2025-2026月考试卷8年级（数学）三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（解析版）

“A”字模型与三角板模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何 2 2 8 11 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①7A+7B=7C+①+②得2∠P=∠B+∠D，则7PB+7D(，即2∠P=∠B+∠D例123-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段BD和AC相交于点O，LA=35O，LB=LC=90O，则LD【答案】【答案】35【分析】本题考查对顶角、邻补角，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以【详解】解：∴LA+LB+LAOB=180O=∠C+∠D+∠COD，而LAOB=LCOD，∴LA+LB=LC+LD，【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和7－2）×180°=900°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠1+∠2900°,由三角形内角和定理可得到∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°,即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数．∵7边形ABCDEFK的内角和7－2）×180°=900°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°-(∠1+∠2即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠1+∠2900°,∵∠∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4900°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+(∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°.故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为1080°.例32023·广东深圳·八年级校考期末1）在图1中，请直接写出LA、LB、LC、LD之间的数量关 （3）如果图2中，7D=40O，7B=36O，AP与CP分别是LDAB和7DCB的角平分线，试求LP的度数；（4）如果图2中LD和LB为任意角，其他条件不变，试问LP与LD，LB之间存在着怎样的数量关系【答案】（1）7A+7D=7C+7B2）63）7P=38O4）27P=7D+7B【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可得出LA、LB、LC、LD的数量关系；（2）分别以点M、O、N为交点，观察图形，即可得出答案；（3）根据（1得出7DAP+7D=7P+7DCP，7PCB+7B=7PAB+7P，再两式相加，结合角平分线的定义，可得7D+7B=27P，再把7D=40O，7B=36O代入计算即可得到答案；（4）根据（1得出7OAD+7D=7OCB+7B，7DAM+7D=7PCM+7P，然后整理，得出7OCB-7OAD=7D-7B，7PCM-7DAM=7D-7P，再结合角平分线的定义，得出OCBOAD=7D-7P，即7OCB-7OAD=27D-27P，然后等量代换，得出7D-7B=27D-27P，【详解】解1）结论为：7A+7D=7C+7B，理由如下：∵7A+7D+7AOD=7C+7B+7BOC=180O，又∵又∵LAOD=LBOC，∴LA+LD=LC+LB；故答案为：LA+LD=LC+LB（2）交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△AOD与△CON，（3）由（1）可知：LDAP+LD=LP+LDCP①,LPCB+LB=LPAB+LP②,∵LDAB和LBCD的平分线AP和CP相交于点P，∴LDAP=LPAB，LDCP=LPCB，①+②得：LDAP+LD+LPCB+LB=LP+LDCP+LPAB+LP，∴LD+LB=2LP，（4）关系：2LP=LD+LB，由（1）可知：LOAD+LD=LOCB+LB，LDAM+LD=LPCM+LP，∴LOCB-LOAD=LD-LB，LPCM-LDAM=LD-LP，∵AP、CP分别是LDAB和LBCD的角平分线，∴LDAM=LOAD，LPCM=LOCB，LOCBLOAD=LD-LP，即LOCB-LOAD=2LD-2LP，∴LD-LB=2LD-2LP，整理得，2LP=LD+LB．12DDAOBC例52023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论LA+LB=LC+LD．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论LAOC=LA+LC+LP．如图2，AP、CP分别平分LBAD、LBCD，说明：LP①如图3，直线AP平分LBAD的外角LFAD，CP平分LBCD的外角LBCE，若LB=30O，LD=20O，求LP的度数．②在图4中，AP平分LBAD的外角LFAD，CP平分LBCD的外角LBCE，猜想LP与LB、LD的关系（直接写出结果，无需说明理由③在图5中，AP平分LBAD，CP平分LBCD的外角LBCE，猜想LP与LB、LD的关系（直接写出结果，无需说明理由【分析】（【分析】（1）根据角平分线的定义可得L1=L2，L3=L4，再根据题干的结论列出LP+L3=L2+LABC，LP+L1=L4+LADC，相加得到2LP+L2+L3=L1+L4+LABC+LADC，继而得到2LP=LABC+LADC，即可证明结论；,由题干的结论可知（2,由题干的结论可知（2）①如图所示，分作LBAD，LBCD的角平分线交于H，根据（1）的结论得到LH=25o，再由角平分线的定义和平角的定义证明LPCH=90o，LPAH=90o，再根据题干的结论可推出∠P=∠H=25o；②如图所示，分作LBAD，LBCD的角平分线交于H，由（1）的结论可知LH同理可得LPCH=90o，LPAH=90o，则由四边形内角和定理可得LP=180o；③由题干的结论可得∠P=∠B+∠BAP+∠BCP，由角平分线的定义得到∠B∠B+∠BAO=∠D+∠BCD，由此可得【详解】（【详解】（1）解：∵AP、CP分别平分LBAD、LBCD，∴L1=L2，L3=L4，∴L2+L3=L1+L4，由题干的结论得：由题干的结论得：LP+L3=L2+LABC，∠P+L1=L4+LADC，∴∴2LP+L1+L3=L2+L4+LABC+LADC，∴2LP=LABC+LADC，∴∴LP，即LP（（2）解：①如图所示，分作LBAD，LBCD的角平分线交于H，由（1）的结论可知LBCDLBCD+LBCE=②如图所示，分作LBAD，LBCD的角平分线交于H，③由题干的结论可得∠P=∠B+∠BAP+∠BCP，由题干的结论可知∠B+∠BAO=∠D+∠BCD，∴∠BAO=∠D+∠BCD-∠B， 结论：①∠1+∠2=∠A+180°;②∠3+∠4=∠D+∠E例12023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，71的度数是()A．62oB．63o【答案】A【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性例22023·绵阳市·八年级假期作业）如图，△ABC中，7A=65o，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则7BDE+7CED=().A．180。B．215。C．235。D．245。【答案】D【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出7ADE+7AED，根据平角的概念计算即可．例323-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都不与点A重合）.(1)若7A=64。，①求71+72的度数；②如图2，直线m与边AB，AC相交得到73和74，直接写出73+74的度数.(2)如图3，EO，DO分别平分7BED和7CDE，写出7EOD和LA的数量关系，并说明理由；(3)如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分LBNM和7CMN，直接写出7NGM与LE，LD的关系.【答案】【答案】(1)①244。；②244。LEOD=90。LA，理由见解析(3)LE+LD+2LNGM=360。.【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答2）由（1）的结（3）由（2）的结论可得7BNM+7CMN=7D+7E，再根据三角形内角和定理进行解答即可．71+72=7A+7ADE+7AED+7A， ②由①方法可得：L3+L4=L1+L2=244O． （3）解：LE+LD+2LNGM=360O，理由如下：由图2可得，LBNM+LCMN=LD+LE， ∴2LMGN+LD+LE=360O．图①中：∠A=30°,∠C=60°,图②中：∠A=∠C=45°,当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、）：例12023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中71+72【答案】90o/90度【分析】先根据三角形内角和定理得到7BAC+7BCA=90o，再由对顶角相等得到71=7BAC,72=7BCA，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，LB=90。，:7BAC+7BCA=90o，丫71=7BAC,72=7BCA，:71+72=7BAC+7BCA=90o，故答案为：90o．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算、对顶角的性质及三角形内角和定理，F分别为直角顶点，且7A=60o，7E=45o，若ABCF，则7CBD的度数是()【分析】由【分析】由ABCF，利用“两直线平行，内错角相等”可求出7BCD=30o，再利用三角形的外角性质，即可求出7CBD的度数．【详解】解：∵ABCF，∴7BCD=7ABC=30o．∵7BDF是△BCD的外角，∴7CBD=7EDF-7BCD=45o-30o=15o．故选：A．例32023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①71=72=73；②7CAD与72互为补角；③若72=45o，则BC∥AD；④71-74=15o．其中一定正确的序号是()【答案】B【分析】由题意知，71+72=90o=72+73，则71=73，进而可判断①的正误；由7CAD=71+72+73，可得7CAD+72=71+72+73+72=180o，则7CAD与72互为补角，进而可判断②的正误；由72=45o，可得71=72=73=45o，则7B=45o=73，BC∥AD，进而可判断③的正误；由题意知，74+7CBA=73+7EDA，即74+45o=73+30o，由71=73，可得74+45o=71+30o，则71-74=15o，【详解】解：由题意知，71+72=90o=72+73，∴71=73，①不一定正确，故不符合要求；∵7CAD=71+72+73，∴7CAD+72=71+72+73+72=180o，∴7CAD与72互为补角，②一定正确，故符合要求；∵72=45o，∴71=72=73=45o，由题意知，74+7CBA=73+7EDA，即74+45o=73+30o，∵71=73，∴74+45o=71+30o，∴71-74=15o，④一定正确，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之例423-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中LACB=30o，LDAE=45o，LBAC=LD=90o，如图②,固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时(1)当a为o时，AD∥BC；(3)当0o<a<45o时，连结BD，分别交AC、AE于点M、N，利用图③探LBDE+LCAE+LDBC值的大(3)LBDE+LCAE+LDBC=105o，证明见解析【分析】（1）当AD∥BC时，LDAC=LC=30o，则LCAE=LDAE-LDAC=15o，即可解答．（2）分五种情况考虑：AD∥BC，DE∥AB，DE∥BC，DE∥AC，AE∥BC，即可分别求出旋转角；（3）利用三角形的内外角的相等关系分别得出：LANM=LE+LBDE及LAMN=LC+LDBC，由△AMN【详解】（1）解：当AD∥BC时，LDAC=LC=30o，∴LCAE=LDAE-LDAC=45o-30o=15o，即旋转角a=15°故答案为：15②当DE∥AB时，如下图，AD与AC重合，∴LCAE=LDAE=45o，即旋转角为a=45o；③当DE∥BC时，如下图，∴LAFB=LD=90o，∴LAFC=180o-LAFB=90o，④当DE∥AC时，如下图，延长AB交DE于点M，⑤当AE∥BC时，如下图，理由如下：在△AMN中，LAMN+LCAE+LANM=180，丫LANM=LE+LBDE，LAMN=LC+LDBC，\LE+LBDE+LCAE+LC+LDBC=180o，丫LC=30o，LE=45o，\LBDE+LCAE+LDBC=105o．【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理，三角形的外角12023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含45o角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若71=18o，则72的度数是()【答案】D【详解】解：如图，由题意得：7A=45o，7B=30o，丫丫71=18o，:73=71+7A=63o，:72=73-7B=33o．故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的22023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30o的直角三角形，一个锐角为45o的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当7DEB=a，则7AFC=()A．30oB．a-15oC．a+15oD．a【答案】【答案】B【详解】解：丫7DEB=a，:7AEC=7DEB=a，丫7A+7AEC=7C+7AFC，7C=45o，7A=30o，:30o+a=45o+7AFC，:7AFC=a-15o，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．一个三角板的上，若71=23o，则72的度数是()【答案】C【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不【详解】解：如图，由题意得：7A=45o，7B=30o，丫71=23o，:73=71+7A=68o，:72=73-7B=38o．故选：C42023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板△ABC和△DEF，其中7C=7DFE=90o，7A=30o，7E=45o，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么LEFG不可能等于().【答案】【答案】D【分析】先求得LEFG=90o-LBFD，用三角形的外角性质得到0o<LBFD<LABC=60o，据此求解即可．【详解】解：∵LDFE=90o，∴LEFG=90o-LBFD，∵LABC是△BDF的外角，∴0o<LBFD<LABC=60o，∴30o<90o-LBFD<90o，观察四52023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知△ABC为直角三角形，LC=90o，若沿图中虚线剪去LC，则L1+L2等于()【答案】C【分析】根据四边形内角和为360o可得L1+L2+LA+LB=360o，再根据直角三角形的性质可得LA+LB=90o，进而可得L1+L2的和．【详解】解：丫四边形的内角和为360o，直角三角形中两个锐角和为90o:L1+L2=360o-(LA+LB)=360o-90o=270o．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为360o和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合7A，7B，7E保持不变．为了舒适，需调整7D的大小，使7EFD=130O，则LD应调整为()【答案】【答案】A【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出7EHC，利用外角的性质得到7EFD=7D+7DHF，由此求出LD的度数，进而得到答案．【详解】解：延长EF交BD于H，∵∵7D=7EFD-7DHF=7EFD=7D+7DHF=130O，∴7D=30O，选A．72023·广东江门·八年级校考期中）如下图，71+72+73+74+75+76的度数为()【答案】D73+74=71+72=140O，同理可得75+76=73+74=140O，据此即可求解．∵71+77=180o，72+78=180o，∴71+72+77+78=360o∵77+78+73+74=360o∴73+74=71+72=140o，同理可得：75+76=73+74=140o，∴71+72+73+74+75+76=140o´3=420o，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于360o是解题的关键．82023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形ABCD中，7C=90o，若沿图中虚线剪去LC，则71+72等于() ∴可得L1和L2的邻补角之和等于90o， 92023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°,则∠ABD+∠ACD的值为()【答案】【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°,∠DBC+∠DCB＝90°,进而可求出∠在△DBC中，∠BDC＝90°,∴∠DBC+∠DCB＝180°_90°=90°,102022·安徽·八年级校考期中）如图，若7CGE=125O，则7A+7B+7C+7D+7E+7F=．【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出7EMG=7D+7C，7HGN=7C+7D+7E，7AHG=7B+55O，7ANG=55O+7F，再根据7A+7AHG+7HGN+7ANG=360O，进行求解即可得出最丫7EMG是△MDC的一个外角，:7EMG=7D+7C，丫丫7HGN是△MEG的一个外角，:7HGN=7E+7EMG，即7HGN=7C+7D+7E，丫7AHG是△BHG的一个外角，:7AHG=7B+7BGH，丫7BGH=180o-7CGE=180o-125o=55o，:7AHG=7B+55o丫7ANG是ΔNGF的一个外角，:7ANG=7NGF+7F=180o-125o+7F=55o+7F，丫7A+7AHG+7HGN+7ANG=360o:7A+7B+55o+7C+7D+7E+7F+55o=360o:7A+7B+7C+7D+7E+7F=360o-55o-55o=250o，故答案为：250o．【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是112023春·广东·七年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分LABC，DE平分LADC，求证：【分析】先根据平行线的性质得出∠A=∠ADC，∠C=∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1=∠ADC，∠2=∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC，∠C=∠ABC．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1=∠ADC，∠2=∠ABC．∵∠3是三角形的外角，∴∠3=∠E+∠2=∠C+∠1，ABC=7CADC，即∠E+∠C=∠C+∠A，∴∠E=(∠A+∠C【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线122022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知71=60o，7C+7D+7E+7F+7A+7B=．【答案】240o/240度【详解】连接CG，7A+7B=7ACG+7BGC，∴7A+7B+7ACF+7F=7ACG+7BGC+7ACF+7F=7ACG+7ACF+7BGC+7F=180o-7FGB=180o-71=120o又7D+7E=180o-71=120o，∴7ACF+7D+7E+7F+7A+7B=120o´2=240o．故答案为：240o．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相132022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，7A=44o，71=57o，求72的度数．【答案】【答案】101。【分析】先根据平行线的性质可得7B=71=57o，然后根据三角形的外角性质可得72=7A+7B，最后代入【详解】解：∵DE∥BC，∴7B=71=57o由三角形的外角性质可得72=7A+7B．∴【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形142022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算(1)解：∵7AFG=7C+7E，7AGF=7B+7D．∴7AFG+7AGF=7C+7E+7B+7D．∵7A+7AFG+7AGF=o，∴7A+7B+7C+7D+7E=o，∴7A=7B=7C=7D=7E=o．(2)拓展：如图②,小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求LA，LB，LC，LD，LE的和．(3)应用：如图③.小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若7B=7D=36o，则7CAD+7ACE+7E=°.【详解】（1）Q7AFG=7C+7E，7AGF=7B+7D．:7AFG+7AGF=7C+7E+7B+7D．Q7A+7AFG+7AGF=180o，:7A+7B+7C+7D+7E=180o，:7A=7B=7C=7D=7E=36o；（2）Q7AFG=7C+7E，7AGF=7B+7D．:7AFG+7AGF=7C+7E+7B+7D．丫丫7A+7AFG+7AGF=180O，:7A+7B+7C+7D+7E=180O；（3）7CAD+7ACE+7E=180O-7EAD=180O-7B-7D=108O．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°,剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【答案】（1【答案】（1）C2）220°3）∠1+∠2=18（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°,即可得出答案；（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°,即可得到结论；（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF【详解】解1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°,∴∠B+∠A=180°-90°=90°,∴∠1+∠2=360（2）∵△ABC中，∠A=40°,∴∠B+∠C=180°-40°=14162023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中7ACB=30o，∠DAE=45o，7BAC=7D=90o．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋(1)在旋转过程中，当a为度时，AD∥BC；当a为度时，AD丄BC．(2)当0o>a>45o时，连接BD，利用图3探究7BDE+7CAE+7DBC值的大小变化情况，并说明理由．【答案】(1)【答案】(1)15，105(2)不变，理