河南省南阳市2025-2026学年高二数学上学期期中测试

河南省南阳市2025-2026学年高二数学上学期期中质量评估试题一、单选题1．直线l经过点，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．过点和的直线方程为（

）A． B．C． D．3．已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或14．双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（

）A．2 B．3 C． D．36．过点的直线与圆相交，截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为（

）A． B．C． D．7．已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．8．椭圆C：的左、右焦点分别为，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（

）A．0 B．4 C． D．10．已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（

）A． B． C． D．11．数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（

）A．双纽线有对称中心和对称轴 B．双纽线的方程是C．的最大值为 D．面积的最大值为三、填空题12．已知是直线上的两点，若，且，则.13．过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为.14．已知圆：，点，点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为.四、解答题15．已知是的三个顶点．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求证：的三条高交于一点．16．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和．(1)若，求直线的方程；(2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程．17．已知圆经过点和，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)已知直线的方程为．（i）若直线l与圆C相切，求实数m的值；（ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值．18．已知动圆过点，且与圆内切．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点，直线与相交于、两点，是否存在实数，使?若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．19．已知抛物线，直线m过点且与抛物线相交于两点，直线分别与抛物线的准线l相交于两点．(1)若点P是抛物线上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证：(2)求证：以为直径的圆过坐标原点；(3)求的最小值．

参考答案题号12345678910答案DDBACBDCABABC题号11答案ABD1．D【详解】因为直线过点，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以，即直线的倾斜角为.故选：D.2．D【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为.故选：D.3．B【详解】因为，故，故或，当时，的方程均为，它们重合，故舍去；当时，，，它们平行，故选：B.4．A【详解】根据题意，设双曲线的方程为，又因为经过点，代入可得，故标准方程为，故，，，故，故选：.5．C【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为，因为点到其焦点的距离为，根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得，所以，因为，所以.故选：C.6．B【详解】因为，因此在圆内，那么满足题意的弦与过点的直径垂直，圆心为，，因此所求直线的斜率为，直线方程为，即，故选：B．7．D【详解】如下图所示：点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点，由对称性可知，，所以的周长为，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，故周长的最小值为.故选：D.8．C【详解】如图所示：

因为，所以，又，所以，连接，，在中，，由余弦定理得，所以所以，所以椭圆C的离心率．故选：C．9．AB【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离.又，所以，解得或.故选：AB10．ABC【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得，当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得,结合选项，可得选项A、B、C.故选：ABC.11．ABD【详解】对于A，因为，关于原点对称，设点是双纽线上的点，那么点关于原点对称点到，的距离之积与到，的距离之积相同.关于轴，设在双纽线上，点关于轴对称的点到，的距离之积与到，的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确.

对于B，设，，.因为，所以.展开可得.进一步展开.令，则，即.将代回得.展开.整理得，B选项正确.

对于C，由均值不等式.已知，所以，当且仅当时取等号，的最小值为，C选项错误.

对于D，设，根据三角形面积公式.因为，所以.因为最大值为，所以的最大值为，D选项正确.

故选；ACD.12．【详解】由题意可知，代入得，解得.可得，，所以.故答案为：.13．【详解】设，，则，，所以，即，因为，所以P为线段AB的中点，所以，，所以，因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴，所以，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．联立可得，该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件，故答案为：.14．【详解】，圆心为，半径，点，点在直线上，设（为实数），根据切线长公式，|AM|为点到圆的切线长，即：点到点的距离为：因此的最小值转化为轴上动点到两定点和的距离之和，由于、在轴同侧，作关于轴的对称点，则，当且仅当在与轴的交点时取等号，，故答案为：15．(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以BC边上的高所在直线的斜率为，则BC边上的高所在直线的方程为，即.（2）由得，所以边上高所在直线方程的斜率为，所以边上高所在直线方程为，即①由（1）知边BC上高所在直线方程为②由得，所以边上高所在直线方程的斜率为，所以边上高所在直线方程为，即③联立方程①②，相减得，从而得，把代入，方程成立，所以的三条高交于同一点.16．(1)或(2)【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为；当时，直线的截距式方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.（2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，由可得，，当且仅当时，即当时，等号成立，故当的面积最小时，直线的方程为，即.17．(1)(2)（i）或；（ii）.【详解】（1）线段的垂直平分线方程为：，即.由，即圆心.又,所以圆的标准方程为：.（2）（i）直线：.因为直线与圆相切，所以：.所以或.（ii）如图：因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直.所以四边形的面积为：，其中为定值.所以当最大时，四边形的面积最大.即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大.由.18．(1)(2)存在，且【详解】（1）如下图所示：圆的半径为，圆的半径为，因为圆内切于圆，故，即，所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，则，，，因此点的轨迹方程为.（2）解法一：设点、，设线段的中点为，则，，由得，即，又因为，所以①，因为，为的中点，所以，故②，联立①②可得，，即点，因为，故点在椭圆内部，此时直线与椭圆有两个交点，合乎题意，将点的坐标代入直线的方程得，解得，综上所述，存在实数合乎题意；解法二：设点、，联立可得，，解得，由韦达定理可得，，所以，故线段的中点为，因为，为线段的中点，所以，即，解得，合乎题意，综上所述，存在实数合乎题意.19．(1)证明见解析(2)证明