河南省2026届高三数学上学期11月质量检测试题【含答案】

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：平面向量，复数，解三角形，数列，立体几何（含空间向量）.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求得，从而求得的虚部.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分别解出集合A和集合B的范围，再利用交集的运算即可算出结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，即，所以或.所以或，所以.故选：D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断得解.【详解】，所以“”是“”的充要条件.故选：C4.已知向量满足，若在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求出，再利用夹角定义求解.【详解】由，在上的投影向量为，得，则，而，所以.故选：C5.在中，内角满足，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】首先根据正切函数性质得和均为锐角，再利用两角和的正切公式判断角即可.【详解】由，且，得和均为锐角，又，又，所以也为锐角，故为锐角三角形．故选：A．6.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得,因为所以，故，总存在唯一实数，使得，即，总存在唯一实数，使得，故而可得，即可得解.【详解】由题意可得，因所以，所以，则.，总存在唯一实数，使得，即，总存在唯一实数，使得，即，总存在唯一实数，使得.因为，所以因为总存在唯一实数使得，所以，即.故选：B.7.在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（）A.24 B.25 C.26 D.27【答案】D【解析】【分析】首先根据等比数列性质求出，从而得到，再写出，最后对分奇偶数讨论即可.【详解】设的公比为，记，由，得，所以．令，则．当为偶数时，，无正整数解；当为大于2的奇数时，，由，解得，又为奇数，所以的最小值为27．故选：D．8.如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，取为一组基底，利用空间向量数量积求出长方体的棱长，进而求出其外接球半径即可得解.【详解】设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量，取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知，存在唯一一组有序实数组，使得，由点到墙面的距离分别为，得，则，所以，而，所以，即，解得，则，长方体外接球半径，所以其外接球的表面积.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在复平面内，复数对应的点为，向量绕原点逆时针旋转至处，若旋转角为，则（）A.的坐标为B.当时，C.当时，以为圆心，为半径的圆中劣弧的长为D.的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】求出点坐标判断A；利用勾股定理求出长度判断B；利用弧长公式计算判断C；利用三角函数定义求出点的坐标判断D.【详解】对于A，的坐标为，A错误；对于B，，而，则，B正确；对于C，当时，劣弧的长为，C正确；对于D，，则，点的坐标为，即，D正确.故选：BCD10.在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为锐角三角形，则D.若满足的有两个，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】设，结合余弦定理即可判断A；利用两角和余弦公式即可判断B；由，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判断C；由满足的有两个，可得，即可求解.【详解】选项A：因为，设，由余弦定理得，所以，故A正确；选项B：因为,根据正弦定理可得,则,整理得，故B错误；选项C：若为锐角三角形，可得且，可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，故C正确；选项D：因为满足的有两个，所以，即，故D正确.故选：ACD.11.已知数列满足，则（）A.B.C.若，则的最大值为1214D.的前36项和为1226【答案】AC【解析】【分析】根据给定的递推公式，求出的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断.【详解】对于A，，数列是首项，公差为5的等差数列，，A正确；对于B，由选项A得，数列均为递增数列，数列中除外，其它项均不为1，B错误；对于C，由选项B得，当时，因此的最大值为1214，C正确；对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为，D错误.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则__________.【答案】或3【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解.【详解】向量，由，得，所以或.故答案为：或313.若函数的最小值为3，则__________.【答案】或4【解析】【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求出最小值即可得解.【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数的最小值为3，因此，所以或.故答案为：或414.在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可.【详解】在中，由正弦定理及，得，则，整理得，而，即，因此，，设该三角形内切圆半径为，则，又，于是，由，得，当且仅当时取等号，因此，所以该三角形内切圆面积的最大值为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在平行四边形中，为的中点，分别为的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记.（1）把放到平面直角坐标系中，若，求点的坐标；（2）用表示；（3）若，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求解.（2）根据给定条件，利用向量线性运算求解.（3）由（2）及已知，利用数量积的运算律及数量积的定义求解.【小问1详解】设，由，得，而，因此，解得，所以点的坐标为.【小问2详解】在平行四边形中，依题意，，所以.【小问3详解】依题意，，，所以.16.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且.（1）证明：平面平面；（2）设直线与平面交于点，证明：；（3）若，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直性质判定、面面垂直的判定推理得证.（2）利用线面平行的判定、性质推理得证.（3）令，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小问1详解】在四棱锥中，由平面平面，得，由四边形为菱形，得，又平面，且，因此平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】由四边形为菱形，得，又平面平面，则平面，又平面，平面平面，所以．【小问3详解】设，以为原点，直线分别为轴，过垂直于平面直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的应该法向量，则，令，得．设平面应该法向量，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.在中，内角的对边分别是，且.（1）若，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简可得，进而利用二倍角公式及正弦定理求解.（2）由（1）及锐角三角形条件可得，再利用正弦定理及二倍角的正弦求出范围.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，则，即，即，由，得，又，因此，即，由，得，解得，所以由正弦定理得.【小问2详解】在为锐角三角形中，由（1）得，则，由正弦定理得，所以的取值范围是.18.已知数列满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）记，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证.（2）由（1）求得，再利用累加法求出通项.（3）由（2）求得，再利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】在数列中，由，得，由，得，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，当时，，满足上式，所以的通项公式为.【小问3详解】由（2）得，，则，显然是递增数列，因此，又，则，所以.19.已知函数，曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）若，使得，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可知，曲线在点处的切线斜率为，利用求得的值，得到的解析式，利用导数分析可得的单调区间；（2）由（1）求得的最小值，由题可知，在的最大值大于的最小值，讨论的取值，分析在上的单调性及最值情况，可得参数的取值范围；（3）结合（1）和（2）所得结论，对进行放缩，得，结合等比数列的前项公式，即可证得.【小问1详解】由函数，得.由题可知，曲线在点处的切线斜率为，所以，所以.所以.令，则，即；令，则.所以的单调增区间为，单调减区间为.【小问2详解】由（1）知在处取得极小值，即最小值，最小值为.若，使得，则在上恒成立.由，得.当时，.若，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立；