2023-2024学年湖南省张家界市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年湖南省张家界市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）样本数据1，3，5，1，9，5，6，11，8的中位数是（）A．5 B．5.5 C．6 D．72．（5分）已知集合A＝{x|log3（1﹣x）＜1}，B＝[﹣1，2），则A∪B＝（）A．[﹣1，1） B．（﹣2，+∞） C．[﹣1，2） D．（﹣2，2）3．（5分）已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为6π，则其体积为（）A．2π B．3π2 C．3π D．44．（5分）已知函数f(x)=logax，x≥1−x2A．2≤a≤3 B．2≤a≤4 C．1＜a≤4 D．a≥25．（5分）在△ABC中，DC→=3BD→，P为线段AD的中点，若A．6 B．8 C．10 D．126．（5分）已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，且△ABC的面积为−315cosB，则A．2 B．23 C．15 7．（5分）已知a=(13)23+2loA．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a8．（5分）若当x∈[0，2π]时，函数y=sinx2与y=2sin(ωx−πA．[98，138) B．(二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z满足ziA．z＝3+3i B．|z|=32C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z2是纯虚数（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sinxcos(x+πA．f（x）的最大值与最小值之差为1 B．f（x）在区间(0，π6C．f（x）的图象关于点(π6D．若将f（x）的图象向左平移π12个单位长度得到g（x）的图象，则g（x（多选）11．（6分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，D是棱AB的中点，AB＝AA1＝2，A1D=5，A1C=22，H是棱CC1上的动点，E，F是棱AA．AA1⊥平面ABC B．A1D⊥CD C．该三棱柱的外接球的体积为32π3D．三棱锥D﹣EFH的体积恒为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知非零向量a→=(x，−x)，b→=(3，x)，若(a13．（5分）袋子中装有6个质地、大小均相同的球，其中有3个红球、2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为．14．（5分）记min{a，b，c}为a，b，c中最小的数．已知0＜x＜y＜z＜1，且y≤2x，则min{y﹣x，z﹣y，1﹣z}的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：甲击中的环数9710810891010乙击中的环数101089996109（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数x和方差s2；（2）用甲、乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲、乙每次射击相互独立，求甲、乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率．16．（15分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知an≥1且2Sn=an（Ⅰ）证明：{an}是等差数列；（Ⅱ）记bn=2an，n为奇数，an，n为偶数，．求求数列{bn17．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△ABC均为等腰直角三角形，AC＝BC，PA＝PC，M为棱AB的中点，且PM＝PA．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣PC﹣A的正弦值．18．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为（1）求C的方程；（2）若M，N为C上与点A，B均不重合的两个动点，且直线MA，NB的斜率分别为k和﹣2k．（i）若OM∥NB（O为坐标原点），判断直线MA和NB的位置关系；（ii）证明：直线MN经过x轴上的定点．19．（17分）已知函数f（x）＝x（aex﹣x﹣2）（a∈R）．（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）若f（x）的极大值为f（﹣1），求a的取值范围；（3）若a≥1，证明：当x＞0时，f（x）﹣（a﹣2）x+x2﹣lnx≥1．

2023-2024学年湖南省张家界市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）样本数据1，3，5，1，9，5，6，11，8的中位数是（）A．5 B．5.5 C．6 D．7【考点】中位数．【答案】A【分析】直接由中位数的定义即可得解．【解答】解：将1，3，5，1，9，5，6，11，8从小到大排列为：1，1，3，5，5，6，8，9，11，这9个数的中位数为5．故选：A．2．（5分）已知集合A＝{x|log3（1﹣x）＜1}，B＝[﹣1，2），则A∪B＝（）A．[﹣1，1） B．（﹣2，+∞） C．[﹣1，2） D．（﹣2，2）【考点】求集合的并集；指、对数不等式的解法．【答案】D【分析】根据对数函数单调性解不等式可得A＝（﹣2，1），进而可得A∪B．【解答】解：由不等式log3（1﹣x）＜1＝log33，得1−x＞01−x＜3，解得﹣2＜x所以A＝（﹣2，1），又B＝[﹣1，2），所以A∪B＝（﹣2，2）．故选：D．3．（5分）已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为6π，则其体积为（）A．2π B．3π2 C．3π D．4【考点】圆柱的体积；圆柱的侧面积和表面积．【答案】A【分析】根据圆柱的表面积公式及体积公式直接求解．【解答】解：由已知可设圆柱底面半径为r，由圆柱的轴截面为正方形可知圆柱的高h＝2r，所以圆柱的表面积S=2S所以r＝1，则体积V=S故选：A．4．（5分）已知函数f(x)=logax，x≥1−x2A．2≤a≤3 B．2≤a≤4 C．1＜a≤4 D．a≥2【考点】函数的单调性．【答案】B【分析】根据题意，由函数单调性的定义可列出关于a的不等式组，解不等式组即可得解．【解答】解：根据题意，函数f(x)=lo若f（x）在R上单调递增，必有a＞1a2≥1换言之，“f（x）在R上单调递增”的充要条件是2≤a≤4．故选：B．5．（5分）在△ABC中，DC→=3BD→，P为线段AD的中点，若A．6 B．8 C．10 D．12【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．【答案】C【分析】根据向量的线性运算及共线定理可得参数值，进而可得解．【解答】解：在△ABC中，DC→则BD→又P为线段AD的中点，所以BP→所以BP→即λ=12，所以1λ即1λ故选：C．6．（5分）已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，且△ABC的面积为−315cosB，则A．2 B．23 C．15 【考点】余弦定理；利用正弦定理解三角形．【答案】D【分析】根据三角形面积公式可得B的三角函数值，再利用余弦定理可得解．【解答】解：由已知△ABC的面积S=1则sinBcosB又sin2B+cos2B＝1，且B∈（0，π），所以sinB=154，由余弦定理可得AC即AC＝4．故选：D．7．（5分）已知a=(13)23+2loA．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂与根式的互化；对数的运算性质．【答案】B【分析】根据指对数运算公式及指数函数与对数函数的单调性可比较大小．【解答】解：由c=(又(13)23=3所以a=(又c=3所以b＞c＞a．故选：B．8．（5分）若当x∈[0，2π]时，函数y=sinx2与y=2sin(ωx−πA．[98，138) B．(【考点】正弦函数的图象．【答案】C【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4，5个交点临界状态的解即可．【解答】解：如图所示，画出y=sinx2在x∈[0，2也画出y=2sin(ωx−π函数y=sinx2与则将y=2sin(ωx−π4)(ω＞0)的第4个，第5个与x满足13π4ω≤2π＜17π故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z满足ziA．z＝3+3i B．|z|=32C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z2是纯虚数【考点】复数的混合运算；复数对应复平面中的点．【答案】BCD【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念可得z，再根据复数的几何意义可判断各选项．【解答】解：由i7＝﹣i，得−zi+2z设z＝a+bi，则z=a−bi所以−zi+2z=−ai−bi2+2a−2bi=（2a+b）+（﹣a﹣2b所以2a+b=3−a−2b=3，解得a=3即z＝3﹣3i，A选项错误；则|z|=32+且复数z＝3﹣3i在复平面内对应的点坐标为（3，﹣3），在第四象限，C选项正确；z2＝（3﹣3i）2＝9﹣18i+9i2＝﹣18i为纯虚数，D选项正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sinxcos(x+πA．f（x）的最大值与最小值之差为1 B．f（x）在区间(0，π6C．f（x）的图象关于点(π6D．若将f（x）的图象向左平移π12个单位长度得到g（x）的图象，则g（x【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】ACD【分析】将函数通过恒等变换化为f(x)=12sin(2x+π3【解答】解：f(x)=sinxcos(x+=1=sin2x+则函数ymax=12−x∈(0，π6)，2x∈(0，π3)，2x+π3∈(将x=π6代入解析式得，y=−34=将f（x）的图象向左平移π12个单位长度得到g(x)=则g（x）＝g（﹣x），则g（x）是偶函数，则D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，D是棱AB的中点，AB＝AA1＝2，A1D=5，A1C=22，H是棱CC1上的动点，E，F是棱AA．AA1⊥平面ABC B．A1D⊥CD C．该三棱柱的外接球的体积为32π3D．三棱锥D﹣EFH的体积恒为3【考点】球的体积；直线与平面垂直；棱锥的体积．【答案】ABD【分析】由勾股定理可证该三棱柱为正三棱柱判断A选项，再根据勾股定理可证B选项，根据外接球的定义可得外接球半径与体积判断C选项，根据锥体的体积公式可判断D选项．【解答】解：如图所示：由已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，AB＝AA1＝2，且D是棱AB的中点，则AD＝1，又A1D=5∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB∩AC＝A，且AB，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥平面ABC，故A选项正确；又CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，又由正三角形可知CD⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面AA1B1B，则CD⊥平面AA1B1B，又A1D⊂平面AA1B1B，所以CD⊥A1D，B选项正确；所以该三棱柱为正三棱柱，则其外接球球心O为O1O2中点，又O1O2＝2，则OO1＝1，O1所以R=OC=O外接球体积V=43π又正三棱柱可知CC1∥平面AA1B1B，即CC1∥平面DEF，所以H到平面DEF的距离h=CD=3且S△DEF所以三棱锥体积VH−DEF=1故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知非零向量a→=(x，−x)，b→=(3，x)，若(a【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】1．【分析】根据向量垂直的坐标表示可列方程，解方程即可．【解答】解：由已知a→=(x，−x)，则a→又(a所以(a又a→≠0所以x＝1．故答案为：1．13．（5分）袋子中装有6个质地、大小均相同的球，其中有3个红球、2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】1115【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式即可求解．【解答】解：设3个红球分别为：h1，h2，h3，2个绿球分别为：l1，l2，一个蓝球为：l3，则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为：{h1h2，h1h3，h1l1，h1l2，h1l3，h2h3，h2l1，h2l2，h2l3，h3l1，h3l2，h3l3，l1l2，l1l3，l2l3}，共15个基本事件；事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有：{h1l1，h1l2，h1l3，h2l1，h2l2，h2l3，h3l1，h3l2，h3l3，l1l3，l2l3}，共11个基本事件；故所求概率为：P=11故答案为：111514．（5分）记min{a，b，c}为a，b，c中最小的数．已知0＜x＜y＜z＜1，且y≤2x，则min{y﹣x，z﹣y，1﹣z}的最大值为．【考点】不等关系与不等式．【答案】14【分析】假设最小值为t，然后得到2t≤2y﹣2x，t≤z﹣y，t≤1﹣z，三式相加，得出t≤1【解答】解：根据题意，设t＝min{y﹣x，z﹣y，1﹣z}，则t≤y﹣x，即2t≤2y﹣2x，t≤z﹣y，t≤1﹣z，三式累加可得：4t≤1+（y﹣2x）≤1，所以t≤1取z=34，y=12，x=14，显然满足0＜x＜y＜z所以tmax故答案为：14四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：甲击中的环数9710810891010乙击中的环数101089996109（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数x和方差s2；（2）用甲、乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲、乙每次射击相互独立，求甲、乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；平均数；方差；互斥事件的概率加法公式．【答案】（1）x=9，s（2）527【分析】（1）根据平均数与方差的公式直接求解；（2）根据频率可分别估计甲乙两人第十次击中环数，再根据独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式可得解．【解答】解：（1）由已知x=s2（2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为7，8，9，10，且概率分别为19，29，29乙第十次射击击中环数可能为6，8，9，10，且概率分别为19，19，49又甲前九次击中总环数为9+7+10+8+10+8+9+10+10＝81环，乙前九次击中总环数为10+10+8+9+9+9+6+10+9＝80环，所以若甲、乙两人十次射击击中的环数之和相等，则第十次射击甲击中的环数需比乙少1环，概率P=116．（15分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知an≥1且2Sn=an（Ⅰ）证明：{an}是等差数列；（Ⅱ）记bn=2an，n为奇数，an，n为偶数，．求求数列{bn【考点】数列求和的其他方法．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）T2n=22n+1−23+【分析】（Ⅰ）由an与Sn的关系式，结合等差数列的定义，可得证明；（Ⅱ）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）证明：由an≥1且2Sn=an可得2a1＝2S1=a12+当n≥2时，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1=an2+n即为（an﹣1）2=a即为an﹣an﹣1＝1，或an+an﹣1＝1（舍去），可得数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，即有an＝n；（Ⅱ）bn=2则数列{bn}的前2n项和T2n＝（b1+b3+...+b2n﹣1）+（b2+b4+...+b2n）＝（2+8+...+22n﹣1）+（2+4+...+2n）=2(1−4n)1−4+12n（2+217．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△ABC均为等腰直角三角形，AC＝BC，PA＝PC，M为棱AB的中点，且PM＝PA．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣PC﹣A的正弦值．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）63【分析】（1）设AC＝2，取AC的中点D，证得MD⊥BC，再由PD⊥AC，得到∠PDM是二面角P﹣AC﹣B的平面角，结合PD2+DM2＝PM2，即可证得平面PAC⊥平面ABC．（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PCM和平面PAC的一个法向量n→=(−1，1，1)和【解答】解：（1）证明：设AC＝2，因为△PAC和△ABC均为等腰直角三角形，且AC＝BC，PA＝PC，可得PA=PC=2如图，取AC的中点D，连接MD，PD，因为M为AB的中点，所以MD∥BC，且MD=1又因为AC⊥BC，所以MD⊥BC，因为△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC，所以PD=12AC=1，且PD所以∠PDM是二面角P﹣AC﹣B的平面角，又由PM=PA=2，所以PD2+DM2＝PM2，所以∠PDM所以平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）知PD，AC，DM两两垂直，故以D为原点，以DA，DM，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝2，则C（﹣1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，0），所以CP→设平面PCM的法向量为n→=(x，y，z)，则取x＝﹣1，可得y＝1，z＝1，所以n→又由平面PAC的一个法向量为m→则cos＜m设二面角M﹣PC﹣A的平面角的大小为θ，即cosθ=3所以sinθ=1−cos2θ=63，即二面角M18．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为（1）求C的方程；（2）若M，N为C上与点A，B均不重合的两个动点，且直线MA，NB的斜率分别为k和﹣2k．（i）若OM∥NB（O为坐标原点），判断直线MA和NB的位置关系；（ii）证明：直线MN经过x轴上的定点．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】（1）x2（2）（i）垂直；（ii）证明见解答．【分析】（1）根据椭圆离心率可得a＝2b，再代入点(3（2）（i）设点M（x1，y1），可得y1x1=−2k=−2（ii）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可证直线过定点．【解答】解：（1）由已知椭圆离心率为e=c解得a2＝4b2，即a＝2b，所以椭圆C的方程为x2又椭圆过点(3所以34解得b2＝1，a2＝4，所以椭圆C的方程为x2（2）（i）设M（x1，y1），则kOM又A（﹣2，0），kMA因为OM∥NB，所以kOM＝kNB＝﹣2k，即y1解得x1=−2即kMA=k=y所以kMA•kNB＝﹣1，即直线MA和NB垂直．（ii）证明：由椭圆的对称性可知当MN∥x轴时，kMA＝﹣kNB，不成立，所以直线MN与x轴不平行，设MN：x＝ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立x2得（t2+4）y2+2tmy+m2﹣4＝0，Δ＝（2tm）2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＝16（t2+4﹣m2）＞0，则y1+y又kNB＝﹣2kMA，即y2即3ty1y2+（m+2）（y1+y2）+（m﹣6）y1＝0，即3t(m化简可得(m−6)[t(m+2)解得m＝6或y1当y1=−t(m+2)t2因为直线MN不过A，B点，所以m≠±2，所以t2＝t2+4，无解，综上所述，m＝6，直线MN的方程为x＝ty+6，即直线MN恒过x轴上的定点（6，0）．19．（17分）已知函数f（x）＝x（aex﹣x﹣2）（a∈R）．（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）若f（x）的极大值为f（﹣1），求a的取值范围；（3）若a≥1，证明：当x＞0时，f（x）﹣（a﹣2）x+x2﹣lnx≥1．【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）y＝0；（2）（﹣∞，2e）；（3）证明见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义