2023-2024学年湖南省湘西州泸溪一中等多校联考高二(上)月考数学试卷(8月份)

2023-2024学年湖南省湘西州泸溪一中等多校联考高二（上）月考数学试卷（8月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x∈Z|（x+2）（x﹣1）≤0}，则∁UA＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣3，2，3} D．{﹣1，0，1}2．（5分）复平面内复数z所对应的点为（﹣2，﹣1），则|z+i|＝（）A． B．2 C． D．13．（5分）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A． B． C． D．4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，﹣1），若（λ+2）∥（﹣），则实数λ＝（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣25．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝，则x+y+z＝（）A． B． C．1 D．6．（5分）设点P（x，y）满足ax+by+c＝0，则“b＝2a”是“|x+2y+2|+|x+2y﹣1|为定值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．8．（5分）已知a＞0，若函数f（x）＝有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知x，y是正数，且x+y＝2，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为1 B．2x+2y有最小值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9（多选）10．（5分）2022年10月22日，党的二十大胜利闭幕．为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市各部门开展了二十大宣讲活动．某部门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二十大精神”知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，则下列结论中正确的是（）A．a＝0.03 B．众数为80 C．第71百分位数是82 D．平均分是75.5（多选）11．（5分）已知直线l：x﹣my+m﹣1＝0，则下列说法正确的是（）A．直线l的斜率可以等于0 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则m＝或m＝﹣ C．直线l恒过点（2，1） D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m＝1或m＝﹣1（多选）12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在点Q，使得C1Q∥A1C B．存在点Q，使得C1Q⊥A1C C．对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为 D．对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝5交于A，B两点，则|AB|＝．14．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝cosx的图象向（填“左、右”）平移个单位长度．15．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PB＝AB＝1，点M是PC的中点，则直线PA和BM所成角的余弦值为．16．（5分）已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx+ny＝2上，则m2+n2的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日该市空气重度污染的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．18．（12分）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线与直线2x+3y﹣2＝0的法向量平行，求直线l的方程；（2）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．19．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．（1）求角A；（2）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，过点的直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝|x2﹣1|﹣x2+ax（a∈R，a为常数）．（1）若函数y＝f（x）有3个零点，求实数a的取值范围；（2）记，若y＝g（x）与y＝2在（0，+∞）有两个互异的交点x1，x2，且x1＞x2，求证：4x2﹣3x1＜a﹣2．

2023-2024学年湖南省湘西州泸溪一中等多校联考高二（上）月考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x∈Z|（x+2）（x﹣1）≤0}，则∁UA＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣3，2，3} D．{﹣1，0，1}【考点】一元二次不等式及其应用；补集及其运算．【答案】C【分析】先求出集合A，再利用补集的运算求解．【解答】解：由（x+2）（x﹣1）≤0，得﹣2≤x≤1，则A＝{﹣2，﹣1，0，1}，又因为U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，所以∁UA＝{﹣3，2，3}．故选：C．2．（5分）复平面内复数z所对应的点为（﹣2，﹣1），则|z+i|＝（）A． B．2 C． D．1【考点】复数的模．【答案】B【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可．【解答】解：因为复数z所对应的点为（﹣2，﹣1），所以z＝﹣2﹣i，所以z+i＝﹣2，所以|z+i|＝2．故选：B．3．（5分）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【答案】C【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可．【解答】解：由题意知，球内切于正方体，∴2R＝1，∴R＝，所以球的体积，即可能制作的最大零件的体积为．故选：C．4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，﹣1），若（λ+2）∥（﹣），则实数λ＝（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】D【分析】直接利用向量的坐标运算法则，结合向量共线，列出方程求解即可．【解答】解：向量＝（1，1），＝（2，﹣1），λ+2＝（4+λ，λ﹣2）﹣＝（﹣1，2），∵（λ+2）∥（﹣），∴2﹣λ＝8+2λ，解得λ＝﹣2．故选：D．5．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝，则x+y+z＝（）A． B． C．1 D．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【答案】D【分析】由空间向量的线性运算可得，由空间向量基本定理可得x，y，z的值，从而求解．【解答】解：因为EC＝2PE，所以，所以，又因为，所以，则．故选：D．6．（5分）设点P（x，y）满足ax+by+c＝0，则“b＝2a”是“|x+2y+2|+|x+2y﹣1|为定值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解．【解答】解：若为定值，即点P（x，y）到直线x+2y+2＝0，x+2y﹣1＝0两条直线距离之和为定值，显然，这两条直线平行，如图，所以当点P（x，y）在与这两条直线平行的直线上时，此时直线ax+by+c＝0满足ab≠0且b＝2a，即b＝2a，且a≠0，b≠0，|x+2y+2|+|x+2y﹣1|为定值，所以“b＝2a”是“|x+2y+2|+|x+2y﹣1|为定值”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【答案】A【分析】根据已知条件，先求出圆心与半径，求出|PC|，再结合二倍角公式，即可求解．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣1＝0可化为（x﹣1）2+y2＝2，则圆心C（1，0），半径为；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则，过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，在△PBC中，，所以．故选：A．8．（5分）已知a＞0，若函数f（x）＝有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C． D．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【答案】B【分析】对a讨论，分a＝1，a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：函数f（x）＝（a＞0），当a＝1时，x＞1，f（x）＝0；x≤1时，f（x）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣≥﹣，x＝时取得最小值；当0＜a＜1时，x＞1，f（x）＝ax﹣1﹣1递减，可得f（x）＜0，即f（x）无最小值；当a＞1时，x＞1，f（x）递增，可得f（x）＞0；x≤1时，f（x）＝ax2﹣x＝a（x﹣）2﹣≥﹣，当x＝时f（x）取得最小值﹣．综上可得，a的范围是[1，+∞）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知x，y是正数，且x+y＝2，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为1 B．2x+2y有最小值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9【考点】基本不等式及其应用．【答案】ABC【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：∵x，y是正数，，当且仅当x＝y且x+y＝2，即x＝y＝1时取等号，此时xy≤1，故A正确；，当且仅当x＝y且x+y＝2，即x＝y＝1时取等号，∴2x+2y有最小值4，故B正确；因为，则，当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当y＝2x且x+2y＝2，即x＝，y＝时取等号，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（5分）2022年10月22日，党的二十大胜利闭幕．为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市各部门开展了二十大宣讲活动．某部门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二十大精神”知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，则下列结论中正确的是（）A．a＝0.03 B．众数为80 C．第71百分位数是82 D．平均分是75.5【考点】频率分布直方图．【答案】ACD【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1可判断A，根据众数、百分位数和平均数的定义可判断BCD．【解答】解：对于A，因为（0.010+0.015+0.040+a+0.005）×10＝1，所以a＝0.030，故A正确；对于B，众数的估计值为＝75，故B错误；对于C，前三组数据的频率之和为（0.010+0.015+0.040）×10＝0.65，前四组数据的频率之和为（0.010+0.015+0.040+0.030）×10＝0.95，则设第71百分位数是x，x∈（80，90），所以0.65+（x﹣80）×0.030＝0.71，解得x＝82，即第71百分位数是82，故C正确；对于D，由频率分布直方图估计平均数为0.010×10×55+0.015×10×65+0.040×10×75+0.030×10×85+0.005×10×95＝75.5，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知直线l：x﹣my+m﹣1＝0，则下列说法正确的是（）A．直线l的斜率可以等于0 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则m＝或m＝﹣ C．直线l恒过点（2，1） D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m＝1或m＝﹣1【考点】恒过定点的直线；两直线的夹角与到角问题；直线的斜率；直线的截距式方程．【答案】BD【分析】根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．【解答】解：当m＝0时，直线l的斜率不存在，当m≠0时，直线l的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；∵直线l与y轴的夹角为30°，∴直线l的倾斜角为60°或120°，∴直线l的斜率为，∴或∴或m＝﹣，故B选项正确；直线l的方程可化为（x﹣1）﹣m（y﹣1）＝0，所以直线l过定点（1，1），故C选项错误；当m＝0时，直线l在y轴上的截距不存在，当m≠0时，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝1﹣m，令＝1﹣m，得m＝±1，故D选项正确，故选：BD．（多选）12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在点Q，使得C1Q∥A1C B．存在点Q，使得C1Q⊥A1C C．对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为 D．对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【答案】BC【分析】对于A：建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系A﹣xyz，设Q（0，1，a），其中0≤a≤1，当，即（﹣1，0，a﹣1）＝λ（1，1，﹣1），λ无解，即可判断A是否正确；对于B：当时，解得a，即可判断B是否正确；对于C：点Q到A1C的距离为，即可判断C是否正确；对于D：计算cos＜，＞＝，即可判断D是否正确．【解答】解：对于A：建立空间直角坐标系如图所示：所以A1（0，0，1），C（1，1，0），C1（1，1，1），设Q（0，1，a），其中0≤a≤1，所以，，当，即（﹣1，0，a﹣1）＝λ（1，1，﹣1时，所以，λ无解，所以不存在λ使得，即不存在点Q，使得C1Q∥A1C，故A项错误；对于B：当时，解得a＝0，故B项正确；对于C：因为，其中0≤a≤1，所以点Q到A1C的距离为＝＝＝∈[，]，故C项正确；对于D：因为，，中0≤a≤1，所以cos＜，＞＝＝≤0，所以△A1CQ为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝5交于A，B两点，则|AB|＝2．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】2．【分析】求得圆心到直线的距离d，利用垂径定理可求弦长|AB|．【解答】解：由圆方程得圆心C（3，﹣4），半径r＝，圆心到直线l：x+y﹣1＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2．故答案为：2．14．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝cosx的图象向右（填“左、右”）平移个单位长度．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】右；（答案不唯一，满足题意即可）．【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．【解答】解：把函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象．故答案为：右；．15．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PB＝AB＝1，点M是PC的中点，则直线PA和BM所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】．【分析】根据中位线可得异面直线所成的角，利用三角形的边角关系即可求解．【解答】解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OM，则O为AC的中点，又M为PC的中点，所以OM∥AP，所以∠BMO为异面直线PA和BM所成的角或其补角，又△PCB为等边三角形，且边长为1，故，又OM＝PA＝，，故BM2＝OM2+OB2，故∠MOB＝90°，故cos∠BMO＝＝，异面直线PA和BM所成的角的余弦值为．故答案为：．16．（5分）已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx+ny＝2上，则m2+n2的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】．【分析】利用圆与圆之间的关系求出公共直线所过的定点，将其代入mx+ny＝2中，用m表示n，代入m2+n2中转化为二次函数，即可求最值．【解答】解：由圆和圆，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k（x﹣2y）+（y﹣1）＝0，联立，解得，即点M（2，1），又因为点M在直线mx+ny＝2上，即2m+n＝2，所以n＝2﹣2m，所以，当取等号，所以m2+n2的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日该市空气重度污染的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由题中所给统计图可得空气质量重度污染的天数，从而可解；（Ⅱ）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，从而利用古典概型可解．【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，故此人到达当日该市空气重度污染的概率为；（Ⅱ）此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为（40，217），（217，160），（160，121），（121，158），（158，86），（86，79），（79，37），（86，25），（25，57），（57，143），（143，220），（220，160），（160，40），共13种情况，其中只有1天空气重度污染的是（143，220），（220，160），（40，217），（217，160），共4种情况，故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．18．（12分）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线与直线2x+3y﹣2＝0的法向量平行，求直线l的方程；（2）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．【考点】恒过定点的直线．【答案】（1）3x﹣2y﹣5＝0；（2）直线EF过定点（3，1），证明见解答．【分析】（1）根据题意，可设直线l方程为：3x﹣2y+C＝0，讲点P坐标代入即可解得C；（2）根据向量式求得点A的坐标，进而设E（m，2），F（n，0），推得m+n＝6，分m＝n和m≠n两种情况得出EF的方程，证明其恒过定点（3，1）．【解答】（1）解：由题设可知，直线l与直线2x+3y﹣2＝0平行，设直线l方程为：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入，得9﹣4+C＝0，解得C＝﹣5，故直线l：3x﹣2y﹣5＝0；（2）证明：设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），可得，，因为，则有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6，设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6，当m≠n时，直线EF的方程为，将n＝6﹣m代入上式，可得y＝（x﹣6+m），整理得2m（y﹣1）﹣（2x+6y﹣12）＝0，当，即时，可得直线EF经过定点（3，1）；当m＝n＝3时，直线EF的方程为x＝3，故直线EF过点（3，1）；综上所述直线EF过定点（3，1）．19．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．（1）求角A；（2）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）结合两角和的正弦公式与正弦定理，化简可得，再利用辅助角公式，并根据A的取值范围，即可得解；（2）结合正弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换公式，推出S△ABC＝，再根据C的取值范围，并利用正切函数的图象与性质，即可得解．【解答】解：（1）由得，，由正弦定理得，sinA（cosC+sinC）＝sinB+sinC，所以sinAcosC+sinAsinC＝sin（A+C）+sinC＝sinAcosC+cosAsinC+sinC，所以，因为sinC＞0，所以，所以sin（A﹣）＝，又A∈（0，），所以，所以，即．（2）由正弦定理得，，所以＝，又c＝1，所以S△ABC＝bcsinA＝••＝•＝•＝，因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以△ABC面积的取值范围为．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接AC，根据线面垂直的性质定理得到AA1⊥BD，再根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，进而证明BD⊥CC1；（2）过点A作BC的垂线交BC与N点，以AN作为x轴，以AD，AA1分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设A1B1＝1，构建平面AMD1的法向量为和．平面ADD1的法向量，再利用向量法求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，CC1延长后交于一点，故A，C，C1，A1共面，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA1⊥BD，连接AC，因为底面四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，故BD⊥平面ACC1A1，因为CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；（2）过点A作BC的垂线交BC于点N，以方向作为x轴，以，方向为y轴，以方向为z轴，建立空间直角坐标系如图：不妨设A1B1＝1，则AB＝2AA1＝2A1B1＝2，∵∠ABC＝60°，∴，∵点M是棱BC上靠近点C的三等分点，∴，则，则，记平面AMD1的法向量为，则，即，令y＝1，则，即．平面ADD1的法向量可取为，由图知二面角M﹣AD1﹣D为锐二面角，故二面角M﹣AD1﹣D的余弦值为．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，过点的直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】（1）（﹣1，0）∪（0，1）．（2）Smax＝2.．【分析】（1）设直线l的方程：，利用点到线的距离可求得k的范围；（2）直线，即，利用垂径定理可得．进而可求△ABO的面积的最大值S．【解答】解：（1）设直线l的斜率为k，则直线l的方程：，由题意知：圆心到直线的距离，因为直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，