频域图像增强

频域图像增强频域图像增强基本原理噪声主要对应高频分量信号的能量主要集中在低频分量频域图像增强基本步骤将原始图像变换到频域在频域进行滤波将变换后的频域图像变换回空域傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数–F(x)是周期为2

函数，在[

,

]上可积2k

k

k

1f

x

a0

(a

cos

kx

b

sin

kx)傅里叶变换——傅里叶级数2

cos

kxdx

0

sin

kxdx

0

k

1,

2

sin

kx

cos

lxdx

0

cos

kx

cos

lxdx

00

sin

kx

sin

lxdx

k

lk

l

三角函数的正交性

1,

cos

x,sin

x,

cos

2x,sin

2x,

,

cos

nx,sin

nx,

任意两个不同的函数的乘积为0函数自身平方的积分不为0傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数的系数计算

0

00k

kadx

a

2

a

f

(x)dx

(a

cos

kx

b

sin

kx)

dxk

1

2

1

a0

f

(x)dx傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数的系数计算

0

an

cos

nxdx

an

2

cos

nx

k

k

af

(x)

cos

nxdx

2

k

1

(a

cos

kx

cos

nx

b

sin

kx

cos

nx)

dx

1

ak

f

(x)

cos

kxdx傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数的系数计算

0

2sin

nx

k

kn

nb

sin

nxdx

b

af

(x)

sin

nxdx

2

k

1

(a

cos

kx

sin

nx

b

sin

kx

sin

nx)

dx

1

bk

f

(x)

sin

kxdx傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数–F(x)是周期为2

函数，在[

,

]上可积2k

k

k

1f

x

a0

(a

cos

kx

b

sin

kx)1

ak

f

(x)

cos

kxdx1

bk

f

(x)

sin

kxdxk

0,1,

2

k

1,

2

傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数–若f(x)的周期区间为标变换2

2–傅里叶级数

x

[

, ]

x

'

[

,

],]，可以进行相应的坐2

2[

2

x

'

x2k

k

(a

cos

k

2

x

b

sin

k

2

x)f

x

a0

k

12(ak

cos

kx

'

bk

sin

kx

')f

x

'

a0

k

1傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数–若f(x)的周期区间为标变换2

2

ak

f

(x)

cos

k

xdx2

2

bk

f

(x)

sin

k

xdx,]，可以进行相应的坐2

2[

1

ak

f

(x)

cos

kxdx1

bk

f

(x)

sin

kxdx系数的计算傅里叶变换——傅里叶级数傅里叶级数–若f(x)的周期区间为,

]2

2[

2k

k

k

1f

x

a0

(a

cos

k

2

x

b

sin

k

2

x)2

2

ak

f

(x)

cos

k

xdx2

2

bk

f

(x)

sin

k

xdx2k

k

k

1f

x

a0

(a

cos

2k

fx

b

sin

2k

fx)2

ak

f

(x)

cos

2k

fxdx2

bk

f

(x)

sin

2k

fxdxf

1傅里叶变换——复数形式傅里叶级数的复数形式–欧拉公式2i

2sin

1

ei

e

i

i

ei

ei

2cos

1

ei

e

i

2k

k

k

1f

x

a0

(a

cos

2k

fx

b

sin

2k

fx)

)

0

22kka(a

k

1k

1

f

x

bei

2k

fx

e

i

2k

fx2i(ei

2k

fx

e

i

2k

fx

)2(

ak

ibk

ei

2k

fx

ak

ibk

e

i

2k

fx

)2

2

a0

傅里叶变换——复数形式傅里叶级数的复数形式2

k

1(

ak

ibk

ei

2k

fx

ak

ibk

e

i

2k

fx

)2

2f

x

a0

a0

c0

,ak

ibk

ck

,ak

ibk

c

k

k

1,

2,

2kc

ei

2k

fxk

f

x

1

k

f

(x)e

j

2k

fxdx

/2

/2c

1

傅里叶变换——复数形式傅里叶级数的复数形式–若f(x)的周期区间为[0,

]201f

(x)edx

0

1

j

2k

(

f

)

x

j

2k

f

(

x

)2

dx

ck

f

(x)e

k

f

(x)e

j

2k

fxdx

/2

/2c

1

傅里叶变换——非周期函数由傅里叶级数到傅里叶变换–F(x)若为非周期函数，此时

2

f

(x)e

j

2

k

1

x

2

j

2

k

1

x

1

dx

e

n

f

(x)

lim

f

(x)e

dx

ej

2

fx

j

2

fx

f

(x)

df

2kc

ei

2k

fxk

f

x

1

k

f

(x)e

j

2k

fxdx

/2

/2c

1

G(f)，相当于分立情况的Cn傅里叶变换傅里叶变换

j

2

fxG(

f

)

g(x)e

dxG(

f

)e

j

2

fxdf

g(x)

f

(x)

df

f

(x)e

j

2

fxdx

e

j

2

fx傅里叶变换——二维二维傅里叶变换

j

2

fxG(

f

)

g(x)e

dxG(

f

)e

j

2

fxdf

g(x)

dx

j

2

(ux

vy

)G(u,

v)

dy

g(x,

y)e

G(u,

v)e

j

2

(ux

vy

)

du

g(x,

y)

dv

傅里叶变换——离散傅里叶变换离散傅里叶变换–g(x)（x=0,1,2,…,M-1）的离散傅里叶变换

j

2

fxG(

f

)

g(x)e

dxG(

f

)e

j

2

fxdf

g(x)

M

1g(x)e

j

2

fx/

Mx

0G(

f

)

1

M

M

1g(x)

G(

f

)e

j

2

fx/

Mf

0傅里叶变换——二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换M

1g(x)e

j

2

fx/

Mx

0G(

f

)

1

M

M

1g(x)

G(

f

)e

j

2

fx/

Mf

0

1

MM

1

M

1g(x,

y)e

j

2

(ux

vy

)/

MG(u,

v)

x

0

y

0M

1

M

1g(x,

y)

G(u,

v)e

j

2

(ux

vy

)/

Mx

0

v

0傅里叶变换——性质可分离性

1

MM

1

M

1g(x,

y)e

j

2

(ux

vy

)/

MG(u,

v)

x

0

y

0

1MM

1

M

1

e

j

2

ux/

M

g(x,

y)e

j

2

vy

/

Mx

0

y

0(0,0)XV(0,0)XY(0,0)UV列变换行变换f

(x,

y

)F(x,

v

)F(u,

v

)乘以N(N-1)(N-1)(N-1)(N-1)(N-1)(N-1)1次2-D

2次1-DO(N

4)减为O(N

2)傅里叶变换——性质位移不变性x

0

G(

f

)MMMx

0x

0

1

1

M

g(x)e

j

2

f

(

x

t

)/

M

1

e

j

2

ft

/

M

1

M

g(x)e

j

2

fx/

M

1

1

M

g(x)e

j

2

fx/

M傅里叶变换——性质旋转空域中图像旋转，其傅里叶变换也发生相应旋 转傅里叶变换处理具有朝向依赖性傅里叶变换——性质位移f

(x,

y)e

j

2

(u0

x

v0

y

)/

N

F

(u

u0

,

v

v0

)x

0

F

(

f

u0

)MMx

0

1

1

M

f

(x)e

j

2

u

x/

M

e

j

2

fx/

M0

1

1

M

f

(x)e

j

2

(

f

u

)

x/

M0傅里叶变换——性质周期性F

(u,

v)

F

(u

N

,

v)

F

(u,

N

v)

F

(u

N

,

v

N

)M

1

f

(x)e

j

2

(

f

N

)

x/

Nx

0M

1

f

(x)e

j

2

fx/

N

e

j

2

xx

0F

(

f

N

)

1N

1

F

(

f

)Ne

j

2

x

cos(2

x)

j

sin(2

x)

1频域图像增强——滤波频域图像增强的基本原理G(u,

v)

H

(u,

v)F

(u,

v)g(x,

y)

T

-1

H

(u,

v)F

(u,

v)

步骤利用傅里叶变换将原始图像变换到频率域F

(u,v)利用变换函数H

(u,

v)

对

F

(u,

v)

进行相应变换利用傅里叶反变换变换回空域频域图像增强——滤波(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换计算图像的DFT,即F(u,v)用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)计算反DFT计算幅值(-1)x+y乘以结果频域图像增强——滤波中心变换f

(x,

y)e

j

2

(u0

x

v0

y

)/

N

F

(u

u0

,

v

v0

)F

(u

N

/

2,

v

N

/

2)

f

(x,

y)e

j

(

x

y

)

f

(x,

y)(

1)x

y频域图像增强——滤波频域图像增强——滤波低通滤波高通滤波带通/带阻滤波同态滤波频域图像增强——低通滤波uv0D0图像的边缘和噪声对应高频分量，要增强图像的质量需要削弱高频噪声分量的影响G(u,

v)

H

(u,

v)F

(u,

v)g(x,

y)

T

-1

H

(u,

v)F

(u,

v)

理想低通滤波器H(u,v)

H

(u,v

)1D

(u,v)频域图像增强——低通滤波理想低通滤波器

0H

(u,

v)

1如D(u,v)≤D0如D(u,v)

D0D0：截断频率（非负整数）D(u,v)是从点(u,v)到频率平面原点的距离

D(u,v)=(u2

+v2)1/2频域图像增强——低通滤波巴特沃斯低通滤波器理想低通滤波器在物理上不可实现减少振铃效应，高低频率间的过度比较平滑阶为n的巴特沃斯低通滤波器11

D(u,

v)

/

D0

2nH

(u,

v)

01D

(u,v)D0H

(u,v)频域图像增强——低通滤波高斯低通滤波器220

D

(u

,v)/

2

DH

(u,

v)

e-2-1012-2-1010.60.40.2020.81D0：截断频率（非负整数）D(u,v)是从点(u,v)到频率平面原点的距离

D(u,v)=(u2

+v2)1/2频域图像增强——高通滤波理想高通滤波–形状与低通滤波相反

1H

(u,

v)

0如D(u,v)≤D0如D(u,v)

D001D0H(u,v)D

(u,v)uvH

(u,v)频域图像增强——高通滤波巴特沃斯高通滤波

2nH

(u,

v)

011

D D(u,

v)0H

(u,v)1D

(u,v)D0频域图像增强——带阻滤波带阻滤波器01D0H

(u,v)D

(u,v)W频域图像增强——带阻滤波放射对称带阻滤波器

1

1

H

(u,

v)

00如

D(u,

v)

D0

W

2如如D0

W

2

≤

D(u,

v)

≤

D

W

2D(u,

v)

D0

W

2uvH

(u,v)D0-w

/2D0+w/22nD(u,

v)WH

(u,

v)

021

2

D

(u,

v)

D

1

频域图像增强——带通滤波放射对称的带通滤波器

0

0

H

(

u

,v

)

1D(

u

,v

)

D0

W

2如

D(

u

,v

)

D0

W

2如

D0

W

2

≤D(

u

,v

)

≤

D0

W

2如

11H

(u

,

v)

0

2nD(u

,v)W

D2

(u

,v)

D2

uvH

(u,v)D0-w

/2D0+w/2快速傅里叶变换快速傅里叶变换（1D）MM

1x

0G(

f

)

1

M

g(x)W

fxMW

e

j

2

/

MM

1g(x)e

j

2

fx/

Mx

0G(

f

)

1

M

2

Kf

(2

x)2

K2

K2Kg(2x)W

1x

0K

1K

1f

(2

x

1)x

0

x

0

1Kg(2x

1)W1

12

K

G(

f

)

1

2

K

g(x)W

fx

M

2K快速傅里叶变换快速傅里叶变换（1D）f

(2

x)2

K2

Kg(2x)WK

1K

1f

(2

x

1)x

0x

0G(

f

)

1Kg(2x

1)W1

12

K

W

2

fx

W

fx2

K

Kfxfx

fKK

2

KW

1KK

1K

1x

0x

0

G(

f

)

g(2x)W

g(2x

1)W

1

12

K

K

1K

1x

0x

0

1K

1KfxfxevenG

(

f

)

Kg(2x)W

,