2023-2024学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三(上)入学数学试卷

2023-2024学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学数学试卷一、单选题（40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0}，若A∩B＝∅，则有（）A．a≥2 B．﹣2＜a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞02．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|＝，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心4．（5分）设{an}是等比数列，前n项和为Sn，若＝，则＝（）A． B． C． D．5．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA⊥SD，SA＝SD，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A． B．6π C．8π D．9π7．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1二、多选题（20分）（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布B（6，），则 B．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4 C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 D．E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X）+310．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，则（）A．f（x）在（0，）单调递增 B．直线x＝是曲线y＝f（x）的一条对称轴 C．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的一条切线 D．f（x）在（﹣，）上有两个极值点（多选）11．（5分）正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），则（）A．直线AC与直线EF异面 B．存在t，使得BC∥平面AEF C．存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱锥A﹣DEF体积的最大值为（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点M（4，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是（）A．抛物线的准线方程为x＝﹣1 B．|MN|＝ C．△OMN的面积为 D．|MF|+|NF|＝|MF||NF|三、填空题（20分）13．（5分）已知，则tanαsinα的值为．14．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若OQ∥PF2（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．16．（5分）函数h（x）＝lnx+1﹣2ax有两个零点，且h（x）极大值小于1，则实数a的取值范围是．四、解答题（70分）17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求tan2B的值；（2）若，，求△ABC的周长与面积．18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值．20．（12分）由中央电视台综合频道（CCTV﹣1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如表所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015_____Bxy_____合计_______________已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d，P（K2≥k0）0.050.0100.001k03.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．

2023-2024学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0}，若A∩B＝∅，则有（）A．a≥2 B．﹣2＜a＜2 C．a＞﹣2 D．a＞0【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】用判别式进行分类讨论，结合A∩B＝∅求得正确答案．【解答】解：由题意得，Δ＝a2﹣4，当a2﹣4＜0即﹣2＜a＜2时，方程x2﹣ax+1＝0无实数根，所以A＝∅，A∩B＝∅，符合题意．当a2﹣4＝0，即a＝±2时，若a＝2，则x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝0，x＝1，A＝{1}，A∩B＝∅，符合题意；若a＝﹣2，则x2+2x+1＝（x+1）2＝0，x＝﹣1，A＝{﹣1}，A∩B＝{﹣1}≠∅，不符合题意．当a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时，设方程x2﹣ax+1＝0的两个根为x1，x2，则，若a＜﹣2，则方程x2﹣ax+1＝0有两个不相等的负根，A∩B≠∅，不符合题意；若a＞2，则方程x2﹣ax+1＝0有两个不相等的正根，A∩B＝∅，符合题意．综上所述，a的取值范围是a＞﹣2．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数零点的判定定理．【答案】B【分析】函数f（x）＝，通过对x分类讨论可得f（x）＝．进而解出即可．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（x）＝．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））＝∈[0，3]，令f（f（x））＝2，解得x＝log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，＝2，解得x＝．x∈时，＝2，解得x＝．时，＝2，解得x＝1+．综上可得：函数g（x）＝f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．另解：令t＝f（x），f（t）＝2，画出图象：可得函数y＝2与y＝f（t）有两个交点t1，t2．且1＜t1＜2＜t2＜4．作函数y＝f（x）的图象，y＝t1，y＝t2，可知：函数y＝t1，y＝t2，与数y＝f（x）的图象分别有两个交点，因此函数g（x）＝f[f（x）]﹣2的零点个数为4．故选：B．3．（5分）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|＝，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心【考点】数量积表示两个向量的夹角．【答案】C【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】解：∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴（）＝0，＝0，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选：C．4．（5分）设{an}是等比数列，前n项和为Sn，若＝，则＝（）A． B． C． D．【考点】等比数列的前n项和．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵＝，∴＝＝＝，解得q＝．则＝＝＝．故选：C．5．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】基本不等式及其应用．【答案】D【分析】将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值．【解答】解：＝≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．6．（5分）已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA⊥SD，SA＝SD，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A． B．6π C．8π D．9π【考点】球的体积和表面积．【答案】C【分析】首先确定四棱锥的外接球的球心，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．【解答】解：四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA⊥SD，SA＝SD，如图所示：首先求四棱锥S﹣ABCD的外接球的球心；首先作平面ABCD的中心的垂线l，和过AD的中点E作平面SAD的垂线EF，相交于点O；即四棱锥S﹣ABCD的球心．故AO＝r＝；所以．故选：C．7．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】设甲条生产线生产芯片的次品率为p，根据题意列方程求出p的值．【解答】解：设甲条生产线生产芯片的次品率为p，则甲生产12块芯片可能出现的次品为12p，乙生产8块可能出现的次品为8×＝，所以生产20块芯片的次品率为＝0.08，解得p＝，所以甲厂生产该芯片的次品率为．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【考点】抽象函数及其应用．【答案】A【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故选：A．二、多选题（20分）（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布B（6，），则 B．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4 C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 D．E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X）+3【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】ABC【分析】根据正态分布和二项分布的性质进行计算可判断A，B，根据条件概率的计算公式计算可得判断C，根据期望和方差的性质可判断D．【解答】解：选项A，若随机变量X服从二项分布，则，故A正确；选项B，∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是直线x＝2，∵P（X＜4）＝0.9，∴P（X⩾4）＝P（X⩽0）＝0.1，∴P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.4，故B正确；选项C，设事件A为至少有1个景点末被选择，事件B为恰有2个景点末被选择，则，∴，故C正确；选项D，E（2X+3）＝2EX+3，D（2X+3）＝4D（X），故D不正确．故选：ABC．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，则（）A．f（x）在（0，）单调递增 B．直线x＝是曲线y＝f（x）的一条对称轴 C．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的一条切线 D．f（x）在（﹣，）上有两个极值点【考点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】C【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，∴2×+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）．在（0，）上，2x+∈（，），故函数f（x）在（0，）上单调递减，故A错误；令x＝，求得f（x）＝0，可得函数f（x）关于点（，0）对称，故B错误；令f′（x）＝2cos（2x+）＝﹣1，可得cos（2x+）＝﹣，故有2x+＝2kπ+或2x+＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ+，k∈Z．故可取x＝0，此时，f（x）＝，故函数f（x）在点（0，）处的切线方程为y﹣＝﹣1×（x﹣0），即y＝﹣x+，故C正确．在区间（﹣，）上，2x+∈（，），故函数f（x）只有一个极值点，为极小值点，故D错误．故选：C．（多选）11．（5分）正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），则（）A．直线AC与直线EF异面 B．存在t，使得BC∥平面AEF C．存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱锥A﹣DEF体积的最大值为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】AB【分析】对于A，根据异面直线的定义即可判断；对于B，当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，得到BC∥EF，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于C，根据题意得到当E，O，F三点共线时，平面AEF⊥平面BCD，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于D，先求出三棱锥A﹣DEF的高AO，然后利用基本不等式求出△DEF面积的最大值，即可求出三棱锥A﹣DEF体积的最大值．【解答】解：因为直线AC与平面BCD交于点C，EF⊂平面BCD，且不经过点C，所以直线AC与直线EF异面，故A正确；当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，此时BC∥EF，因为EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，所以BC∥平面AEF，故B正确；设O为△BCD的中心，连接AO，因为经过点A有且只有一条直线AO垂直于平面BCD，所以经过点A且垂直于平面BCD的平面一定经过直线AO，即当且仅当E，O，F三点共线时，平面AEF⊥平面BCD，因为DE＝1﹣t，DF＝t，所以＝，＝，设BC的中点为M，连接DM，则＝＝（+）＝（+），因为E，O，F三点共线，所以，整理得3t2﹣3t+1＝0，因为Δ＝﹣3＜0，所以此方程无解，所以不存在t∈（0，1），使得平面AEF⊥平面BCD，故C错误；易知，在△DEF中，DE＝1﹣t，DF＝t，所以△DEF的面积S＝×t×（1﹣t）×sin≤[]2＝，当且仅当时等号成立，所以三棱锥A﹣DEF体积的最大值为．故D错误．故选：AB．（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点M（4，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是（）A．抛物线的准线方程为x＝﹣1 B．|MN|＝ C．△OMN的面积为 D．|MF|+|NF|＝|MF||NF|【考点】抛物线的性质．【答案】AD【分析】根据条件求出p，再联立直线与抛物线求出N，进而求出结论．【解答】解：∵点M（4，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴42＝2p•4⇒p＝2，∴y2＝4x，焦点为（1，0），准线为x＝﹣1，A对，因为M（4，4），故kMF＝＝，故直线MF为：y＝（x﹣1），联立⇒（x﹣1）2＝4x⇒x＝或x＝4，∴N（，﹣1），∴|MF|＝4＝5，|NF|＝+＝，∴|MN|＝5+＝，B错，|MF|+|NF|＝|MN|＝＝|MF|•|NF|，D对，△OMN的面积为|OF|•（yM﹣yN）＝×1×5＝．故C错，故选：AD．三、填空题（20分）13．（5分）已知，则tanαsinα的值为．【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简所求表达式为余弦函数的形式，代入求解即可．【解答】解：因为cosα＝，则tanαsinα＝＝＝＝．故答案为：．14．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．【考点】二项式定理．【答案】160．【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得x6的系数．【解答】解：（2x3+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣rx18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若OQ∥PF2（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的性质．【答案】．【分析】由OQ∥PF2，O是F1F2的中点，可得Q为F1P的中点，再由PF1⊥OP，F1到渐近线y＝的距离为b，且|F1O|＝c，得出∠PF1O的余弦值，在△QF1F2中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可．【解答】解：如图，∵OQ∥PF2，O是F1F2的中点，∴Q为F1P的中点，∵PF1⊥OP，∴点F1（﹣c，0）到渐近线y＝的距离，又|F1O|＝c，∴cos∠PF1O＝，连接QF2，可知，则由双曲线的定义可知|QF2|＝|QF1|+2a＝，在△QF1F2中，由余弦定理得cos∠QF1F2＝＝，整理得a＝b，∴双曲线的离心率为e＝，故答案为：．16．（5分）函数h（x）＝lnx+1﹣2ax有两个零点，且h（x）极大值小于1，则实数a的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】．【分析】求导后，分别在a≤0和a＞0的情况下讨论h（x）的单调性，从而确定极大值为，根据函数有两个零点和已知可确定，由此可得a的范围，结合零点存在定理可说明此时h（x）有两个零点，由此可得结论．【解答】解：由题意知h（x）定义域为（0，+∞），，当a≤0时，h′（x）＞0恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）至多有一个零点，不合题意；当a＞0时，令h′（x）＝0，解得：，所以当时，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0，所以h（x）在上单调递增，在上单调递减，所以h（x）的极大值为，解得，若h（x）有两个零点，则需，解得，所以，此时1＜＜e，即，又，f（e3）＝lne3+1﹣2ae2＝4﹣2ae3＜0，所以f（x）在和存在两个零点，满足题意；综上所述：实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题（70分）17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求tan2B的值；（2）若，，求△ABC的周长与面积．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（1）；（2）11；．【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan2B；（2）先求得sinC，然后利用正弦定理求得a，b，从而求得三角形ABC的周长与面积．【解答】解：（1）由正弦定理得，故，而在△ABC中，sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，故，又B∈（0，π），所以sinB≠0，则，则，，故．（2）因为，且sin2A+cos2A＝1，A∈（0，π），所以，，由（1）得，，则，由正弦定理得，则a＝5，，故△ABC的周长为a+b+c＝11；△ABC的面积为．18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n+1；（2）．【分析】（1）根据题意，求得a2＝5，a3＝7，猜想an＝2n+1，结合数列的递推公式加以证明，即可求解；（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解．【解答】解：（1）因为数列{an}中，a1＝3，且an+1＝3an﹣4n，可得a2＝5，a3＝7，可猜想：数列{an}的通项公式为an＝2n+1，由数列{an}满足an+1＝3an﹣4n，可得an+1﹣（2n+3）＝3[an﹣（2n+1）]，则an﹣（2n+1）＝3[an﹣1﹣（2n﹣1）]，an﹣1﹣（2n﹣1）＝3[an﹣2﹣（2n﹣3）]，⋯⋯a3﹣7＝3（a2﹣5），a2﹣5＝3（a1﹣3），因为a1＝3，所以an﹣（2n+1）＝0，所以an＝2n+1，故数列{an}的通项公式为an＝2n+1．（2）由an＝2n+1，可得，则，可得，两式相减可得＝6+2⋅（22+23+⋯+2n）﹣（2n+1）×2n+1＝，所以．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）证得DM⊥平面BMC，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）当M在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果．【解答】（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．∵BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面CMD，DM⊂平面CMD，故BC⊥DM，∵M是上异于C，D的点，且DC为直径，∴DM⊥CM，又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，∴DM⊥平面BMC，而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC；（2）解：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点．由题设得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，1，1），，设平面MAB的法向量为，则，令x＝1，则平面MAB的法向量，又是平面MCD的一个法向量，因此，，得，∴，，∴面MAB与面MCD所成二面角的正切值是2．20．（12分）由中央电视台综合频道（CCTV﹣1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如表所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015_____Bxy_____合计_______________已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d，P（K2≥k0）0.050.0100.001k03.8416.63510.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人；（2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；（3）X的分布列为：X0123P期望为2．【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果；（2）补全2×2列联表，再根据独立性检验求解即可；（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可．【解答】解：（1）由题意得，解得x＝35，所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）；（2）完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关，，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以X的分布列为：X0123P故．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【考点】直线与双曲线的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，∴，得由2α+∠PAQ＝π，∴，得，即，联立，及得，同理，故，而，由，得，故S△PAQ＝|AP|