2023-2024学年江西省吉安市井冈山市宁冈中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年江西省吉安市井冈山市宁冈中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3，4}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，3} C．{﹣1，0，3} D．{0，3，4}2．（5分）点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）3．（5分）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．284．（5分）已知向量＝（1，0，m），＝（2，0，﹣2），若∥，则＝（）A．1 B． C． D．25．（5分）已知等比例函数{an}满足a1＝2，a1+a3﹣a5＝﹣10，则a3+a5﹣a7＝（）A．﹣20 B．﹣30 C．﹣40 D．﹣606．（5分）在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9﹣的值为（）A．17 B．16 C．15 D．147．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段AF1与C交于点M，若|BM|与C的焦距的比值为，则C的离心率为（）A． B． C． D．8．（5分）已知，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c二、多选题（每题5分，共20分）（多选）9．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A． B． C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（多选）10．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15＞0，＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．|a9|＞a8 B．使Sn＞0的n的最大值为16 C．公差d＜0 D．当n＝8时，Sn最大（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y2＝4x B．抛物线的准线方程为x＝﹣2 C．已知点M（4，1），则|PM|+|PF|的最小值为6 D．以PF为直径的圆与y轴相切（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+1，则（）A．f（x）有一个极值点 B．f（x）没有零点 C．直线y＝x是曲线y＝f（x）的切线 D．曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称三、填空题（共20分）13．（5分）在等比数列{an}中，若a1＝1，，则数列{anan+1}的公比为．14．（5分）长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，则AB中点的轨迹方程为．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且，则不等式f（x）＜0的解集为．16．（5分）已知函数f（x）＝e3x﹣1，g（x）＝+lnx，若f（m）＝g（n），则n﹣m的最小值为．四、解答题（共70分）17．（10分）在正项等比数列{an}中，a4＝16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}的前n项和为Sn．18．（12分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝1，点E在棱PA上，且PE＝2EA．（1）证明：PC∥平面EBD；（2）求直线PD与平面EBD所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn且对任意n∈N*，an+1﹣an＝恒成立．（1）若An＝，b1＝2，求Bn；（2）若对任意n∈N*，都有an＝Bn，及恒成立，求正整数b1的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝ex﹣a（x+1）．（1）当a＝1时，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若f（x）有两个不等的零点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）求证：在（2）的条件下x1+x2＞0．

2023-2024学年江西省吉安市井冈山市宁冈中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3，4}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，3} C．{﹣1，0，3} D．{0，3，4}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】根据集合的交集的运算求出即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3，4}，∴A∩B＝{0，3}，故选：B．2．（5分）点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）【考点】两点间的距离公式．【答案】B【分析】首先求出直线AB的方程，再结合A，B，P为顶点的三角形的面积为，建立方程求出点P的坐标．【解答】解：设点P（x，0），由点A（﹣1，2），B（0，3），可知直线AB的方程为x﹣y+3＝0，所以点P到直线x﹣y+3＝0的距离d＝，|AB|＝＝，因为以A，B，P为顶点的三角形的面积为，所以，整理得，解得x＝4或﹣10．故P（4，0）或（﹣10，0）．故选：B．3．（5分）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．28【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】C【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21•C72＝42，另一类是甲乙都选的选法有C22•C71＝7，根据分类计数原理知共有42+7＝49，故选：C．4．（5分）已知向量＝（1，0，m），＝（2，0，﹣2），若∥，则＝（）A．1 B． C． D．2【考点】共线向量与共面向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】B【分析】直接利用向量的共线和向量的模的应用求出结果．【解答】解：由于向量＝（1，0，m），＝（2，0，﹣2），由于若∥，m＝﹣1．故，故选：B．5．（5分）已知等比例函数{an}满足a1＝2，a1+a3﹣a5＝﹣10，则a3+a5﹣a7＝（）A．﹣20 B．﹣30 C．﹣40 D．﹣60【考点】等比数列的通项公式．【答案】B【分析】由已知得2+2q2﹣2q4＝﹣10，从而得q2＝3，由此能求出a3+a5﹣a7的值．【解答】解：∵等比例函数{an}满足a1＝2，a1+a3﹣a5＝﹣10，∴2+2q2﹣2q4＝﹣10，解得q2＝3，或q2＝﹣2（舍），∴a3+a5﹣a7＝2q2+2q4﹣2q6＝6+18﹣54＝﹣30．故选：B．6．（5分）在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9﹣的值为（）A．17 B．16 C．15 D．14【考点】等差数列的性质．【答案】B【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的通项公式化简要求的式子为a8，即可求出所求式子的值．【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9﹣＝a1+8d﹣＝a1+d＝（a1+7d）＝a8＝16故选：B．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段AF1与C交于点M，若|BM|与C的焦距的比值为，则C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的性质．【答案】D【分析】由题意，先求出以F2为圆心的圆的方程，得到A，B两点的坐标，求出点M的坐标，再代入双曲线方程中即可求解；【解答】解：不妨设双曲线的半焦距为c，因为以F2为圆心的圆过F1，所以该圆的半径为2c，则圆的方程为（x﹣c）2+y2＝4c2，令x＝0，解得，因为点A在y轴正半轴上，所以，令y＝0，解得x＝﹣c或x＝3c，所以B（3c，0），此时直线FA的斜率，则直线，不妨设，因为点A在y轴的正半轴上，F1在x轴的负半轴上，所以m＜0，此时，即，整理得，解得，所以，又点M在双曲线上，所以，整理得，解得或，又e＞1，所以e2＞1，此时，解得．故选：D．8．（5分）已知，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较；三角函数线．【答案】C【分析】由题意，构造函数f（x）＝x﹣1﹣lnx，x＞0，g（x）＝x﹣sinx，x＞0，利用导数判断其单调性，进而可得x＞sinx＞ln（1+sinx），x∈（0，1），，赋值即可代入判断即可．【解答】解：易知因为，不妨设f（x）＝x﹣1﹣lnx，x＞0，可得，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（1）＝0，此时x﹣1≥lnx，x∈（0，+∞），当且仅当x＝1时，等号成立，所以x≥ln（x+1），x∈（﹣1，+∞），当且仅当x＝0时，等号成立，不妨设g（x）＝x﹣sinx，x＞0，可得g′（x）＝1﹣cosx≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（x）＞g（0）＝0，所以x＞sinx，x∈（0，+∞），又sinx∈（0，1），所以x＞sinx＞ln（1+sinx），x∈（0，1），不妨令，可得，即b＞a；因为x﹣1＞lnx，x∈（0，1），所以，此时，则，不妨令，可得，此时，即c＞b；综上，c＞b＞a．故选：C．二、多选题（每题5分，共20分）（多选）9．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A． B． C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为【考点】空间向量的数量积运算．【答案】AB【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确．故选：AB．（多选）10．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15＞0，＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．|a9|＞a8 B．使Sn＞0的n的最大值为16 C．公差d＜0 D．当n＝8时，Sn最大【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【答案】ACD【分析】由已知结合等差数列的性质，通项公式及求和公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：等差数列{an}，S15＝＝15a8＞0，所以a8＞0，因为＜﹣1，所以a9＜﹣a8＜0，即a9+a8＜0，d＜0，C正确；所以a8＜﹣a9＝|a9|，A正确；因为S16＝8（a1+a16）＝8（a9+a8）＜0，B错误；因为a8＞0，a9＜0，故当n＝8时，Sn最大，D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y2＝4x B．抛物线的准线方程为x＝﹣2 C．已知点M（4，1），则|PM|+|PF|的最小值为6 D．以PF为直径的圆与y轴相切【考点】抛物线的性质．【答案】BCD【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义求解．【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线上一动点，对于A，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，由抛物线的定义可知，，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x，故A错误；对于B，由抛物线的方程为y2＝8x，所以准线方程为x＝﹣2，故B正确；对于C，过点P作PP′垂直抛物线的准线，则，当且仅当P′、P和M三点共线时，等号成立，故C正确；对于D，设P的坐标为（x1，y1），因为F（2，0），所以PF的中点坐标为，而以PF为直径的圆的半径为，与PF的中点的横坐标相同，即以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+1，则（）A．f（x）有一个极值点 B．f（x）没有零点 C．直线y＝x是曲线y＝f（x）的切线 D．曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】AD【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为（x0，y0），利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据f（2﹣x）＝f（x）即可判断D．【解答】解：因为f（x）＝lnx+ln（2﹣x）+1，由，解得0＜x＜2，即函数的定义域为（0，2），所以，今f′（x）＝0，解得x＝1，故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，在x∈（1，2）时，f′（x）＜0，故函数在（0，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，所以f（x）在x＝1处取得极大值，故A正确；又f（1）＝ln1+ln1+1＝1＞0，，即f（x）在中存在一个零点，故B错误，令切点为（x0，y0），则，即，解得或（舍去），此时，函数f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx+1＝f（x），所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故D正确；故选：AD．三、填空题（共20分）13．（5分）在等比数列{an}中，若a1＝1，，则数列{anan+1}的公比为．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【答案】．【分析】利用等比数列通项公式求出q＝，再由数列{anan+1}的公比为q2，能求出结果．【解答】解：∵等比数列{an}中，a1＝1，，∴q3＝，解得q＝，∴数列{anan+1}的公比为q2＝．故答案为：．14．（5分）长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，则AB中点的轨迹方程为x2+y2＝a2．【考点】圆的一般方程．【答案】见试题解答内容【分析】首先由两点间距离公式表示出|AB|，再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可．【解答】解：设A（m，0）、B（0，n），则|AB|2＝m2+n2＝4a2，再设线段AB中点P的坐标为（x，y），则x＝，y＝，即m＝2x，n＝2y，所以4x2+4y2＝4a2，即AB中点的轨迹方程为x2+y2＝a2．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且，则不等式f（x）＜0的解集为．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇函数、偶函数．【答案】见试题解答内容【分析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，，则＝f（0）＝f（）＝0，则可以将定义域R分为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵∴不等式f（x）＜0的解集为，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（）＝0，∴不等式f（x）＜0的解集为，综上不等式f（x）＜0的解集为故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝e3x﹣1，g（x）＝+lnx，若f（m）＝g（n），则n﹣m的最小值为．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】根据g（m）＝f（n）＝t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，∴e3m﹣1＝+lnn＝t，（t＞0）∴3m﹣1＝lnt，m＝（1+lnt），n＝e，故n﹣m＝e﹣（1+lnt）（t＞0），令h（t）＝e﹣（1+lnt）（t＞0），h′（t）＝e﹣•（t＞0），易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）＝0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t＝时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）＝1﹣（1+ln）＝即n﹣m的最小值为．故答案为：．四、解答题（共70分）17．（10分）在正项等比数列{an}中，a4＝16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}的前n项和为Sn．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（1）数列{an}的通项公式为；（2）．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，然后求解通项公式．（2）利用分组求和的方法，求解数列的和即可．【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题意可得，解得．∴数列{an}的通项公式为；（2）．18．（12分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件和等可能事件的概率．【答案】见试题解答内容【分析】（I）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；（II）由题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数＝，抽取的女生数＝5﹣2＝3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该年级共n人，由题意得，解得n＝500．则a＝500﹣（180+120+70+20+30）＝80．（Ⅱ）依题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数＝，抽取的女生数＝5﹣2＝3．∴P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝．X的分布列为：X012PEX＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝1，点E在棱PA上，且PE＝2EA．（1）证明：PC∥平面EBD；（2）求直线PD与平面EBD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）直线PD与平面EBD所成角的正弦值为．【分析】（1）由题意得CD⊥BD，根据直角三角形求BC，结合相似得到PC∥EG，即可证明结论；（2）通过已知条件建立空间直角坐标系，求出平面EBD的一个法向量，结合线面角相关计算公式，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：∵PB⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PB⊥CD，∵CD⊥PD，PB，PD⊂面PBD，∴CD⊥面PBD，∵BD⊂面PBD，∴CD⊥BD，∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，∴在Rt△ABD中，，，在Rt△CBD中，，，设AC∩BD＝G，连接AC，EG，则△CBG∽△ADG，∴，∴PC∥EG，又EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD；（2）∵PB⊥底面ABCD，BC，BA⊂底面ABCD，∴PB⊥BC，PB⊥BA，∵底面ABCD为直角梯形，∴BC⊥BA，建立以B为原点的空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：则P（0，0，1），A（0，1，0），D（1，1，0），∴，∴，设平面EBD的一个法向量为，∴，取z＝2，则x＝1，y＝﹣1，则平面EBD的一个法向量为，设直线PD与平面EBD所成角大小为θ，∵，∴，故直线PD与平面EBD所成角的正弦值为．20．（12分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn且对任意n∈N*，an+1﹣an＝恒成立．（1）若An＝，b1＝2，求Bn；（2）若对任意n∈N*，都有an＝Bn，及恒成立，求正整数b1的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【答案】（1）Bn＝n2+n；（2）3．【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式an＝推导出数列{an}的通项公式，代入an+1﹣an＝后化简整理，进一步推导即可发现数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出前n项和Bn的表达式；（2）先根据an＝Bn代入an+1﹣an＝进行化简整理，进一步推导即可发现数列{bn}是以b1为首项，3为公比的等比数列，初步计算出前n项和Bn关于首项b1的表达式，然后运用裂项相消法计算出+++•••+＝﹣，再转化为关于b1的表达式，最后根据不等式的性质即可推导出满足不等式的正整数b1的最小值．【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝A1＝＝3，当n≥2时，an＝An﹣An﹣1＝﹣＝3n，∵当n＝1时，a1＝3也满足上式，∴an＝3n，n∈N*，由an+1﹣an＝，可得3（n+1）﹣3n＝（bn+1﹣bn），整理，得bn+1﹣bn＝2，∵b1＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴Bn＝2•n+•2＝n2+n．（2）依题意，由an＝Bn及an+1﹣