2027届新高考数学热点突破复习函数性质的综合应用

2027届新高考数学热点突破复习函数性质的综合应用函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出

现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质

结合在一起进行考查.

函数的单调性与奇偶性

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（－x）＝f

（x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f

（－3）的大小关系是（

）A.

f（π）＞f（－3）＞f（－2）

B.

f（π）＞f（－2）＞f（－3）C.

f（π）＜f（－3）＜f（－2）

D.

f（π）＜f（－2）＜f（－3）√解析：

∵函数f（x）的定义域为R且f（－x）＝f（x），∴f（x）

是定义在R上的偶函数，∴f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3），又∵f

（x）在[0，＋∞）上单调递增，且2＜3＜π，∴f（2）＜f（3）＜f

（π），即f（π）＞f（－3）＞f（－2）.规律方法综合应用奇偶性与单调性的解题技巧（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上

的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调

性比较大小；（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，

再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）

求解.

函数的奇偶性与周期性

〔多选〕函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是

偶函数，则（

）A.

f（x）是偶函数B.

f（x）是奇函数C.

f（x＋3）是偶函数D.

f（x）＝f（x＋4）√√解析：

因为f（x＋1）是偶函数，所以f（－x＋1）＝f（x＋1），

从而f（－x）＝f（x＋2）.因为f（x－1）是偶函数，所以f（－x－1）

＝f（x－1），从而f（－x）＝f（x－2）.所以f（x＋2）＝f（x－

2），即f（x＋4）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数.因为f

（－x－1）＝f（x－1），所以f（－x－1＋4）＝f（x－1＋4），即f

（－x＋3）＝f（x＋3），所以f（x＋3）是偶函数.规律方法综合应用奇偶性与周期性的解题技巧（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期；（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数

值，直到自变量进入已知解析式的区间内，或已知单调性的区间内求解.

函数的奇偶性与对称性

A.1B.3C.

－1D.

－3

C（2）〔多选〕已知f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）＋g（1－

x）＝a（a≠0），g（1＋x）＝g（1－x），若f（x＋2）为奇函数，则

（

ACD

）A.

g（x）关于直线x＝1对称B.

g（x）为奇函数C.

f（2）＝0D.

f（x）为偶函数ACD解析：因为g（x）的定义域为R，且g（1＋x）＝g（1－x），所以g

（x）关于直线x＝1对称，故A正确；但不能确定g（x）为奇函数，故B

错误；根据题意，y＝f（x＋2）是定义域为R的奇函数，所以f（x＋2）

＝－f（－x＋2），令x＝0，得f（2）＝0，故C正确；因为f（x）＋g

（1－x）＝a，则f（－x）＋g（1＋x）＝a，结合g（1＋x）＝g（1－

x），则f（－x）＋g（1－x）＝a，所以f（x）＝f（－x），即f（x）

为偶函数，故D正确.规律方法

解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的

奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象

变换关系得出函数图象的对称性.

函数的对称性与周期性

〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x

＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝

－1，则（

）A.

b＝－2B.

f（2

025）

＝－1C.

f（x）为偶函数D.

f（x）的图象关于点（1，0）对称√√√解析：

由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1）

＝－f（2x＋

1），则f（－x＋1）

＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0）

对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对

称，且f（－x＋2）＝f（x＋2），∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，

于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x

＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，∴f（3）＝f（1）＝0，由x∈[0，1]

时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，又f（0）＋f（3）＝－1，

∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f（2

025）＝f（4×506＋

1）

＝f（1）＝0，B错误.故选A、C、D.

规律方法综合应用对称性与周期性的解题技巧（1）函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象

的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表

明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆；（2）对称性与周期性的关系：①若函数f（x）的图象关于直线x＝a与x

＝b对称，则f（x）的一个周期为2｜b－a｜；②若函数f（x）的图象关

于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则f（x）的一个周期为2｜

b－a｜；③若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）

对称，则f（x）的一个周期为4｜b－a｜.

1.

若定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则不等式f

（2x＋1）－f（x－1）＞－3x2－6x的解集为（

）A.

（－∞，－2）∪（0，＋∞）B.

（－∞，－1）∪（0，＋∞）C.

（－2，0）D.

（－1，0）√解析：

由f（2x＋1）－f（x－1）＞－3x2－6x，可得f（2x＋1）＋

（2x＋1）2＞f（x－1）＋（x－1）2.令g（x）＝f（x）＋x2，因为f

（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）也是偶函数，

且在[0，＋∞）上单调递增，从而｜2x＋1｜＞｜x－1｜，解得x＜－2或

x＞0.2.

已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－

1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（

）A.

－3B.

－2C.2D.3√解析：

因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对

称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x）

的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝

4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g

（－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3.3.

〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x＋1）＋f

（x－1）＝f（x），g（x－3）是偶函数，且f（x）＋g（x－3）＝2，

若g（－3）＝1，则（

）C.

f（x）＝f（x＋6）D.

f（x）为奇函数√√√

4.

〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（4

－x）＝f（x），f（0）＝2，且f（x）在[0，2]上单调递减，则

（

）A.

f（1）＝0B.

f（8）＝2C.

f（x）在[6，8]上单调递减D.

f（x）在[0，100]上有50个零点√√√解析：

对于A，因为f（2x＋1）为奇函数，所以当x＝0时，f

（2×0＋1）＝0，即f（1）＝0，故A正确；对于B，因为f（2x＋1）为

奇函数，所以f（－2x＋1）＋f（2x＋1）＝0，所以f（－x＋1）＋f（x

＋1）＝0，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，即f（2－x）＝－f

（x），因为f（4－x）＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对

称，所以f（x＋4）＝f（－x）＝－f（2＋