复变函数与积分变换 第2版4.4洛朗级数_第1页
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第四章级数4.1复数项级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数第四节洛朗级数一、洛朗定理二、将函数展开为洛朗级数的方法

一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.第四节洛朗级数定理:

设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析,则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。Cz0R1R2一、洛朗定理称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.

一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.洛朗级数的收敛性:可将其分为两部分考虑:规定：正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和.（1）正幂项是幂级数,设其收敛半径为R2：这是t的幂级数,设收敛半径为R：（2）负幂项,如果令

t=(z-z0)-1,可得：

则当|z-z0|>R1,即|t|<R时,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛.z0R1R2在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。例如,上述级数在收敛环域内其和函数是解析的,而且可以逐项积分和逐项求导。

现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。注:

根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.二、将函数展开为洛朗级数的方法间接展开法直接展开法根据洛朗定理，在指定的解析环上直接计算展开系数：函数f(z)在圆环域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

内是处处解析的,可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2解：先把f(z)用

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