2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知a→，b→均为单位向量，若a→A．7 B．6 C．5 D．32．（5分）已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数aA．﹣1 B．35 C．2 3．（5分）已知cos2α=−12，则sin2A．14 B．12 C．344．（5分）在△ABC中，若A=30°，B=45°，BC=23，则ACA．2 B．3 C．6 D．25．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，则（）A．AC→=32C．AC→=AM6．（5分）设△ABC的面积为S，若AB→⋅ACA．30° B．45° C．60° D．90°7．（5分）若tan2α=43，则A．−12 B．2 C．﹣2或12 8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝2bcosA，则ca−bA．（﹣1，2） B．(32，2) C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．z⋅z=|z|2，B．i2024＝﹣1 C．若|z|＝1，z∈C，则|z﹣2|的最小值为1 D．若﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，则p＝8（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A．若bcosC+ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形 B．若a＝2，b＝3，A＝30°，则符合条件的△ABC有两个 C．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 D．若sin2B+sin2C＝sin2A，则△ABC为直角三角形（多选）11．（6分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1→，e2→分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM→=xe1A．a→−b→C．a→⊥b→ D．a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=(0，−3)，b→=(1，m)，若向量b→在向量a→上的投影向量为13．（5分）已知2sinβ﹣cosβ+2＝0，sinα＝2sin（α+β），则tan（α+β）＝．14．（5分）已知△ABC的外接圆半径为1，则AB→⋅AC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知角α和β满足cosα+cosβ=−4（1）若β＝2α，求cosα的值；（2）若β=α+π2，求sin216．（15分）如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝10，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于点P．（1）求BC；（2）求cos∠MPN的值．17．（15分）已知函数f(x)=3（1）若α∈(0，π)，f(α2)=1（2）若β∈(π2，π)，f(β)=−18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C（1）求角A；（2）若D为AB的中点，且4CD=7AB，求cos∠19．（17分）在凸四边形ABCD中，DC＝2AD．（1）若A，B，C，D四点共圆，∠ADC=2π3，AC=（2）若DA⊥AB，∠ADC=∠BCD，∠BDC=π6，求

2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知a→，b→均为单位向量，若a→A．7 B．6 C．5 D．3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出(a→−【解答】解：∵|a∴(a∴|a故选：D．2．（5分）已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数aA．﹣1 B．35 C．2 【考点】纯虚数；复数的运算．【答案】C【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵a−i1+2i则a﹣2＝0且2a+1≠0，故实数a＝2．故选：C．3．（5分）已知cos2α=−12，则sin2A．14 B．12 C．34【考点】二倍角的三角函数的逆用．【答案】C【分析】利用二倍角公式即可求解．【解答】解：因为cos2α=−12=1﹣2sin所以sin2α=3故选：C．4．（5分）在△ABC中，若A=30°，B=45°，BC=23，则ACA．2 B．3 C．6 D．2【考点】利用正弦定理解三角形．【答案】D【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因为在△ABC中，若A=30°，B=45°，BC=23所以由正弦定理BCsinA=AC解得AC＝26．故选：D．5．（5分）如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，则（）A．AC→=32C．AC→=AM【考点】平面向量的基本定理．【答案】A【分析】平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果．【解答】解：由图可知：AC→故选：A．6．（5分）设△ABC的面积为S，若AB→⋅ACA．30° B．45° C．60° D．90°【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】运用三角形面积公式及向量的数量积，得到tanA＝1，从而求出A．【解答】解：由2S=AB→⋅AC→，得bcsinA因为cosA≠0，所以tanA＝1，因为A∈（0，π），所以A=π故选：B．7．（5分）若tan2α=43，则A．−12 B．2 C．﹣2或12 【考点】二倍角的三角函数的逆用．【答案】B【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α+3tanα﹣2＝0，解得tanα的值，进而利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为tan2α=43=2tanα1−tan解得tanα＝﹣2或12则4cos故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝2bcosA，则ca−bA．（﹣1，2） B．(32，2) C．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】D【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到A＝2B，从而利用三角形的性质得到B的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解．【解答】解：因为c﹣b＝2bcosA，则由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB+cosAsinB﹣sinB＝2sinBcosA，则sinB＝sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B），所以B＝A﹣B，即A＝2B，则C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，所以0＜2B＜π0＜π−3B＜π，解得0＜B＜π3所以c=sin(2B+B)=2sinBcos2B+(2cos则ca−b故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．z⋅z=|z|2，B．i2024＝﹣1 C．若|z|＝1，z∈C，则|z﹣2|的最小值为1 D．若﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，则p＝8【考点】复数的模；复数的运算；命题的真假判断与应用．【答案】ACD【分析】结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z⋅z=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，|z|2＝ai4＝1，则i2024＝（i4）506＝1，故B错误；|z|＝1，z∈C，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，|z﹣2|表示该圆上的点到点（2，0）的距离，故|z﹣2|的最小值为1，故C正确；﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，则﹣4﹣3i也是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，故﹣4+3i+（﹣4﹣3i）＝﹣8＝﹣p，解得p＝8，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A．若bcosC+ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形 B．若a＝2，b＝3，A＝30°，则符合条件的△ABC有两个 C．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 D．若sin2B+sin2C＝sin2A，则△ABC为直角三角形【考点】解三角形；三角形的形状判断；正弦定理．【答案】ABD【分析】利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断A，利用余弦定理解得c即可判断B，根据正弦函数结合角的范围分析可判断C；根据两角和与差的正弦公式与余弦函数的性质可判断D．【解答】解：对于A，由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB＝sinB，即sinB＝sin（B+C）＝sinA，则A＝B，△ABC是等腰三角形，故A正确；对于B：由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即4=9+c整理得c2−33c+5=0，解得c=3对于C，因为A，B∈（0，π），0＜2A＜2π，则0＜2B＜2π，又sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由sin2B+sin2C＝sin（B+C+B﹣C）+sin（B+C﹣（B﹣C））＝2sin（B+C）cos（B﹣C）＝sin2A＝2sinAcosA，易知sinA＝sin（B+C）≠0，所以cosA＝cos（B﹣C），根据余弦函数的性质可知：若B＜C，则C−B=A⇒C=π若B＝C⇒A＝0（舍去），若B＞C，则B−C=A⇒B=π2，所以都能得出△ABC为直角三角形，故故选：ABD．（多选）11．（6分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1→，e2→分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM→=xe1A．a→−b→C．a→⊥b→ D．a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】ACD【分析】由题意，可得a→=−e1→+e2→【解答】解：由题可得：a→=−e对于A，a→所以a→−b对于B，|a→|=对于C，a→⋅b→=(−对于D，(a|b则cos〈a又因为〈a→−b→故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=(0，−3)，b→=(1，m)，若向量b→在向量a→上的投影向量为−1【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据投影向量的定义求解．【解答】解：∵向量a→=(0，−3)，∴向量b→在向量a→上的投影向量为∴−m解得m=3故答案为：3213．（5分）已知2sinβ﹣cosβ+2＝0，sinα＝2sin（α+β），则tan（α+β）＝12【考点】两角和与差的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】利用两角差的正弦，将已知转化为sinα＝sin（α+β﹣β）＝2sin（α+β），展开结合已知求值解得．【解答】解：因为sinα＝sin（α+β﹣β）＝2sin（α+β），所以sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝2sin（α+β），化简得sin（α+β）（cosβ﹣2）＝cos（α+β）sinβ，所以tan（α+β）=sinβcosβ−2，又2sinβ﹣cos所以sinβcosβ−2故tan（α+β）=1故答案为：1214．（5分）已知△ABC的外接圆半径为1，则AB→⋅AC→的最小值是【考点】解三角形．【答案】−1【分析】根据题意利用正弦定理算出AB＝2sinC，AC＝2sinB，从而得到AB→⋅AC→=|AB→|•|AC→|cosA＝4cosAsinBsinC，利用三角恒等变换公式化简，可得AB→⋅AC→=2cos2A+[2cos（B【解答】解：根据题意得AB→⋅AC→=|AB→|•|AC→|cosA因此，当AB→⋅AC→取得最小值时，cos若△ABC的外接圆半径R＝1，则ABsinC=ACsinB=2R=2，可得AB＝2sinC所以AB→⋅AC→=4cosAsinBsinC＝2cosA[cos（B﹣C＝2cosA[cos（B﹣C）+cosA]＝2cos2A+[2cos（B﹣C）]cosA≥2cos2A+2cosA，因为y＝2cos2A+2cosA＝2（cosA+12）2−12，当cosA=−1所以当cosA=−12，且B＝C时，即A＝120°，B＝C＝30°时，AB→故答案为：−1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知角α和β满足cosα+cosβ=−4（1）若β＝2α，求cosα的值；（2）若β=α+π2，求sin2【考点】两角和与差的三角函数．【答案】（1）cosα=13或−5【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值；（2）利用三角函数的诱导公式求出三角函数的值．【解答】解：（1）cosα+cos2α=−49，可得2cos2α+cosα=59（2）cosα+cos(α+π2)=−即(cosα−sinα)故sin2α=2sinαcosα=1−(cosα−sinα)16．（15分）如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝10，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于点P．（1）求BC；（2）求cos∠MPN的值．【考点】解三角形；余弦定理．【答案】（1）219．（2）491【分析】（1）利用余弦定理，即可求得BC的值．（2）设AB→=a→，【解答】解：（1）△ABC中，AB＝4，AC＝10，∠BAC＝60°，根据余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝42+102﹣2×4×10×cos60°＝76，解得BC=76=2（2）设AB→=a→，因为M，N分别为BC，AC的中点，所以AM→所以a→•b→=|a→||b→所以AM→2=(12a→+BN→2=(−a→+又AM→所以cos∠MPN=AM17．（15分）已知函数f(x)=3（1）若α∈(0，π)，f(α2)=1（2）若β∈(π2，π)，f(β)=−【考点】两角和与差的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角恒等变换，结合特殊角的三角函数求解．（2）由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解．【解答】解：（1）由题意可得f(x)=3又α∈(0，π)，f(α所以f(α故sin(α−π因为α∈（0，π），所以α−π所以α−π故α=π（2）已知β∈(π则f(β)=2sin(2β−π所以sin(2β−π所以cos(2β+π又cos(2β+π所以cos因为β∈(π所以β+π所以cos(β+π18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C（1）求角A；（2）若D为AB的中点，且4CD=7AB，求cos∠【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（1）A=π3；（2）【分析】（1）根据正弦定理，二倍角公式即可求值；（2）由cos∠ADC+cos∠BDC＝0，以及余弦定理即可求值．【解答】（1）在△ABC中，因为bsinB+C所以sinBsin(π又因为sinB＞0，所以cosA因为A2∈(0，π2)故A2（2）由题意知，CD=7由cos∠ADC+cos∠BDC＝0，716化简得118c在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，②将①②联立，得3c2+8bc﹣16b2＝0，即（c+4b）（3c﹣4b）＝0，所以3c＝4b，令c＝4t（t＞0），则b=3t，a=13所以cos∠ACB=a19．（17分）在凸四边形ABCD中，DC＝2AD．（