二维变换课件

二维变换二维变换2通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示矢量图形、卡通动画二维图形中常见的变换齐次坐标表示：基本变换：平移、旋转、放缩其它变换：剪切、对称、复合用一个n+1维向量表示一个n维向量二维点(x,y)，用(X,Y,

)表示:(2,3)的齐次坐标表示可以是(4,6,2)、(3,4.5,1.5)

可以任意选取齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系x=X/

y=Y/

齐次坐标表示点的优势防止浮点数溢出矩阵变换的统一表示X3Y

P

=1

平面关于齐次坐标二维平移

x

1

010tx

x

t

y

y

0

y

1

01

1

PP

'T二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P’(x’,y’)P

'

P

TT

(tx

,

ty

)4二维旋转y

PxP

'将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角

x

'

r

cos(

)

r

cos

cos

r

sin

sin

y

'

r

sin(

)

r

cos

sin

r

sin

cos

x

'

x

cos

y

sin

y

'

x

sin

y

cos

x

r

cos

y

r

sin

5二维旋转将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角

0

x

cos

sin

cos

00

x

0

y

y

sin

1

1

1

y

PP

'R(

)6其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例二维缩放0ys

sx

0

x

0

x

y

0

0

y

1

01

1

x对于进行放缩的变换公式yS

(sx

,

sy

)7剪切变换(Shear)

8沿X-轴方向的剪切变换Y(x,y)

(x',y')

x

1

tg

100

x

0

y

y

0

1

01

1

X变换过程中,y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成固定角

的直线对称变换XOY(x,y)(-x,y)9(-x,-y)(x,-y)关于Y轴的对称变换

x

1

0100

x

0

y

y

0

1

01

1

关于X轴的对称变换

x

0

x

0

y

y

0

1

0

10

1

01

1

关于坐标原点的对称变换

x

0

x

0

y

y

0

1

0

10

1

01

1

对称变换XOYy=x(y,x)(x,y)XOy=-x10(x,y)(-y,-x)Y关于直线y=x的对称变换

x

0

1000

x

0

y

y

1

1

01

1

关于直线y=-x的对称变换

x

0

x

0

y

0

1

y

1

00

1

01

1

逆变换平移变换旋转变换缩放变换xy

1

0

tx

1

t

0T

1

T

(

t

,

t

)

00

y

0

1

cos

sin

0

cos

00

R

1

R(

)

sin

1

111sx

sy

S

1

1

1/sx

0

0

S(

, )

0

1/

sy

0

0

0

1

T

(t2

x

,

t2

y

)

T

(t1x

,

t1y

)

T

(t2

x

t1x

,

t2

y

t1y

)复合二维变换12复合二维平移yPxP

''1TT2P

'T1

T2复合二维变换复合二维旋转xyPP

'P

''

2

1

2

1R(

2

)

R(

1

)

R(

1

2

)13复合二维变换14复合缩放变换S(s2

x

,

s2

y

)

S(s1x

,

s1y

)

S(s2

x

s1x

,

s2

y

s1y

)复合二维变换物体的二维变换不具有交换性：二维变换次序不同一般导致不同的变换结果(举例)15复合二维变换上述变换的组合可以得到特殊的二维变换刚体变换可以分解为：平移和旋转的组合物体的形状没有变化，位置和方位有变化仿射变换可以分解为：平移、旋转和放缩的组合保持点的共线性、长度的比例＝>平行线刚体变换仿射变换16复合二维变换（实例）对任意直线的对称变换（直线方程为Ax+

By+

C=

0）yox?17复合二维变换（实例）yoxyox1

1

0

C

/

A

1

0

0

0

1

T

02

cos

sin

0

cos

00

0

1

T

sin

B18

arctan(

A)复合二维变换（实例）0

1

0

0

T3

0

1

0

0

1

4

cos

sin

0

cos

00

0

1

T

sin

yoxyoxyox519

1

0

C

/

A

1

0

0

0

1

T