2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区市北高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区市北高级中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若，则n=（）A.2 B.4 C.2或4 D.2或32.已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（）A. B. C. D.3.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则​​​​​​​=（）A. B. C. D.4.设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A. B.

C. D.5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（）A.240种 B.192种 C.144种 D.48种6.展开式中x2的系数为（）A.10 B.24 C.32 D.567.已知函数f（x）=ex（x3+a）既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A.（-4，0） B.[-4，0] C.（0，4） D.[0，4]8.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知，是两个随机事件，且，下列命题正确的是（

）A.若相互独立， B.若事件，则

C.若是对立事件，则 D.若是互斥事件，则10.已知f（x）=（2x-3）n的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（）A.a1+a2+…+an=1 B.

C.f（6）除以8所得的余数为1 D.a1+2a2+3a3+…+nan=911.定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f（x）=x3-3x+1，则下列说法中正确的有（）A.f（x）的对称中心为（0，1）

B.若关于x的方程f（x）=m有三解，则-1＜m＜3

C.y=f（x）在[-2，n）上有极小值，则n＞-1

D.若f（x）在[a,b]上的最大值、最小值分别为8、-6，则a+b=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）=x3，过点作曲线f（x）的切线，则其切线方程为

.13.随机变量X的分布列如表所示，若，则D（3X-2）=

.X-101Pab14.一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止.则摸球次数为3的概率是

，摸球次数的期望是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极大值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在[-3，4]上的最值.16.(本小题15分)

袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球n个，白球（7-n）个，n∈N*.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.

（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；

（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得-1分，求总得分X的概率分布列及数学期望E（X）.17.(本小题15分)

现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子.

（1）当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）

（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）

（3）当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答）18.(本小题17分)

在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的有理项；

（3）求展开式中系数最大的项．19.(本小题17分)

函数f（x）=x+alnx,a∈R.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a=-1时，解方程f（x）=xe1-x；

（3）当x≥1时，不等式f（x）≥（1+lnx）2恒成立，求a的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】y=0或3x-y-2=0

13.【答案】5

14.【答案】6

15.【答案】解：（1）由f（x）=ax3+bx,得f′（x）=3ax2+b.

因为f（x）在x=1上取得极大值2，

所以，解得．

当时，f（x）=-x3+3x,

则f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），

当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

故在函数f（x）在x=1处取得极大值．

所以f（x）=-x3+3x.

（2）由（1）可知，f′（x）=-3x2+3=-3（x-1）（x+1），

当x∈[-3，-1），f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以函数f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2；

又因为f（-3）=18，f（4）=-52，

所以f（x）在[-3，4]上的最大值为18，最小值为-52．

16.【答案】；

17.【答案】729

60

540

18.【答案】解：（1）有题意知：通项公式为Tr+1=•2r•，则第4项的系数为•23，

倒数第4项的系数为•2m-3，

则有=，即=，∴m=7．

（2）由（1）可得当2m-为整数时，即r=0，2，4，6时，为有理项．

故所有的有理项为T1=x14，T3=84x9，T5=560x4，T7