2027届新高考数学热点突破复习函数的奇偶性与周期性

2027届新高考数学热点突破复习函数的奇偶性与周期性课标要求1.

了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.

会依据函数的性质进行简单的应用.目录/CONTENTS考点一函数的周期性01考点二函数的奇偶性02提能点函数奇偶性的综合应用03课时跟踪训练0401PART考点一函数的周期性1.

周期函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零

常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且

⁠

，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的

周期.2.

最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个

⁠

的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.f（x＋T）＝f

（x）

最小

（1）（2025·重庆一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f

（x）－2，则下列是周期函数的是（

D

）A.

y＝f（x）－xB.

y＝f（x）＋xC.

y＝f（x）－2xD.

y＝f（x）＋2x解析：

依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，

所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期

为1的周期函数.D

A.

－1C.0

B规律方法1.

求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数

的周期.2.

周期性的应用主要有两方面.①求值：借助周期将自变量的值转化为已

知的函数值或转化为解析式已知的区间上，代入求值；②求解析式：求函

数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数的

周期将自变量的值转化到解析式已知的区间上，同时结合函数的奇偶性得

到所求解析式.练1函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2

025）

＝（

）A.1D.7√

02PART考点二函数的奇偶性偶函数奇函数前提定义域关于

⁠对称定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，

都有

∈D且f（－x）＝

⁠

，那么函数f（x）

就叫做偶函数且f（－x）＝

⁠

，那么函数f

（x）就叫做奇函数图象特征关于

⁠对称关于

⁠对称原点

－x

f

（x）

－f

（x）

y轴

原点

结论：（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f

（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（－x）＝f（｜

x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称

的区间上具有相反的单调性.

〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（

）√

法三（性质法）

易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，

由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，

y＝cos

x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定

义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin

x＋

4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.

规律方法判断函数的奇偶性包括的两个必备条件（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算

中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0

（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.提醒

设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共

定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇

×偶＝奇.练2

（1）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g

（x）≠0，则下列说法正确的是（

D

）A.

f（x）＋g（x）为R上的奇函数B.

f（x）－g（x）为R上的偶函数D.

｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数D

偶

法二（定义法）

易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数.法三（性质法）

f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数.03PART提能点函数奇偶性的综合应用角度1

求值（解析式）

A

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x

＋1，则函数f（x）的解析式为

⁠.

规律方法1.

求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值

求解.2.

求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性

求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式

（组），从而得到f（x）的解析式.角度2

解不等式

已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等

式xf（x－2）＞0的解集为（

）A.

（1，3）B.

（3，＋∞）C.

（－3，－1）∪（3，＋∞）D.

（0，1）∪（3，＋∞）√解析：

偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上

单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－

2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以

x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜

0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所

以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）.规律方法利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法步骤

A.

－1B.0D.1B

（2）（2026·陕西西安质检）已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x≥0

时，f（x）＝log2（x＋3）＋a，则f（－3）＝

，当x＜0时，f

（x）＝

⁠.－1

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的

值是（

）1234567891011121314√

2.

下列函数中为偶函数的是（

）A.

y＝｜ln

x｜B.

y＝e－xC.

y＝x

sin

xD.

y＝x

cos

x√解析：

A项，函数定义域为x∈（0，＋∞），不关于原点对称，不可

能为偶函数；B项，由e－（－x）＝ex≠e－x，故y＝e－x不为偶函数；C项，

（－x）sin（－x）＝x

sin

x，且定义域为R，故y＝x

sin

x为偶函数；D

项，（－x）cos（－x）＝－x

cos

x，且定义域为R，故y＝x

cos

x为奇函

数.故选C.

12345678910111213143.

已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，

则f（2

025）＝（

）A.2B.0C.

－2D.

－4√解析：

因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f

（x）为奇函数，所以f（2

025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－

1）＝－2，故选C.

12345678910111213144.

（2026·安徽阜阳模拟）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当

x≥0时，f（x）＝2x＋x－1，则当x＜0时，f（x）＝（

）A.2－x－x－1B.2－x＋x＋1C.

－2－x－x－1D.

－2－x＋x＋1√解析：

当x＜0时，－x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f

（－x）＝－2－x＋x＋1，故选D.

12345678910111213145.

设f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则使f

（x）＞0的x的取值范围是（

）A.

{x｜x＞1}B.

{x｜－1＜x＜0}C.

{x｜x＜－1或x＞1}D.

{x｜1＜x＜0或x＞1}√解析：

∵当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1单调递

增，又∵f（x）为偶函数，故可以作出f（x）的图象如图

所示.由图象可知，若f（x）＞0，则x＜－1或x＞1.12345678910111213146.

〔多选〕已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]

时，f（x）＝2x－2，则（

）A.

f（2

026）＝2B.

f（x）的值域为[－1，2]C.

f（x）在[4，6]上单调递减D.

f（x）在[－6，6]上有8个零点√√1234567891011121314解析：

f（2

026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当

x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值

域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，

2]，且f（x）在[4，6]上单调递增，所以B正确，C错误；令f（x）＝2x

－2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所

以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]

上有6个零点，所以D错误.12345678910111213147.

〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函

数，则（

）A.

f（x－1）为奇函数B.

f（x）为周期函数C.

f（x＋3）为奇函数D.

f（x＋2）为偶函数√√√解析：

由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f

（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋

1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－

1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝

f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C.

1234567891011121314

－

41234567891011121314

－12

123456789101112131410.

（13分）（2026·广东茂名模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且

对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x

－x2.（1）求证：f（x）是周期函数；解：

证明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）

＝f（x）.∴f（x）是周期为4的周期函数.1234567891011121314（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式.解：

当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f（－x）＝2（－

x）－（－x）2＝－2x－x2.又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.∴f（x）＝x2

＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－

4）.又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2

（x－4）＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8.1234567891011121314

A.

f（x－1）－1B.

f（x－1）＋1C.

f（x＋1）－1D.

f（x＋1）＋1√

123456789101112131412.

〔多选〕已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝

0，则（

）A.

f（3）＝0B.

f（3）＝f（5）C.

f（x＋3）＝f（x－1）D.

f（x＋2）＋f（x＋1）＝1√√√1234567891011121314解析：

因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－

x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f

（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f

（x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝

－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3

－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时

根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等

又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）

＋f