2023-2024学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三(上)月考数学试卷(一)

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．2．（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．23．（5分）已知z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根．若z1＝1+i，则|z2|＝（）A． B．1 C． D．24．（5分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．5．（5分）已知2x2+kx﹣m＜0的解集为（t，﹣1）（t＜﹣1），则k+m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣26．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76m C．56.74m D．58.60m7．（5分）已知定义域是R的函数f（x）满足：∀x∈R，f（4+x）+f（﹣x）＝0，f（1+x）为偶函数，f（1）＝1，则f（2023）＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣38．（5分）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A．6π B．9π C． D．21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 C．函数的单调递增区间为 D．的最小正周期为（多选）10．（5分）如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1和一个四棱锥D﹣ACC1A1组成，AB＝BC＝AC＝AA1＝2，则下列说法正确的是（）A．若AD⊥AC，则AD⊥A1C B．若平面A1C1D与平面ACD的交线为l，则AC∥l C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为 D．当该几何体有外接球时，点D到平面ACC1A1的最大距离为（多选）11．（5分）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…），对于函数f（x）以下结论正确的是（）A．a＝b是函数f（x）为偶函数的充分不必要条件 B．a+b＝0是函数f（x）为奇函数的充要条件 C．如果ab＜0，那么f（x）为单调函数 D．如果ab＞0，那么函数f（x）存在极值点（多选）12．（5分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022•a2023＞1，（a2022﹣1）•（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A．{an}为递减数列 B．S2022+1＜S2023 C．T2022是数列{Tn}中的最大项 D．T4045＞1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（﹣2，λ），＝（3，1），若（+）⊥，则||＝．14．（5分）已知函数，则函数的零点个数为．15．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角相等，则平面α截正方体所得的截面面积的最大值为．16．（5分）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质．图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图．在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y＝1.1x，第n根弦（n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：y＝x+1交于点An（xn，yn）和Bn（xn′，yn′），则′＝.（参考数据：取1.122＝8.14．）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，AB＝2，AA1＝3，M为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CM；（2）求点A到平面B1CM的距离．18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．19．（12分）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得﹣1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．（12分）已知数列{an}中，a1＝0，an+1＝2an+n（n∈N*）．（1）令bn＝an+1﹣an+1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝，当cn取得最大值时，求n的值．21．（12分）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x＝2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．（1）求双曲线E的标准方程．（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）设函数．（1）求f（x）的最值；（2）令g（x）＝sinx，g（x）的图象上有一点列，若直线AiAi+1的斜率为ki（i＝1，2，…，n﹣1），证明：．

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．【考点】指、对数不等式的解法；交集及其运算．【答案】D【分析】直接解出集合M，N，再求交集即可．【解答】解：M＝{x|log2x＜4}＝{x|0＜x＜16}，，则．故选：D．2．（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2【考点】等差数列的通项公式．【答案】C【分析】由a6＝16，S5＝5a3＝35，即a3＝7，可得公差d＝．【解答】解：∵a6＝16，S5＝5a3＝35，即a3＝7，∴公差d＝＝＝3．故选：C．3．（5分）已知z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根．若z1＝1+i，则|z2|＝（）A． B．1 C． D．2【考点】复数的运算；复数的模．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：由z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个根，得z1+z2＝2，所以z2＝2﹣z1＝2﹣（1+i）＝1﹣i，所以．故选：C．4．（5分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据题意，用排除法分析，由函数的奇偶性排除AB，求出f（2）的值，排除C，即可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数，排除AB，又由f（2）＝＞0，排除C，故选：D．5．（5分）已知2x2+kx﹣m＜0的解集为（t，﹣1）（t＜﹣1），则k+m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】B【分析】根据题意，分析可得x＝﹣1为方程2x2+kx﹣m＝0的一个根，将x＝﹣1代入方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，因为2x2+kx﹣m＜0的解集为（t，﹣1）（t＜﹣1），所以x＝﹣1为方程2x2+kx﹣m＝0的一个根，则有2×（﹣1）2﹣k﹣m＝0，变形可得k+m＝2；故选：B．6．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76m C．56.74m D．58.60m【考点】解三角形．【答案】B【分析】根据三角函数可得，利用，求解R即可．【解答】解：如图，设球的半径为R，则AB＝R，∵，∴＝，∴，故选：B．7．（5分）已知定义域是R的函数f（x）满足：∀x∈R，f（4+x）+f（﹣x）＝0，f（1+x）为偶函数，f（1）＝1，则f（2023）＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】抽象函数及其应用．【答案】B【分析】根据题意，分析函数的周期，由此可得f（2023）＝f（3）＝﹣f（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（1+x）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（2﹣x）＝f（x），又由：∀x∈R，f（4+x）+f（﹣x）＝0，则有f（2+x）＝﹣f（2﹣x），则有f（x+2）＝﹣f（x），故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）的周期为4，则有f（2023）＝f（3）＝﹣f（1）＝﹣1；故选：B．8．（5分）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A．6π B．9π C． D．21π【考点】球的体积和表面积．【答案】B【分析】先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案．【解答】解：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则，，过点A作AF⊥底面BCD，垂足在DE上，且DF＝2EF，所以，故，点O为最大球的球心，连接DO并延长，交AE于点M，则DM⊥AE，设最大球的半径为R，则OF＝OM＝R，因为Rt△AOM∽Rt△AEF，所以，即，解得R＝1，即OM＝OF＝1，则AO＝4﹣1＝3，故，设最小球的球心为J，中间球的球心为K，则两球均与直线AE相切，设切点分别为H，G，连接HJ，KG，则HJ，KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a，b，则AJ＝3HJ＝3a，AK＝3GK＝3b，则JK＝AK﹣AJ＝3b﹣3a，又JK＝a+b，所以3b﹣3a＝a+b，解得b＝2a，又OK＝R+b＝AO﹣AK＝3﹣3b，故4b＝3﹣R＝2，解得，所以，模型中九个球的表面积和为4πR2+4πb2×4+4πa2×4＝4π+4π+π＝9π．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 C．函数的单调递增区间为 D．的最小正周期为【考点】正弦函数的单调性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的三角函数；三角函数的周期性．【答案】ACD【分析】由题意，利用三角恒等变换，三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A，若，则，故A正确；对于B，把f（x）的图象向右平移个单位长度得：的图象，即g（x）＝2sin2x，故B错误；对于C，，则由，k∈Z，求得：，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为，故C正确；对于D，由于，故y＝tan2x的最小正周期为，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1和一个四棱锥D﹣ACC1A1组成，AB＝BC＝AC＝AA1＝2，则下列说法正确的是（）A．若AD⊥AC，则AD⊥A1C B．若平面A1C1D与平面ACD的交线为l，则AC∥l C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为 D．当该几何体有外接球时，点D到平面ACC1A1的最大距离为【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【答案】BD【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解．【解答】解：对于选项A，若AD⊥AC，又因为AA1⊥平面ABC，但是D不一定在平面ABC上，所以A不正确；对于选项B，因为A1C1∥AC，所以AC∥平面A1C1D，平面A1C1D∩平面ACD＝l，所以AC∥l，所以B正确；对于选项C，取△ABC的中心O，△A1B1C1的中心O1，OO1的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为，所以C不正确；对于选项D，该几何体的外接球即为三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，OO1的中点为该外接球的球心，该球心到平面ACC1A1的距离为，点D到平面ACC1A1的最大距离为，所以D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…），对于函数f（x）以下结论正确的是（）A．a＝b是函数f（x）为偶函数的充分不必要条件 B．a+b＝0是函数f（x）为奇函数的充要条件 C．如果ab＜0，那么f（x）为单调函数 D．如果ab＞0，那么函数f（x）存在极值点【考点】函数奇偶性的性质与判断；利用导数研究函数的极值．【答案】BCD【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD．【解答】解：对于选项A，当a＝b时，函数f（x）定义域为R关于原点对称，f（﹣x）＝ae﹣x+bex＝f（x），故函数f（x）为偶函数；当函数f（x）为偶函数时，f（x）﹣f（﹣x）＝0，故（a﹣b）ex+（b﹣a）e﹣x＝0，即（a﹣b）e2x＝（a﹣b），又e2x＞0，故a＝b，所以a＝b是函数f（x）为偶函数的充要条件，故A选项错误；对于选项B，当a+b＝0时，函数f（x）定义域为R关于原点对称，f（x）+f（﹣x）＝（a+b）ex+（a+b）e﹣x＝0，故函数f（x）为奇函数，当函数f（x）为奇函数时，f（x）+f（﹣x）＝（a+b）ex+（a+b）e﹣x＝0，因为ex＞0，e﹣x＞0，故a+b＝0．所以a+b＝0是函数f（x）为奇函数的充要条件，故B选项正确；对于选项C，f'（x）＝aex﹣be﹣x，因为ab＜0，若a＞0，b＜0，则f'（x）＝aex﹣be﹣x＞0恒成立，则f（x）为单调递增函数，若a＜0，b＞0则f'（x）＝aex﹣be﹣x＜0恒成立，则f（x）为单调递减函数，故ab＜0，函数f（x）为单调函数，故C选项正确；对于选项D，，令f'（x）＝0得，又ab＞0，若a＞0，b＞0，当，f'（x）＜0，函数f（x）为单调递减．当，f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增．函数f（x）存在唯一的极小值．若a＜0，b＜0，当，f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增．当，f'（x）＜0，函数f（x）为单调递减．故函数f（x）存在唯一的极大值，所以函数存在极值点，故D选项正确．故答案为：BCD．（多选）12．（5分）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022•a2023＞1，（a2022﹣1）•（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A．{an}为递减数列 B．S2022+1＜S2023 C．T2022是数列{Tn}中的最大项 D．T4045＞1【考点】等比数列的性质．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，推得公比q＜1，即可依次求解．【解答】解：（a2022﹣1）•（a2023﹣1）＜0，则或，∵a1＞1，a2022•a2023＞1，∴a2022和a2023同号，且一个大于1，一个小于1，∵a1＞1，∴a2022＞1，a2023＜1，即数列{an}的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，对于A，公比q＝，∵a1＞1，∴为减函数，故{an}为递减数列，故A正确，对于B，∵a2023＜1，∴a2023＝S2023﹣S2022＜1，即S2022+1＞S2023，故B错误，对于C，等比数列{an}的前n项积为Tn，且数列{an}的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，故T2022是数列{Tn}中的最大项，故C正确，对于D，T4045＝a1a2a3•••a4045＝，∵a2023＜1，∴，即T4045＜1，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（﹣2，λ），＝（3，1），若（+）⊥，则||＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】．【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出λ，再结合向量模公式，即可求解．【解答】解：＝（﹣2，λ），＝（3，1），则，（+）⊥，则＝3+1+λ＝0，解得λ＝﹣4，故，所以．故答案为：．14．（5分）已知函数，则函数的零点个数为3．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】3．【分析】令g（x）＝0，得，将问题转化为函数y＝f（x）与的图象的交点个数，作出两函数的图象即可得答案．【解答】解：令g（x）＝0，得f（x）＝，在同一直角坐标系中作出y＝f（x），的大致图象如下：由图象可知，函数y＝f（x）与y＝的图象有3个交点，即函数g（x）有3个零点．故答案为：3．15．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角相等，则平面α截正方体所得的截面面积的最大值为．【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【答案】见试题解答内容【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且是正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6××（）2＝．故答案为：．16．（5分）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质．图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图．在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y＝1.1x，第n根弦（n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：y＝x+1交于点An（xn，yn）和Bn（xn′，yn′），则′＝914.（参考数据：取1.122＝8.14．）【考点】数列与函数的综合．【答案】914．【分析】由题意，可得yn＝1.1n，y'n＝n+1，则有yny'n＝（n+1）1.1n，利用错位相减法求和得答案．【解答】解：由已知条件可得，ynyn′＝（n+1）1.1n．∴，，两式作差得：＝，∴．故答案为：914．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，AB＝2，AA1＝3，M为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CM；（2）求点A到平面B1CM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用等体积法求解．【解答】解：（1）证明：连接BC1交B1C于点N，连接MN，则有N为BC1的中点，M为AB的中点，所以MN∥AC1，且AC1⊄平面B1CM，MN⊂平面B1CM，所以AC1∥平面B1CM．（2）连接AB1，因为CA＝CB＝2，所以CM⊥AB，又因为AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM，AB∩AA1＝A，所以CM⊥平面ABB1A1，又因为MB1⊂平面ABB1A1，所以CM⊥MB1，又CA2+CB2＝AB2，所以△ABC是等腰直角三角形，，所以，，设点A到平面B1CM的距离为d，因为，所以，所以．18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简即可证明；（2）结合正弦定理先表示a，b，代入到所求式子后进行化简，然后结合二次函数的性质可求．【解答】（1）证明：因为，所以sinAcosBcosC﹣sinBcosAcosC＝sinAcosCcosB﹣sinCcosAcosB，整理得sinBcosAcosC＝sinCcosAcosB，因为A为锐角，cosA＞0，故sinBcosC﹣sinCcosB＝sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；（2）解：由（1）得b＝c，因为asinC＝1，且asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝1，所以a＝，b＝，＝sin2A+sin2B＝sin2B+sin2（B+C）＝sin2B+sin22B＝+sin22B＝﹣cos22B﹣cos2B+（*），因为，所以，﹣1＜cos2B＜0，根据二次函数的性质可知，当cos2B＝﹣时，（*）取得最大值．19．（12分）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得﹣1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）分布列见解析；期望为（2）．【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算．【解答】解：（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：，，甲的得分X的可能取值为﹣1，0，1，，，，所以X的分布列为：X﹣101p．（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得﹣1分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得﹣1分的概率为，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率．20．（12分）已知数列{an}中，a1＝0，an+1＝2an+n（n∈N*）．（1）令bn＝an+1﹣an+1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝，当cn取得最大值时，求n的值．【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用定义法求出数列为等比数列．（2）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用函数的单调性确定n的值．【解答】解：（1）数列{an}中，a1＝0，an+1＝2an+n①．所以：an+2＝2an+1+n+1②两式相减，得an+2﹣an+1＝2an+1﹣2an+1，∴an+1﹣an+1+1＝2（an+1﹣an+1），即：bn+1＝2bn．由于a2＝1，所以：b1＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．（II）由（I）可知，，即，a2﹣a1＝2﹣1，…，，a﹣a＝（21+22+…+2n﹣1）﹣（n﹣1），整理得：，当n＝1时，a1＝0（满足上式），故：．，所以：则：，令f（n）＝2n+1﹣2n，则：f（n+1）＝2n+3﹣2n+1，所以：f（n+1）﹣f（n）＝2﹣2n，f（1）＝f（2），f（2）＞f（3）＞f（4）＞…＞f（n）