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文档简介

2027届新高考数学热点突破复习函数的零点问题重难解读

利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或

讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研

究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.目录/CONTENTS考点一数形结合研究函数的零点01考点二函数性质法研究函数的零点02课时跟踪训练0301PART考点一数形结合研究函数的

零点

（2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln

x）2.（1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围.

当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示：x（0，1）1（1，e2）e2（e2，＋∞）g'（x）－0＋0－g（x）单调递减0单调递增单调递减

规律方法

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可

将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图

象，根据图象特征求参数范围.

02PART考点二函数性质法研究函数

的零点

（1）求实数a的取值范围；

规律方法

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最

值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数

形结合的方法确定函数存在零点的条件.

04PART课时跟踪检测（时间：50分钟，满分：50分）

12341.

（10分）已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2，试求f（x）的零点个数.解：由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln

2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln

2；令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln

2，所以f（x）的单调递减区间为（0，ln

2），单调递增区间为（－∞，

0），（ln

2，＋∞）.由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点；由于f（ln

2）＝2（ln

2－1）－（ln

2）2＜0，则f（x）在（0，ln

2）上无

零点；由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln

2，2）上存在唯一零点.综上，函数f（x）在R上存在唯一零点.1234

1234

12343.

（15分）已知函数f（x）＝ln

x＋ax＋2.（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；

1234（2）若函数f（x）在定义域内存在两个零点，求a的取值范围.

1234

12344.

（15分）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；

123

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