2023-2024学年吉林省长春十一中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，选出一个正确选项．1．（5分）若复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则z=A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知数据x1，x2，⋯，x9的方差为25，则数据3x1+1，3x2+1，⋯，3x9+1的标准差为（）A．25 B．75 C．15 D．53．（5分）正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．（5分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β D．若a，b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β5．（5分）已知如图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是23A．827 B．1627 C．20276．（5分）在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，侧棱AA1与底面ABC所成角的余弦值为33A．732 B．532 C．7．（5分）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（）A．29 B．120 C．100 D．1128．（5分）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，将△ABD沿BD折起到△A'BD．若点A'在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（不包括边界），则四面体A'﹣BCD的体积的取值范围是（）A．(32，255) B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，选出正确选项，全部正确得6分，部分选对得部分分，错选得零分．（多选）9．（6分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D，则下列说法正确的是（）A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．P(AC)=14 D．C与（多选）10．（6分）已知非零向量a→，b→，记x=|aA．若a→⊥b→，则B．若a→∥b→，则C．若x=3，y=7，且|a→|=2|bD．若xy=32a→（多选）11．（6分）已知圆锥SO的底面半径r=32，母线长l＝2，SA，SB是两条母线，P是A．圆锥SO的体积为92B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为3π2C．当△SAB为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为5+22D．△SAB面积的最大值为2二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z满足|z|＝1，则|z+2+5i|的取值范围是13．（5分）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为．14．（5分）如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为．三、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题：①估计该直播平台商家平均日利润的第60百分位数与平均数（求平均数时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若将平均日利润超过580元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，sinC=1（i）求sinB的值；（ii）求△ABC的面积．17．（15分）已知在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，且满足AC⊥AD，AC⊥AD，AE⊥CD，∠DCA=π6，现以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且AE⊥（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求平面EAB与平面PAB夹角的余弦值．18．（17分）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛．三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为12，甲、乙都闯关成功的概率为27，甲、丙都闯关成功的概率为（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；（2）求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率；（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率．19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP＝1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点（1）求三棱锥P﹣ABC在各个顶点处的离散曲率的和；（2）如图，已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC，三棱锥P﹣ABC在顶点C处的离散曲率为13①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．

2023-2024学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，选出一个正确选项．1．（5分）若复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则z=A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z（2+i）＝3﹣i，则z=3−i故z=1+i故选：A．2．（5分）已知数据x1，x2，⋯，x9的方差为25，则数据3x1+1，3x2+1，⋯，3x9+1的标准差为（）A．25 B．75 C．15 D．5【考点】标准差；方差．【答案】C【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可．【解答】解：因为数据x1，x2，⋯，x9的方差为25，所以另一组数据3x1+1，3x2+1，⋯，3x9+1的方差为32×25＝225，故所求的标准差为225=15故选：C．3．（5分）正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【答案】B【分析】由于棱柱侧面对角线E1D与BC1不在同一平面内，将两条直线移到平面内，连接E1F、FD，由E1F∥C1B，解三角形即可．【解答】解：连接E1F、FD．正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，则E1D＝E1F=3，FD=则可知∠FE1D＝60°，故选：B．4．（5分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β D．若a，b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α，∴A选项正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，∴B选项正确；若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a与β可以成任意角，∴C选项错误；若a，b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β，∴D选项正确．故选：C．5．（5分）已知如图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是23A．827 B．1627 C．2027【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】D【分析】利用对立事件概率计算公式能求出电路中灯亮的概率．【解答】解：∵如图所示的电路中，每个开关闭合的概率都是23∴电路中灯亮的概率为：p＝1﹣（1−23）×（1−2故选：D．6．（5分）在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，侧棱AA1与底面ABC所成角的余弦值为33A．732 B．532 C．【考点】棱台的侧面积和表面积．【答案】A【分析】取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，设A1B1＝x，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及O2P，O1Q，再根据切线的性质及等腰梯形BB和梯形AA1QP的几何特点列方程组求出半径即可．【解答】解：如图，取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，设A1B1＝x，内切球半径为r，因为tan∠A1A所以AAO2P=1因为内切球与平面BCC1B1相切，切点在PQ上，所以PQ=O在等腰梯形BB1C1C中，PQ2由①②得6r在梯形AA1QP中，PQ2由②③得2−x=6r，代入得则A1B1＝1，PQ=3所以此棱台的表面积是12×1×1×3故选：A．7．（5分）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（）A．29 B．120 C．100 D．112【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【答案】B【分析】结合平均数、方差公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，总的平均数为：39×50+21×7039+21所抽取的所有员工的体重的方差为：3960故选：B．8．（5分）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，将△ABD沿BD折起到△A'BD．若点A'在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（不包括边界），则四面体A'﹣BCD的体积的取值范围是（）A．(32，255) B．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】D【分析】先确定射影落在△BCD的内部时，体积取最值的情况，然后分别求解可得答案．【解答】解：当A′在平面BCD上的投影O在BD上时，点A′到平面BCD的距离A′O=AB⋅ADBD=25Vmax=13S△BCD•A′O如图，当A′在平面BCD上的投影M在DC上时，体积最小，则点A′到平面BCD的距离为A′M，作A′O⊥BD于O，连接OM，因为A′O=255，A′B＝2，所以因为A′M⊥OB，A′O⊥OB，所以OB⊥平面A′OM，所以OB⊥OM，OM＝OD•tan∠CDB=5A′M=A′Vmin=13S△BCD•A′M所以四面体A'﹣BCD的体积的取值范围是(3故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，选出正确选项，全部正确得6分，部分选对得部分分，错选得零分．（多选）9．（6分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D，则下列说法正确的是（）A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．P(AC)=14 D．C与【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性；事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【答案】BCD【分析】列出基本事件，利用互斥事件、相互独立事件、古典概型、列举法求解．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果，事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），共4种结果，事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果，事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果，事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果，对于A，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，P（A）=48=12，P（D）=28=14，P（AD）=18，P（AD）＝P（对于C，P（AC）=28=对于D，事件C与事件D不能同时发生，是互斥事件，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知非零向量a→，b→，记x=|aA．若a→⊥b→，则B．若a→∥b→，则C．若x=3，y=7，且|a→|=2|bD．若xy=32a→【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量的平行向量（共线向量）．【答案】ACD【分析】根据垂直的两个向量的性质，结合向量的模的公式加以验证，判断出A项的正误；根据向量平行的条件与向量加减法的几何意义判断出B项的正误；然后根据平面向量数量积的定义与运算性质，结合向量的模的公式对C、D两项加以验证，可得正确答案．【解答】解：对于A，若a→⊥b→，则a→•by=|a→−b→|=(对于B，当a→∥b→时，若a→、b→同向，则x＞y，若a→、b→反向，则对于C，由x=3，y=7，且|a→|=2|b→|，得(a→+b→(a→−b→)2=a→2−2a→•b→+b→所以cos＜a→，b→＞=−12，可知对于D，xy=32a→⋅b→，即|a→+b→|•|a→−b→|=32a即[（a→2+b→2）+2a→•b→]•[（a→2+b→2）﹣2a→•b→]=94（a→•b→）2，可得（a→2+b→整理得a→•b→=25（a→2+b→2），所以x2＝|a→+b→|2＝（a→y2＝|a→−b→|2＝（a→2+b→2）﹣2a→•b→=15（a→2+b故选：ACD．（多选）11．（6分）已知圆锥SO的底面半径r=32，母线长l＝2，SA，SB是两条母线，P是A．圆锥SO的体积为92B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为3π2C．当△SAB为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为5+22D．△SAB面积的最大值为2【考点】圆锥的体积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；圆锥的侧面积和表面积．【答案】BCD【分析】根据题意，首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而判断A，再由弧长公式判断B，利用余弦定理判断C，根据面积公式判断D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A：因为r=32，l＝2，所以圆锥的高所以圆锥的体积V=13π×对于B：设圆锥SO的侧面展开图的圆心角为α，则2α＝2πr，即2α=2π×3解得α=3π2，即圆锥SO的侧面展开图的圆心角为3π2对于C：当△SAB为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为PA，如图，在△SAP中，SP=1，SA=2，∠ASP=3π由余弦定理得PA=SA2对于D：当△SAB为轴截面时，在△SAB中，SA＝SB＝2，AB＝3，因为SA2+SB2＜AB2，所以此时∠ASB为钝角，又S△SAB当∠ASB＝90°时，△SAB的面积最大，且最大值为2，故D正确．故选：BCD．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z满足|z|＝1，则|z+2+5i|的取值范围是【考点】复数的模．【答案】[2，4]．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z|＝1，可知复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的单位圆上，而|z+2+5i|＝|z﹣（﹣2−5i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P（﹣2，如图：∵|OP|=(−2∴|z+2+5i∴|z+2+5i故答案为：[2，4]．13．（5分）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】110【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可．【解答】解：按照题中运算规律，正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为8，正整数7的运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为16，正整数8的运算过程为8→4→2→1，运算次数为3，正整数9的运算过程为9→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为19，正整数10的运算过程为10→5→16→8→4→2→1，运算次数为6，∴正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数，偶数，奇数，奇数，偶数，从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共10种，其中的运算次数均为奇数的方法总数为（8，9），共1种，∴运算次数均为奇数的概率为110故答案为：11014．（5分）如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为．【考点】空间中点到平面的距离．【答案】32【分析】有条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．【解答】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为1−(1而垂直折起的4个小直角三角形的高为12故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为32故答案为：32三、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题：①估计该直播平台商家平均日利润的第60百分位数与平均数（求平均数时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若将平均日利润超过580元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各24家，9家；（2）①第60百分位数估计为470（元）；平均数估计为455（元）；②204（家）．【分析】（1）根据分层抽样的概念，即可求解；（2）①根据百分位数的概念，平均数的概念，即可求解；②计算频率即可估计．【解答】解：（1）∵样本中小吃类商家的比例为（1﹣0.25﹣0.15﹣0.1﹣0.05﹣0.05）＝0.4，又样本中生鲜类商家的比例为0.15，∴应抽取小吃类、生鲜类商家分别为60×0.4＝24家，60×0.15＝9家；（2）①∵（0.0005+0.0015+0.0035+0.0025+a+0.0005+0.0005）×100＝1，∴a＝0.001，∴估计该直播平台商家平均日利润的第60百分位数为：450+0.6−0.05−0.15−0.35估计该直播平台商家平均日利润的平均数为：200×0.05+300×0.15+400×0.35+500×0.25+600×0.1+700×0.05+800×0.05＝455（元）；②∵样本中平均日利润超过580元的商家的比例为（650﹣580）×0.001+0.05+0.05＝0.17，∴估计该直播平台“优秀商家”的个数为1200×0.17＝204（家）．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，sinC=1（i）求sinB的值；（ii）求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（Ⅰ）A=π（Ⅱ）（i）1314（ii）23【分析】（Ⅰ）结合余弦定理，即可求解；（Ⅱ）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解；（ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）b2+c2﹣bc＝a2，由余弦定理可知，b2+c2﹣2bc•cosA＝a2，则cosA=1A∈（0，π），则A=π（Ⅱ）（i）sinC=17＜则a＜c，即C＜A=π故cosC=1−si故sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=3（ii）由正弦定理可知，a=bsinA故△ABC的面积为1217．（15分）已知在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，且满足AC⊥AD，AC⊥AD，AE⊥CD，∠DCA=π6，现以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且AE⊥（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求平面EAB与平面PAB夹角的余弦值．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）239【分析】（1）根据给定的条件，利用线面垂直的判定性质，页面垂直的判定推理即得；（2）作出二面角E﹣AB﹣C的平面角∠EOF，利用几何法求出∠EOF的正弦即可得平面EAB与平面PAB夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：依题意，PA⊥AC，AE⊥CP，而AE⊥BE，CP∩BE＝E，CP，BE⊂平面PBC，则AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，于是AE⊥BC，又AC⊥BC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面PAC，因此BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，则BC⊥PA，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，则PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC；（2）过点E作EF∥PA交AC于F，由（1）知，PA⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，则EF⊥AB，过F作FO⊥AB于O，连接EO，由EF∩FO＝F，EF，FO⊂平面EFO，则AB⊥平面EFO，又EO⊂平面EFO，于是AB⊥EO，∠EOF是二面角E﹣AB﹣C的平面角，由（1）知二面角P﹣AB﹣C是直二面角，它被半平面EAB分成两个二面角，因此二面角P﹣AB﹣E的大小等于π2令PE＝1，而∠PAE=∠PCA=∠DCA=π则PA＝2，PC＝4，AC=23，BC＝PA＝2，AB=(23)2于是OE=AE⋅BEAB=394因此cos(π所以平面EAB与平面PAB夹角的余弦值是23918．（17分）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛．三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为12，甲、乙都闯关成功的概率为27，甲、丙都闯关成功的概率为（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；（2）求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率；（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率．【考点】概率的应用．【答案】（1）乙闯关成功的概率为47，丙闯关成功的概率为3（2）2970（3）4170【分析】（1）结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；（2）结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率和公式，即可求解；（3）结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率和公式，即可求解．【解答】解：（1）三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为12，甲、乙都闯关成功的概率为27，甲、丙都闯关成功的概率为设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2，由题意可知，12P1=2故乙闯关成功的概率为47，丙闯关成功的概率为3（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，设“团体总分为4分”为事件A，则P(A)=(1−1故团体总分为4分的概率为2970（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，由可知团体总分为4分的概率为2970，团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为1所以参加下一轮比赛的概率为P(B)=29故该小组参加下一轮比赛的概率为417019．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP＝1−1