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静电场及其应用第二章2.4电场强度与电势梯度第二章静电场及其应用

课标要求——电场强度与电势梯度了解等势面的定义，认识等势面在描述电势随空间位置变化中的作用，知道电场强度与电势变化的关系，了解电势梯度的物理意义。等压线阅读书本上爬山的相关内容，观察以下图片。在任意静电场中，把电势相等的点连成的面称为等势面（观察等高面、等压面）。同一等势面移动电荷，电场力不做功，说明电场强度垂直于等势面；在两不同等势面上任意两点之间移动电荷，做功相等；从一等势面上的某一点到邻近等势面上的各点连直线，这条直线相当于等高面之间的不同坡度的路径，这说明沿各个方向的电势变化率不同。取两个相距很近的等势面Ⅰ和Ⅱ。它们的电势分别为V和V+dV，且dV<0。在两等势面上分别任取a点和b点，一带正电点电荷q0从a点沿直线位移到b点，静电场力所做的功为(2.24)对比登山的垂直路径是重力方向。沿垂直于等势面方向（坡度最大，距离最短）为电场强度方向，即电势变化率最快的方向。与登山情况比较不同的是重力是恒力，而电场力是变化的，但由于两等势面距离非常近，其间的电场力可看作恒力，即与a点的电场力相同。用电场力做的功除以等势面间的最短距离（垂直距离）就是电场力。设最短距离记作dln，即由于a点是任一点，可以省略下标a，且约去q0

，则得该式表明，静电场中任意一点的电场强度等于沿电势变化最快方向的电势变化率，方向沿电势降低的方向。(2.25)例2.4一均匀带电圆环，半径为R，总带电量为q，求过圆心的轴线上任意一点的电场强度大小。解直接求场强需要用到场强叠加原理和矢量合成法则，可以先通过对称性判断电场强度方向沿中垂线，最后用电势叠加原理求出电势，通过电场强度与电势的关系得出电场强度。建立坐标系，因轴上任意一点到圆环的距离皆相等，则运用电势叠加原理时，只要将电荷元部分相加在一起，即为总带电量，并考虑到几何关系，则有(2.26)因场强只在沿x轴方向上，所以运用式（2.25）求场强时，就只要对x（方向）求电势的变化率（即为最快变化率）。下面要用到一点数学的工具——求导，求这个变化率。由于则，最后得到场强的方向由圆环带电正、负决定分别指向x轴正向、x轴负方向。可以看出，这里用电势求出的电场强度式（2.

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