专题6.3 多边形及其内角和【十大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练

专题6.3多边形及其内角和【十大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练（一）多边形相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为n(（二）多边形内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．（三）正多边形的相关计算（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．（2）正n边形的每个内角为(n−2)⋅180典例1：1．如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1】2．下列图形中，属于多边形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】3．在平面内，，的多边形叫正多边形．【变式3】4．（1）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成个三角形．（2）正多边形是指，的多边形．典例2：5．八边形的对角线一共有（）条A．20 B．24 C．28 D．40【变式1】6．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（）A．11条 B．10条 C．9条 D．8条【变式2】7．过m边形的一个顶点，有8条对角线，n边形没有对角线，五边形有p条对角线，则m−pn的值为【变式3】8．从九边形的一个顶点出发，可以引条对角线，九边形共有条对角线，九边形的内角和为．典例3：9．过n边形的一个顶点可以画7条对角线，将它分成m个三角形，则m+n的值是（）A．16 B．17 C．18 D．19【变式1】10．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【变式2】11．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测n(n≥4)边形可以分割三角形的个数是；（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数n=．【变式3】12．填空：（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形；（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形；（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形；（4）从nn≥4边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将n边形分成典例4：13．如图1所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，求α的值．【变式1】14．在四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C的度数之比为2:3:5，∠D=50°，求∠A的度数．【变式2】15．如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D=170°,∠A=∠B，∠B−∠C=50°，求∠A的度数．【变式3】16．阅读小明和小红的对话，解决下列问题我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你多加了一个外角（1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由；（2）求该多边形的内角和；典例5：17．若一个四边形截去一个角后，可能为（）边形A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6【变式1】18．如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是（）边形．A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式2】19．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为．【变式3】20．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为．典例6：21．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFA．30∘ B．45∘ C．55∘【变式1】22．如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH的度数为（）A．18° B．15° C．20° D．32°【变式2】23．C60单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国，美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是度．【变式3】24．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形ABCDEF（如图②），连接AC．则∠ACB=．典例7：25．如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，∠1=45°，则∠2的度数为（）A．13° B．15° C．23° D．25°【变式1】26．如图，是某小区花园内用正n边形铺设的小路的局部示意图，它的中间区域是一个小正三角形，则n=（）A．10 B．12 C．14 D．16【变式2】27．如图，已知AB是正六边形ABCDEF与正五边形ABGHI的公共边，连接FJ，则∠AFI的度数为．【变式3】28．如图，AB、BC、CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB、DC交于点P，若∠P=108°，则该正多边形的边数为．典例8：29．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到2010°．（1）求少加的内角的度数．（2）请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．【变式1】30．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：（1）若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为2570°，则n的值是多少？（2）若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为2570°，则n的值是多少？【变式2】31．看图回答问题：（1）内角和为2018°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？（3）错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？【变式3】32．请根据对话回答问题：（1）多加的外角是°；这个凸多边形的边数是．（2）求这个多边形的内角和及其对角线条数．典例9：33．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当n=2023时，则图中阴影部分的面积之和为（）A．2πcm2 B．πcm2 C．【变式1】34．“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，则下列判断中正确的是（）A．∠5=80° B．∠5=75° C．∠5=65° D．∠5=55°【变式2】35．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶10米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，第一次回到点A总共行驶了．【变式3】36．机器人以0.5m/s的速度在平地上按下图步骤行走，该机器人从开始到停止所需时间为s．典例10：37．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．【变式1】38．（1）【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）=180°那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？如图1，请写出∠CBD与∠A、∠C之间的数量关系，并给出证明．（2）【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知∠DCE是四边形ABCD的一个外角，直接写出∠DCE、∠A、∠B与∠D的数量关系为：．（3）【应用提升】如图3，∠DCE为四边形ABCD的一个外角，CF平分∠DCE交∠ABC的角平分线BF于点F，若∠A+∠D=220°，则∠F=°．【变式2】39．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务．多边形分为凸多边形和凹多边形．如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形．如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形．我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形ABCD内角和就转化为△ACB与△ACD内角和相加，为360∘（1）任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的．A．整体思想B．方程思想C．转化思想D．分类讨论思想（2）任务二：如图1，四边形ABDC是凹四边形，请探究∠BDC∠BDC<180∘与∠B,∠C小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．请你将下面小明的证明过程补充完整．证明：如图1，连接AD并延长到点E．……（3）任务三：图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为．【变式3】40．阅读如图的情景对话，然后解答问题：（1）根据“内外等比多边形”的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形”是真命题还是假命题？并说明理由．（2）已知内外等比四边形ABCD的四个内角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠1:∠2:∠3:∠4=a:b:c:d（a≤b≤c≤d），请探索a，b，c，d之间的关系式，并说明理由．（3）请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：题目给出的图形里，符合要求的多边形一共有2个，属于多边形的有第一个五边形和第三个三角形.

因此答案选A。

【分析】首先明确多边形的定义：由同一平面内不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接，且互不相交所组成的封闭图形就是多边形，再按照这个定义逐一判断每个图形是否符合即可。

2．【答案】B【解析】【解答】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形，∴①③⑤是多边形，共3个，故答案为：B．【分析】

根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形即可解答．3．【答案】各边都相等；各内角也相等【解析】【解答】解：如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．故答案为：各边都相等，各内角也相等．【分析】利用正多边形的定义直接填空得出即可．4．【答案】（1）8（2）各边相等；各角相等【解析】【解答】解：（1）∵过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形，∴10-2=8．（2）正多边形是指各边相等，各角也相等的多边形．故答案为8，各边相等，各角相等．【分析】

（1）分析从n边形一个顶点出发的对角线把n边形分成三角形的个数规律即可解答；

（2）根据正多边形的定义：是各边相等，各角也相等的多边形.

5．【答案】A【解析】【解答】当n=8时，n(n−3)2所以八边形的对角线共有20条．故选：A．【分析】根据n边形对角线条数的计算公式，代入对应边数计算，就能得到结果.6．【答案】C7．【答案】216【解析】【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，∴m−3=8，解得，m=11；n边形没有对角线，n=3；∵五边形有p条对角线，∴p=55−3所以m−pn故答案为：216．【分析】先根据对角线数量公式求出m、n、p的值，再代入计算（m-p)n即可.8．【答案】6；27；1260°​​​​​​​【解析】【解答】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线；从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出6×9=54条对角线，若A、B是九边形的两个顶点，则从A顶点引出的一条对角线AB必定与从B顶点引出的一条对角线BA重合，从而确定九边形共有6×92由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为9−2×180°=1260°故答案为：6、27、1260°．【分析】从九边形一个顶点出发引对角线的条数减去3即可；用顶点数乘以每个顶点的对角线条数除以2；用(n-2)×180°计算内角和即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，∴n−3=7，∴n=10，∴m=10−2=8，∴m+n=8+10=18，∴m+n的值是18．故选：C．【分析】根据多边形的对角线可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.10．【答案】C【解析】【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为2003+1＝2004．故答案为：C．【分析】

先通过具体多边形实例找出边数与分割出的三角形数量，再根据规律计算多边形边数.11．【答案】（1）n−2（2）122【解析】【解答】解：（1）由图中可以看出：四边形被分为4−2=2个三角形，五边形被分为5−2=3个三角形，六边形被分为6−2=4个三角形，…，n边形被分为(n−2)个三角形．故本题答案为：n−2．（2）当n−2=120时，n=122．故答案为：122．【分析】（1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律得出表达式即可；（2）根据表达式求解多边形边数即可．12．【答案】（1）1；2（2）2；3（3）3；4（4）n−3；n−2【解析】【解答】解：（1）解：如图：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，故答案为：1，2．（2）解：如图：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形，故答案为：2，3．（3）解：如图：从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形，故答案为：3，4．（4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2．∴从nn≥4边形的一个顶点出发，可以引n−3条对角形，将n边形分成n−2故答案为：n−3，n−2．【分析】通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，归纳出n边形中的情况即可．13．【答案】解：由图中数据可知，122°+112°+135°+α°+α+15解得：α=105，所以α的值为105．14．【答案】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠D=50°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=2x+3x+5x+50°=10x+50°=360°，∴10x=310°，即x=31°．∴∠A=62°．答：∠A的度数为62°．【解析】【分析】先设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，再利用四边形内角和为360°列方程求解，最后计算∠A即可．15．【答案】解：五边形的内角和是5−2×180°=540°设∠A=∠B=x，∵∠B−∠C=50°，∴∠C=x−50°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，根据题意得：90°+x+x+(x−50°)+170°=540°，解得x=110°，∴∠A=110°．16．【答案】（1）解：理由：设多边形的边数为n．180°(n−2)=1520°，解得n=104∵n为正整数，∴多边形内角和不可能为1520°；（2）解：∵n=94依题意：该多边形的边数为10，∴10−2故该多边形的内角和为1440°.17．【答案】C【解析】【解答】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．故选：C．

【分析】根据多边形截去一个角得到的多边形边数少1条，不变或增加1条；据此解答即可．18．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形ABC，②四边形ABEC，③五边形ABFEC，不可能是六边形，故答案为：D．【分析】对四边形截去一个角的所有裁剪方式分类讨论：沿对角线裁剪、裁剪线经过一个顶点、裁剪线不经过顶点，分别得到对应剩余图形的边数，即可得到结论.19．【答案】5或6或720．【答案】14或15或16【解析】【解答】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，∴此时原多边形的边数为15+1=16；如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，∴此时原多边形的边数为：15-1=14；综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16.故答案为：14或15或16.【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可.21．【答案】B【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个内角为15×(5−2)×180°=108°，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为∴∠BAM=1∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF∴∠FAB'=∴∠ABF故答案为：B．【分析】先求得正五边形的内角度数，再根据折叠的性质，求得∠BAM=54°，∠FAB22．【答案】B【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠BAD=90°，∵正六边形ABEFGH，∴∠BAH=180°×∴∠DAH=360°−∠BAH−∠BAD=150°，由题意知，AD=AH，∴∠ADH=∠AHD=180°−∠DAH故答案为：B．【分析】利用正六边形和正方形的边长相等关系，证明△ADH为等腰三角形，并结合周角定义求出顶角∠DAH的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可．23．【答案】12024．【答案】30°/30度【解析】【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠B=6−2×180°6∴∠ACB=∠BAC=180°−120°故答案为：30°．【分析】首先根据正六边形的性质求出∠B=6−2×180°625．【答案】B26．【答案】B【解析】【解答】解：∵正三角形的一个内角是60°，∴正n边形的一个内角=360°−60°∴正n边形的一个外角=180°−150°=30°，∴n=360°÷30°=12，故答案为：B．【分析】首先理解在图形的拼接点处，所有角的和等于360°，建立等量关系求出正n边形的内角，进而求出n的值.27．【答案】84°【解析】【解答】解：由题意得，AI=AB=AF，∴∠AFI=∠AIF，由题意得，∠FAB=180°−360°6=120°∴∠FAI=120°−108°=12°，∴∠AFI=∠AIF=180°−12°故答案为：84°．【分析】利用多边形内角和公式分别求出正六边形和正五边形的内角度数，进而求出∠IAF的度数；同时利用公共边AB推导出AF=AI，从而判定△AFI为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理求解即可.28．【答案】10【解析】【解答】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，∴∠PBC=∠PCB，∵∠P=108°，∴∠PBC=∠PCB=1则该正多边形的边数为360°÷36°=10，故答案为：10．【分析】先利用三角形内角和求出正多边形的一个外角，再根据正多边形外角和为360°计算边数即可.29．【答案】（1）解：设这个多边形的边数为n，则2010°<(n−2)⋅180°<2010°+180°，解得131∵n为正整数，∴n=14，∴少加的内角的度数为(14−2)×180°−2010°=150°．（2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为180°−150°=30°，∴它的边数应等于36030由（1）可知，这个多边形的边数为14，14≠12，∴这个多边形不是正多边形．【解析】【分析】（1）多边形的内角和一定是180°的整数倍，利用这个性质先求出这个多边形的边数，再结合多边形内角和公式，就能计算出漏加的这个内角的度数；

（2）先假设这个多边形是正多边形，结合正多边形各内角都相等的性质，先算出它的外角度数，再进一步推算出对应正多边形的边数，将得到的结果和第(1)问求出的边数对比，就可以得到最终结论.（1）解：设这个多边形的边数为n，则2010°<(n−2)⋅180°<2010°+180°，解得131∵n为正整数，∴n=14，∴少加的内角的度数为(14−2)×180°−2010°=150°．（2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为180°−150°=30°，∴它的边数应等于36030由（1）可知，这个多边形的边数为14，14≠12，∴这个多边形不是正多边形．30．【答案】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为x°，则由条件，得n−2⋅180=2570+x因为n为自然数，0<x<180，且2570=180×15−130，故取x=130，得n=17．方法二：由条件，得0<n−2且n为自然数，故n=17．（2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为x°，则由条件，得n−2⋅180+x=2570因为n为自然数，0<x<180，且2570=180×14+50，故取x=50，得n=16．方法二：由条件，得0<2570−n−2且n为自然数，故n=16．【解析】【分析】(1)设少算的那个内角的度数是x，根据多边形的内角和公式列出方程，再结合内角的取值范围即可求解；(2)设多算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式列方程，结合内角的取值范围即可求解．31．【答案】（1）解：∵2018°不是180°的整数倍，∴小明说不可能．（2）解：设这个多边形的边数为n，由题意，得2018°−180°<n−2解得1219∵n为整数，∴n=13．∴小华求的是13边形的内角和．（3）解：∵当n=13时，13−2×180°=1980°2018°−1980°=38°，∴这个外角为38°．【解析】【分析】（1）利用多边形内角和公式n−2⋅180°（2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得2018°−180°<n−2180°<2018°，进行求解即可，注意（3）先求出正确多边形的内角和，再用2018°减去正确的内角和，即可得到错加的外角度数．32．【答案】（1）44；13（2）解：这个多边形的内角和为2024°−44°=1980°，对角线条数为13×13−3答：这个多边形的内角和是1980°，对角线有65条．【解析】【解答】解：（1）解：∵n边形的内角和是n−2×180°∴多边形的内角和一定是180的倍数，∵2024÷180=11⋯⋯44，∴多加的外角是44°，这个凸多边形的边数是11+2=13；【分析】（1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数；（2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为nn−333．【答案】B【解析】【解答】解：∵2023边形的外角和=360°，∴图中阴影部分的面积之和=360π×故答案为：B．【分析】利用多边形外角和定理，结合扇形面积公式求阴影部分的面积之和即可.34．【答案】A35．【答案】80米【解析】【解答】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，该多边形的边数为：360°÷45°=8，∴第一次回到点A总共行驶了：8×10=80（米），故答案为：80米．【分析】由题意可知小明每次转动的角度即为多边形外角，利用多边形外角和360°这一性质求出多边形的边数，进而计算总路程即可.36．【答案】96【解析】【解答】解：一次向右转45°，共需36045故行走的路线为正八边形．行走的路程为8×6=48m共需的时间480.5故答案为：96．【分析】机器人每次前进相同距离后转动固定角度，最终回到出发点，因此它的行走轨迹是一个正多边形。根据任意多边形的外角和都为360°，可以求出该正多边形的边数，进一步计算出行走的总路程，最后根据公式“时间=路程÷速度”，即可求出所需的总时间.37．【答案】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∴∠3+∠4=360°−(∠5+∠6)，∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∴∠1+∠2=360°−(∠5+∠6)，∴∠1+∠2=∠3+∠4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：∵∠B+∠C=240°，∴∠MDA+∠NAD=240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE=12∠MDA∴∠ADE+∠DAE=1∴∠E=180°−(∠ADE+∠DAE)=180°−120°=60°．【解析】【分析】（1）通过四边形内角和及邻补角的关系得出角之间的数量关系；（2）根据（1）的结论总结为四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．38．【答案】（1）解：∠CBD=∠A+∠C，证明：∵∠CBD+∠ABC=180°，∠A+∠C+∠ABC=180°，∴∠CBD=∠A+∠C；（2）∠DCE=∠A+∠B+∠D−180°（3）20【解析】【解答】解：（拓展延伸）∵∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠BCD=360°−∠A−∠B−∠D，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=180°−∠BCD=180°−360°−∠A−∠B−∠D故答案为：∠DCE=∠A+∠B+∠D−180°；（应用提升）由（教材呈现）可知∠FCE=∠FBC+∠F∵BF平分∠ABC，CF平分∠DCE∴∠ABC=2∠FBC，∠DCE=2∠FCE=2∠FBC+∠F由（拓展延伸）可知∠DCE=∠A+∠ABC+∠D−180°，∴∠A+∠ABC+∠D−180°=∠ABC+2∠F，∴∠A+∠D−180°=2∠F，∴∠F=1故答案为：20【分析】（教材呈现）利用平角定义和三角形内角和定理，推导出三角形外角与不相邻两个内角的数量关系；（拓展延伸）利用四边形内角和定理和平角定义，推导出四边形外角和与不相邻的三个内角的数量关系；（应用提升）结合角平分线定义、三角形外角性质及拓