由𝑆=9(𝑎1+𝑎9)==90，所以𝑎=又𝑎4=7，所以公差𝑑=𝑎5—𝑎4=则𝑎7=𝑎5+2𝑑=10+6=【点拨】等差数列求和公式与等差中项的结合应用，灵活运用𝑆2𝑛—1=(2𝑛—1)𝑎𝑛可简化计算8.（单选）已知|𝑎𝑛|是公差不为0的等差数列，𝑎1=—2，若𝑎1,𝑎4,𝑎6成等比数列，则𝑎3= B. C. D.±【解析】设等差数列{|𝑎𝑛|}的公差为𝑑(𝑑≠0)，因为𝑎1=—2，所以|𝑎1|=2.则|𝑎4|=|𝑎1|+3𝑑=2+3𝑑，|𝑎6|=|𝑎1|+5𝑑=2+因为𝑎1,𝑎4,𝑎6成等比数列，所以𝑎2=即|𝑎4|2=所以(23𝑑)2=—因为(23𝑑)20，所以𝑎6所以𝑎6=—|𝑎6|=—(2代入得(23𝑑)2=—2[(25𝑑)]=4解所以𝑎=± 所以|𝑎|=|𝑎|2𝑑=222)=因为𝑑≠0，解得𝑑=—展开得4+12𝑑+9𝑑2=4+10𝑑，即9𝑑2+2𝑑=9.（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，满足2𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2+𝑎𝑛,𝑎1=2025,𝑆2025=2025， 存在𝑛∈𝑵∗，使得𝑎𝑛=𝑎𝑛=2027—存在𝑛∈𝑵∗，使得𝑆𝑛=【答案】【解析】由2𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2【答案】【解析】由2𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑎𝑛知{𝑎𝑛}为等差数列由=2025(𝑎1+𝑎2025)=2025，得 + =因为𝑎1=2025，所以𝑎2025=22025=—公差𝑑𝑎2025—𝑎1—2023—2025所以𝑎𝑛=𝑎1𝑛1)𝑑20252(𝑛1)2027A，令𝑎𝑛=20272𝑛=0，得𝑛=1013.5A错误；B，𝑎𝑛=2027—2𝑛B正确；C𝑆=𝑛𝑎𝑛(𝑛—1)𝑑=2025𝑛𝑛(𝑛1)=—𝑛22026𝑛令𝑆=0𝑛=2026CD，𝑆𝑛=—𝑛2+2026𝑛=—(𝑛—1013)2+10132.当𝑛=1013时，𝑆𝑛取得最大值10132D错误性质求最值10.（解答）已知数列

}

=

=15，且数列{𝑎𝑛}求{𝑎𝑛}【答案】【答案】𝑎𝑛=𝑛(𝑛+的通项的通项即{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=𝑛(𝑛+ 8所以 +(𝑛—1)𝑑=3+(𝑛—1)=𝑛+ 6 所以2𝑑=𝑎3—𝑎1=5—3=2，解得𝑑= 4得= = 2由𝑎=3,𝑎=【解析】解：（1）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为11.（解答）已知数列

}满足

=1，且

=𝑎𝑛求证：{1}是等差数列，并求

}所以数列{1}是首项为=所以数列{1}是首项为=1，公差为1的等差数 7所以=1+(𝑛—1)×1= 9故{𝑎}的通项公式为𝑎= 10【点拨】对于形如𝑎𝑛+1=𝑐𝑎+𝑑的递推公式，常采用取倒数的方法构造等差数列求解 —1= 5 ，取倒数 =𝑎𝑛+1=1+ 3【解析】解：（1）由=12.（单选）已知等差数列{𝑎𝑛}的公差为—3，则𝑎11—𝑎2= A. D.【答案】【答案】【解析】由等差数列的通项公式性质可知，𝑎11𝑎2=(112)𝑑=93)=—【点拨】熟练掌握等差数列的性质𝑎𝑛𝑎𝑚=(𝑛𝑚)𝑑可快速求解13.（多选）设 𝑑<

是等差数列

}的前𝑛项和，若

<0,𝑎7<—1|𝑎7|<𝑛=7时，𝑆𝑛使𝑆𝑛>0的𝑛的最大值为【答案】【答案】【解析】由𝑆15=15𝑎8<0，得𝑎8<又<—1，因为𝑎8<0，所以𝑎7>—𝑎8>因为𝑎7>—𝑎8，所以|𝑎7|>|𝑎8|B错误；因为𝑎7>0,𝑎8<0，所以前7项为正，从第8项开始为负，所以𝑆7C𝑆14=7(𝑎7+𝑎8)>0，𝑆15=15𝑎8<0，所以使𝑆𝑛>0的𝑛的最大值为14D错误【点拨】利用等差数列前𝑛项和公式的性质𝑆2𝑛—1=(2𝑛1)𝑎𝑛确定中间项的符号，再结合公差判考点4n考法614.（单选）设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆2=6,𝑆4=16，则𝑆6= A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】在等差数列中，𝑆2,𝑆4—𝑆2,𝑆6—𝑆4成等差数列因为𝑆2=6，𝑆4𝑆2=166=10，所以𝑆6—𝑆4=10+(10—6)=14.则𝑆6=𝑆4+14=16+14=【点拨】利用等差数列前𝑛项和的性质：𝑆𝑘,𝑆2𝑘—𝑆𝑘,𝑆3𝑘—𝑆2𝑘成等差数列，可大大简化计算15.（单选）等差数列=

}前𝑛项的和为

，已知

𝑚—

+

—

=

2𝑚—

=3，则A. B. C. D.=0≠32𝑚—若 =0，则=2𝑚—又=【解析】由等差数列性质，𝑎𝑚—1+𝑎𝑚+1=2𝑎𝑚，代入条件得2𝑎𝑚—3𝑎2=0，解得𝑎𝑚=0或【答案】若若𝑎𝑚=3，则(2𝑚1)3=3，解得2𝑚1=19，即𝑚=【点拨】灵活运用等差中项性质𝑎𝑚—1+𝑎𝑚+1=2𝑎𝑚及前𝑛项和性质𝑆2𝑚—1=(2𝑚— 16.（单选）等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎3+𝑎7=12，𝑎5⋅𝑎8=54，则数列{𝑎𝑛}的前10 A. B. C. D.【点拨】利用等差数列的性质【点拨】利用等差数列的性质𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑝+𝑎𝑞(𝑚+𝑛=𝑝+𝑞)求出关键项，再代入求和公式+𝑎)=5(𝑎—2𝑑+𝑎)=5(6—2+9)= =10(𝑎1+𝑎10)=公差𝑑=𝑎8—𝑎5=9—6=【答案】【解析】由等差数列性质得𝑎3+𝑎7=2𝑎5=12，所以𝑎5=代入𝑎5⋅𝑎8=54，得6𝑎8=54，所以𝑎8=

sin2𝑎3—（单选）已知等差数列{𝑎𝑛}的公差𝑑∈(0,1)，且sin(𝑎+𝑎)=—1，当𝑛=10时，数列 𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛取得最小值，则首项𝑎1的取值范围是 =𝑎+9𝑑=𝑎+9𝜋≤0⇒𝑎≤—【点拨】利用三角恒等变换化简条件求出公差，再根据前𝑛项和取最小值的条件（项非负）列不等式组求解=𝑎+10𝑑=𝑎+5𝜋≥0⇒𝑎≥—所以𝑎∈[—5𝜋 +𝑎)sin(𝑎—𝑎【答案】【解析】sin2𝑎—=1—cos2𝑎3—1—cos2𝑎7=cos2𝑎7—cos2𝑎3=— —sin(𝑎3+𝑎7)sin(𝑎3—=—1，即sin(𝑎3𝑎7)=因为𝑎3𝑎74𝑑，且𝑑(0,1)，所以4𝑑由sin(4𝑑1得4𝑑𝜋2𝑘𝜋，在4,0)内只有𝜋符合，所以4𝑑𝜋，即𝑑当𝑛=10时，𝑆𝑛取得最小值，说明𝑎10≤0且𝑎11≥18.（填空）已知

是等差数列

}的前𝑛项和，设

为数列{𝑆𝑛}的前𝑛项和，若

=𝑆12=168，则𝑇𝑛=【答案】【答案】𝑛2【解析】数列{𝑆𝑛}是等差数列.设其首项为𝐴，公差为和和=𝑛(𝑛—9)=𝑛2—𝑛(—8+2𝑛—𝑛(𝐴+𝑆𝑛𝑇𝑛= 𝑛所以8𝑛1)22𝑛由𝑆612,𝑆12=168得6212所以𝐴+5𝐷=2，𝐴+11𝐷=解得6𝐷12⇒𝐷=2，𝐴=210=—19.（解答）在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=6,𝑎6=（2）记等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求𝑆𝑛=𝑎𝑛时𝑛的值整理得𝑛2—17𝑛+整理得𝑛2—17𝑛+16= 8解得𝑛=1或𝑛= 11所以𝑆𝑛=𝑎𝑛时𝑛的值为1或 13 5=𝑎，即15𝑛— 令𝑆=7𝑛𝑛(𝑛—1)1)15𝑛— 2首项𝑎1=𝑎2𝑑61)=所以𝑎𝑛=7𝑛1)(1)8【解析】解：（2）由𝑎=6,𝑎=2，得公差𝑑=𝑎6—𝑎2=2—6=—【答案】𝑛=1或𝑛=20.（单选）等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，公差𝑑<0，𝑆2024⋅𝑆2025<0，则使𝑎𝑛>0的的最大值为 A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】=2024(𝑎1+𝑎2024)= + 𝑆2025=因为𝑑<0，所以𝑎𝑛递减𝑆2024⋅𝑆2025<0⇒1012(𝑎1012+𝑎1013)⋅2025𝑎1013<即即(𝑎1012+𝑎1013)𝑎1013<因为𝑑0，所以𝑎1012>若𝑎1013>0，则𝑎1012>0，(𝑎1012+𝑎1013)𝑎1013>0，矛盾所以𝑎1013<此时要使乘积小于0，必须𝑎1012+𝑎1013>因为𝑎1013<0，且𝑎1012+𝑎1013>0，所以𝑎1012>—𝑎1013>所以𝑎1012>0，𝑎1013<因此使𝑎𝑛>0的𝑛的最大值为21.（单选）等差数列{𝑎𝑛}(𝑛∈𝑵∗)的公差为𝑑，前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆3=27，𝑎3=7𝑆𝑛取得最大值时，𝑛=A.B.C.D.【答案】【答案】【解析】由𝑆3=3𝑎2=27，得𝑎2=公差𝑑=𝑎3𝑎2=79=—𝑎𝑛=𝑎2+(𝑛—2)𝑑=9—2(𝑛—2)=13—令𝑎𝑛≥0，得132𝑛≥0，即𝑛≤所以𝑎1,⋯,𝑎6>0，𝑎7<当𝑛=6时，𝑆𝑛取得最大值【点拨】求等差数列前𝑛项和的最大值，只需找出所有非负项，令通项𝑎𝑛≥0求解即可22.（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=9𝑛—𝑛2，则下列说法正确的是 𝑆𝑛的最大值为𝑎1,𝑎7,𝑎4数列{𝑆𝑛}数列{𝑎𝑛}𝑎1=8，𝑎7=—4，𝑎4=2.因为𝑎1𝑎4=16，𝑎2=16，所以𝑎1,𝑎7,𝑎4B4525=20AB，𝑎𝑛𝑆𝑛𝑆𝑛—1=9𝑛𝑛2[9(𝑛1)(𝑛1)210A，𝑆=—(𝑛9)281.当𝑛=4或𝑛=5时，𝑆取得最大值𝑆=3616=【答案】D，𝑎𝑛10—2𝑛102D错误【点拨】已知𝑆𝑛求𝑎𝑛利用𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛—1，求最值可利用二次函数的性质，注意自变量𝑛为正整数23.（多选）数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则下列说法不正确的是 若𝑎𝑛=—2𝑛+13，则数列{𝑎𝑛}的前5项和𝑆5若等比数列{𝑎𝑛}是递减数列，则公比𝑞满足0<𝑞<已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆2025>0，则𝑎1013>已知

}为等差数列，则数列{𝑆𝑛}【答案】【答案】A，𝑎𝑛=—2𝑛13，令𝑎𝑛>0⇒2𝑛<13⇒𝑛≤6.所以前6项为正，𝑆6最大，且𝑎6=1,𝑎7=—1，𝑆5=𝑆6，所以最大值不唯一，选项说𝑆5最大是错误的（应为𝑆5和𝑆6同为最大值），A错误；B，若等比数列{𝑎𝑛}是递减数列，若𝑎1<0，则𝑞>1时也是递减数列，公比𝑞不一定满足0<𝑞<1BC，𝑆2025=2025𝑎1013>0⇒𝑎1013>0CD，𝑆𝑛=𝑎𝑛—1𝑑=𝑑𝑛𝑎𝑑)，是关于𝑛D正确A考法8n24.（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛=—𝑛2+11𝑛，则下列说法正确的是 数列{𝑆𝑛}当且仅当𝑛=5时，𝑆𝑛𝑎𝑛=—2𝑛+{2𝑎𝑛}【答案】【答案】A，𝑆𝑛=—𝑛11AB，𝑆=—(𝑛11)2+121，当𝑛=5或𝑛=6BC，𝑎𝑛𝑆𝑛𝑆𝑛—1=—𝑛211𝑛𝑛1)211(𝑛1)]=—2𝑛12CD，2𝑎𝑛2—2𝑛+12212(1/4)𝑛D正确【点拨】利用𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛—1求通项，注意检验𝑛=1时是否符合；指数型数列的底数恒定，指数25.（填空）设两个等差数列

}的前𝑛项和分别为

，若对任意正整数𝑛都有𝑆𝑛2𝑛—1，则 𝑎8的值为

根据等差数列前根据等差数列前𝑛项和的性质，𝑏 𝑇2𝑛— 【点拨】等差数列中， 是常用的重要性质，结合等差中项可快速化简求值𝑆2𝑛— 𝑎8 𝑎2 𝑎8考点5考法926.（多选）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑎1=3，𝑎𝑛+1=𝑆𝑛 𝑎2=数列{𝑎𝑛}𝑆𝑛=3⋅2𝑛—𝑆𝑛≥【答案】【答案】A，𝑎2=𝑆1=𝑎1=3AB，当𝑛≥2时，𝑎𝑛+1=𝑆𝑛=𝑆𝑛—1+𝑎𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑛=2𝑎𝑛.所以从第二项起是公比为2的等比数列，但𝑎2/𝑎1=3/3=1≠2，所以{𝑎𝑛}B错误；C，𝑆1=3，𝑆2=𝑎3=2𝑎2=6，𝑆𝑛=𝑎𝑛+1=32𝑛—1（对于𝑛≥2）.当𝑛=1时，320==𝑆1，所以𝑆𝑛=3⋅2𝑛—1对所有𝑛CD，𝑆𝑛=𝑎𝑛+1.因为𝑎𝑛>0，所以𝑆𝑛=𝑆𝑛—1𝑎𝑛>𝑎𝑛（对于𝑛≥2）.当𝑛=1时，𝑆1=𝑎1.所以𝑆𝑛≥𝑎𝑛D正确.【点拨】利用𝑎𝑛=𝑆𝑛—𝑆𝑛—1推导递推关系时，必须注意𝑛≥2的限制，并单独检验𝑛=1的情况27.（解答）已知数列

}满足

=

=𝑎𝑛2,𝑛为奇数,（1）记𝑏𝑛=𝑎2𝑛+2，求𝑏1，𝑏2，并证明数列{𝑏𝑛}【答案】【答案】𝑏1=5,𝑏2=10【解析】解：（1）由题意得𝑏1=𝑎2+2=(𝑎1+2)+2=1+2+2 2𝑏2=𝑎42=2𝑎32=2(𝑎22)2=2(32)2= 4当𝑛为奇数时，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2；当𝑛为偶数时，𝑎𝑛+1=所以𝑏𝑛+1=𝑎2𝑛+2+2=2𝑎2𝑛+1+2=2(𝑎2𝑛+2)+2=2𝑎2𝑛+ 7又2𝑏𝑛=2(𝑎2𝑛+2)=2𝑎2𝑛+4，所以𝑏𝑛+1=所 =2，数列{𝑏𝑛}是首项为5，公比为2的等比数 8式进行推导考点6考法28.（单选）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2,𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛，则𝑎16= A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】由𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛，得𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2=两式相除 =由𝑎1=2，𝑎1𝑎2=21⇒𝑎2=1.16—𝑎16是偶数项，𝑎16=𝑎2⋅22=127=式的常用技巧29.（单选）某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为100台，合格品率为8%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高2%，合格品率比前一个月增加1%.已知第𝑛个月（𝑛∈𝑵∗，且𝑛≤12）生产合格品首次突破5000台，则𝑛的值为（参考数据：1.28≈ A. B. C. D.【答案】【答案】【解析】第𝑛个月的产量为1000×(1+0.2)𝑛—1=1000×1.2𝑛—第第𝑛个月的合格率为80(𝑛1)1%=(79合格品数量为1000×1.2𝑛—1×79+𝑛=10×1.2𝑛—1×(79+令10×1.2𝑛—1×(79+𝑛)>5000，即1.2𝑛—1(79+𝑛)>若𝑛=10，1.29×89≈4.3×1.2×89=5.16×89=459.24<若𝑛=11，1.210×90≈5.16×1.2×90=6.192×90=557.28>所以𝑛=【点拨】根据题意列出不等式，结合参考数据，采用代入验证法求解最为快捷30.（单选）已知

为等比数列

}的前𝑛项和，若

=

—

， A. B. 【答案】【答案】【解析】设公比为𝑞，则𝑎2𝑞2=4𝑎2𝑞—4𝑎2.因为是等比数列，𝑎2≠0，所以𝑞2—4𝑞+4=—2)2=0⇒𝑞=𝑆4=𝑎1(1+𝑞+𝑞2+𝑞3)=1+2+4+8=15=【点拨】将条件转化为关于公比的方程求出公比，再代入求和公式化简求值31.（多选）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下𝑎1尺第二天截取剩下的一半后剩下𝑎2尺，⋯，第五天截取剩下的一半后剩下𝑎5尺，则下列说法正确的是（ ）𝑎5=

𝑎=

—𝑎=

+

++

+

=

【点拨】根据题意写出数列的通项公式，再逐一验证各选项即可【点拨】根据题意写出数列的通项公式，再逐一验证各选项即可=1/2(1—(1/2)5)=1—1= D，𝑎𝑎𝑎𝑎 C，𝑎—𝑎1—1=1CB，𝑎=1B A，𝑎5=1/32=1A【解析】第一天剩下𝑎=1.第二天剩下𝑎=1.𝑎=(【答案】32.（多选）已知等比数列{𝑎𝑛}，𝑎1=2，𝑞=3，则 数列{1}数列{1}的前𝑛和是3—

3𝑛—数列{log2𝑎𝑛}数列{log2𝑎𝑛}的前10项和是【点拨】等比数列的倒数仍为等比数列，等比数列取对数后构成等差数列，这是数列的基本性质【点拨】等比数列的倒数仍为等比数列，等比数列取对数后构成等差数列，这是数列的基本性质D，前10项和为101+10×9log3=10+45log3D错误C，log2𝑎𝑛=log2(2⋅3𝑛—1)=1+(𝑛—1)log23CB4⋅3𝑛—=(1 ) —1/2(1—(1/3)B，1}的前2=1(1)𝑛—1A2⋅3𝑛—A1【答案】【解析】由题意，𝑎𝑛=2⋅3𝑛—第𝑛个图形比第𝑛1个图形多出34𝑛—2个小三角形，每个面积为(1)𝑛—面积：第1个图形面积𝑆1=第1个图形周长𝐿=1.第𝑛个图形周长𝐿=(4)𝑛— 534𝑛—【答案】(4)𝑛—1—()所以增加的面积为所以增加的面积为3×4𝑛—2×(1)𝑛—1=3×(4)𝑛— 𝑆=𝑆 × )2+⋯ × )𝑛— =1+3×4/9(1—(4/9)𝑛—1)=1+3(1—(4)𝑛—1)=8—3(4)𝑛— 5求解34.（解答）已知数列

}满足

=

=

+

=求{𝑎𝑛}3𝑛—所以𝑏3𝑛—所以𝑏𝑛+1 3所以数列{𝑏+3 ，即𝑏𝑛=3 12所以𝑎=2𝑛𝑏=1=3𝑛 15【点拨】对于𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑞𝑛型的递推公式，常两边同除以𝑞𝑛+1构造出𝑏𝑛+1=𝑝𝑏𝑛+𝑐的形式，即【答案】𝑎𝑛=3𝑛—【解析】解：（2）由=3𝑎+2𝑛，两边同除以2𝑛+1，得𝑎𝑛+1=3⋅𝑎𝑛+ 𝑛+1=2+，变形得+1=3(𝑏+ 6又𝑏+1=𝑎1+1=1+1= 935.（单选）记

为等比数列

}的前𝑛项和.若

=1,𝑎

=

，则

= B. C.

D.𝑎𝑎(1—= =5 = —𝑆4所以𝑎2𝑞5=𝑎𝑞4⇒𝑎𝑞=1⇒1𝑞=1⇒𝑞=又𝑎5=【解析】由等比数列性质，𝑎3𝑎4=𝑎1𝑞2𝑎1𝑞3=【答案】36.（单选）已知递增等比数列{𝑎𝑛}，若𝑎3+𝑎4+𝑎5=14,𝑎3𝑎4𝑎5=64，则𝑎7= A. B. C. D.𝑎7=𝑎5𝑞2=8×4=【点拨】利用等比中项性质求出中间项，再结合韦达定理求出其余两项，根据单调性确定公比公比𝑞2=𝑎5=4，因为递增，𝑞=所以𝑎3,𝑎5是方程𝑥2—10𝑥+16=0的两根，解得2和因为数列递增，所以𝑎3=2,𝑎5=又𝑎3𝑎5=𝑎2=𝑎3+𝑎5=14—4=【解析】由等比数列性质，𝑎3𝑎4𝑎5=𝑎3=64⇒𝑎4=【答案】考点7n考法37.（单选）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1,𝑎2=3,𝑎𝑛+2+𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1+1，数列{𝑏𝑛}满足2𝑎𝑛⋅𝑏𝑛=1，则数列{𝑏𝑛}的前50项的和为 A.

B.

C.

D.【点拨】先利用累加法求出数列{𝑎𝑛}的通项，再利用裂项相消法求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和 前50项和为(11111—11—11=1 【答案】【解析】由𝑎𝑛+2+𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1+1，得𝑎𝑛+2—𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1—𝑎𝑛+令𝑐𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛，则𝑐𝑛+1=𝑐𝑛1，𝑐1=𝑎2𝑎1=所以𝑐𝑛=2𝑛1)1=𝑛𝑏 所以2𝑎𝑛=𝑛(𝑛+=1+(𝑛—1)(2+𝑛)=𝑛— 𝑎=𝑎+𝑐+𝑐+⋯+38.（单选）已知等比数列{𝑎}的前𝑛项和为𝑆 𝑆10= 𝑛若

，则公比𝑞=A.

B. C.±

D.±【点拨】熟练运用等比数列前【点拨】熟练运用等比数列前𝑛项和的性质𝑆2𝑛=𝑆𝑛+𝑞𝑛𝑆𝑛可快速求解所以𝑞5=1⇒𝑞==1+𝑞 【解析】由等比数列求和公式的性质 【答案】39.（解答）已知数列

}满足

=

=