2025-2026月考试卷8年级（数学）将军饮马模型解读与提分精练（解析版）

能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何 2 2 29 53 68 模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：AAmBBm模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：mPmPBAABmPA'模型（2如图（2作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP例123-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边中点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则LCEF的度数为．【答案】90o/90度【分析】本题考查等边三角形中，轴对称的性质，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长是解题的关键．由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于AD轴对称，连接BE交AD于点F，此时EF+CF取得最小值，由三线合一可求出7CEF的度数．【详解】∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴ADTBC，∴点B和点C关于AD轴对称，连接BE交AD于点F，则BF=CF，∴EF+CF=EF+BF=BE，即：此时，EF+CF取得最小值，∵等边△ABC的边长为4，AE=2，∴E是AC的中点，∴BETAC，∴7CEF=90o．故答案是：90o．例223-24八年级上·广东东莞·期中）如图，等腰△ABC的面积是12，AB=AC，BC=4，EF垂直平分AB，点D为BC的中点，点M为线段EF上一点，则△BDM的周长的最小值为．【答案】8【答案】8【分析】连接AD，AM，根据中垂线的性质，得到A，B关于EF对称，得到BM+MD=AM+MD³AD，进而得到BM+MD的最小值为AD，根据△BDM的周长为BM+MD+BD，BD为定值，进而得到△BDM的周长的最小值为AD+BD，进行求解即可．【详解】解：连接AD，AM，如图：丫EF垂直平分AB，:A，B关于EF对称，:BM+MD=AM+MD≥AD，:当A，M，D三点共线时，BM+MD的最小值为AD，丫△BDM的周长为BM+MD+BD，BD为定值，:△BDM的周长的最小值为AD+BD，:BDBC=2，AD丄BC，:S△ABCBC.AD=12，:AD=6，:△BDM的周长的最小值为AD+BD=6+2=8，故答案为：8分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为()A．8B．10C．12D．14【答案】D【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形性质．连接【答案】D【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形性质．连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD丄BC，再根据三角形的面积公式求出AD=12，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴ADTBC，∴S△ABCBC.ADAD=24，解得AD=12，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA=MC，例423-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分7BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值()245552【答案】B【答案】B【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线性质，灵活应用角平分线性质、三角形三得E,F=EF，再根据三角形三边的关系得到EF+FC=E,F+FC≥CE,，垂线段最短得出EF+FC的最小值为CG的长，利用三角形面积公式求出CG的长【详解】解：如图所示，在AB上取点E,，使AE,=AE，过点C作CG丄AB，垂足为G，CG交AD于点F,，连接E,F，CE,，:E,F=EF，:EF+FC=E,F+FC≥CE,，丫CE,≥CG，:EF+FC≥CE,≥CG，:当AE=AG，点F与F,重合时，EF+FC的值最小，为CG的长，△ABCAB.CG=6，AB=5，:CG，:EF+FC的最小值是，故选：B．点，点P在AB上，PC+PD的最小值为 . 【答案】25【分析】过点C作CO丄AB于O，延长CO到C,，使OC,=OC，连接DC,，交AB于P，连接CP，此时【详解】解：过点C作CO丄AB于O，延长CO到C,，使OC,=OC，连接DC,，交AB于P，连接CP，连接BC,，此时DP+CP=DP+PC,=连接BC,，∴BC=AC=4，DBBC=2，LCBA=45°,BC=BC,=4，∴LCBC,=BC=BC,=4，∴LCBC,=确定动点P的位置，使PC+PD的值最小是解题的关键．例623-24八年级上·福建福州·期末）如图，在等腰直角△ABC中，LACB=90°,AC=BC，D为AC的中点，BD=35，点P为AB上一动点，则PC+PD的最小值为．【答案】35【分析】作D关于AB的对称点E，连接PE，AE，依据轴对称的性质，即可得到DA=AE，DP=EP，LBAC=LBAE=45°,根据PC+PD=PC+PE，可得当C，P，E，在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为35．【详解】解：如图1所示，作D关于AB的对称点E，连接PE，AE，则DA=AE，LBAC=LBAE，AC=BC，:LBAC=:LBAC=LBAE=45°,:LCAE=LCAB+LBAE=90°,丫D是BC的中点，:AD=DC，:AD=DC=AE，丫PC+PD=PC+PE，:当C，P，E，在同一直线上时，如图2所示，PC+PE的最小值等于CE的长，:CE=BD=35，:PC+PD的最小值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了轴对称—线路最短问题，一般涉及到最短距离的问题，要考虑线段的性质定理，结合ABmBBPmP'AAmmBAA'P'BmP<AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址M应选在哪个位置？（3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流CD上找出一点P，使PA-PB的值最大．”你能找到P点吗？请将上述M、N、P三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．【详解】解1）∵自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB，（3）若PA-PB最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图，【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知轴对称的性质和垂直平分线的性质以及三角形三边关系【解答】B【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，例323-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，7ABC=80O,AB=BC=5，在BC上方作射线BD，且7CBD=10O，若P为BD上的一个动点，则PA-PC的最大值为．5【答案】5A,，连接A,C,PA,,BA,，进而得到PA-PC=PA,-PC，进而得到当A,,C,P三点共线时，PA-PC的最大值为A,C的长，证明△A,BC为等边三角形，进而得到A,C的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊【详解】解：作点【详解】解：作点A关于BD的对称点A,，连接A,C,PA,,BA,，∴∴PA,=PA,BA,=BA=BC=5，∴PA-PC=PA,-PC，∴当∴当A,,C,P三点共线时，PA-PC的最大值为A,C的长，∵∵LABC=80o,LCBD=10o，∴LABP=70o，∴LA,BP∴∴LA,BC=70o-10o=60o，∴△A,BC为等边三角形，∴A,C=BC=5，∴PA-PC的最大值为5；故答案为：5．有一点P，连接BP，CP，S△BCP=4，将△BCP沿BC翻折至同一平面得到△BCP,，连接AP,．若AP,-BP取得最大值时，则S△ACP,=．【答案】【答案】12∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°,∴AB=2BC＝42【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，nAmnnAmnA'AQmPA"例123-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，7AOB=45o，点P是LAOB内的定点且OP=1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．2【答案】2的周长=FM+EN+MN³EF，再根据轴对称的性质得出7EOF=90o，OF=OP=OE=1，最后利用勾股【详解】解：作点P关于OA的对称点F，关于OB的对称点E，连接EF交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，则△PMN的周长=PM+PN+MN=FM+EN+MN≥EF，∵LAOB=45O，∴由对称性可知：LEOF=90O，OF=OP=OE=1，上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则LAMN+LANM的度数为．【分析】要使△AMN周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点A,,A,,，即可得到LA,+LA,,=80O，进而求得LAMN+LANM=2(LA,+LA,,)，即可得到答案．丫LB=LD=90O则A,A,,即为△AMN周长最小值丫LBAD=100O:LA,+LA,,=80O丫LA,=LMAB,LA,,=LNAD，LAMN=LA,+LMAB,LANM=LA,,+LNAD:LAMN+LANM=LA,+LMAB+LA,,+LNAD=2(LA,+LA,,)=2´80O=160O故答案为：160O．【点睛】本题考查的是轴对称【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和例3.（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形ABCD中，7BAD=BCD=90O，7ABC=135O，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．【答案】10【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到△BEF的周长最小的情况是本题解题的关键．作B关于AD的对称点B1，关于CD的对称点B2，连接B1、B2，与AD、CD分别交于E、F，找到△BEF的周长最小的情况．再过B2作BB1延长线的垂线，交延长线于点M，利用勾股定理求出B1B2，即△BEF的周长的最小值．【详解】如图所示，作B关于AD的对称点B1，关于CD的对称点B2，连接B1、B2，与AD、CD分别交于E、F，则此时△BEF的周长最小．证明如下：丫作B关于AD的对称点B1，关于CD的对称点B2，:BE=B1E，BF=B2F，:C△BEF=BE+BF+EF=B1E+B2F+EF，丫两点之间线段最短:△BEF的周长最小，C△BEF=B1B2．B2作BB1延长线的垂线，交延长线于点M，丫7ABC=135O，:7MBB2=45O，:BM=MB2，丫BC=1，:BB2=2BC=2，:BM2+MB22=BB1=2，:BM=MB2=2， AmnBAAmBnABAA'mAPBQAA'mAPBQB'nQPmBnB'mQB''AP模型（1-1两点都在直线外侧型）模型（1-2直线内外侧各一点型）PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，模型（1-3两点都在直线内侧型）例12024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点B,、C,，连接BP、CQ、B,C、C,Q，PQ，得出BP＋PQ+CQ的最小值为B,C,，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B,P+PN和C,Q+QN即可求【详解】解：分别作B、C关于AG和∴当B,、C,，P、Q在同一条直线上时，BP＋PQ＋CQ=B,P＋PQ＋C,Q=B,C,最小，此时B,C,//x轴，∵∠GAH＝60°,∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°,∵B,C,//x轴，B、B,关于AG对称，∴LBPG=LB,PG=LPGB=60o,B,P=BP，例22024八年级下·广东·专题练习）如图所示，LAOB=50o，LBOC=30o，OM=12，ON=4．点P,Q . 【答案】413【详解】解：如图，作点N关于OA的对称点N,，则NP=N,P，∵LAOB=50o,LBOC=30o则LN,OA=LAOC=LAOB-LBOC=20o,LBOM,=LBOA=50o过N,作N,E垂直OM,的延长线交于点E，∴LEON例32022·山东泰安·中考真题）如图，LAOB=30o，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=3,ON=5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是()【答案】A【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为()【答案】C【答案】C【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，22024·云南文山·一模）如图，在等BD平分LABC，点E点F是线段BD上的动点，则CF+EF的最小值为()A．23B．3C．33D．4【答案】A【分析】本题考查了轴对称的应用，等边三角形的性质，垂线段最短，过C作CG丄AB于点G，连接FG，可求出CG，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，过C作CG丄AB于点G，连接FG，∵在等边△ABC中，BD平分LABC，∴BD垂直平分AC，∴GF=EF，32024·安徽合肥·一模）如图，在Rt△ABC中，LACB=90o，AB=10，BC=8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为()【答案】C【分析】先算出AC，根据△ACP的面积为3，可得P点到AC的距离，画出P点所在直线l，作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，EQ即PB+PQ的最小值，因为点Q为AB中点，可得BQ=CQ=5，由三线合一可得BF的长，由勾股定理得QF的过P作PD丄AC，交AC于点D，∵△ACP的面积为3，S△ACPxACxPD，∴PD=1，作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，关键42024·湖北·八年级期末）已知，如图别是边OB，OA上的动点，记LMPQ=a，LPQN=β,当MP+PQ+QN最小时，则β-a=．【答案】60°##60度N最小易知∠OPM=∠OPM,=∠NPQ，∠OQP=∠AQN,=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即∴∠OPM=∠OPM,=∠NPQ，∠OQP=∠AQN,=∠AQN，∴∠QPN180°_α)=∠AOB+∠MQP＝30°+（180°_β),∴180°_α=60°+（180°_β),∴β_α=60°,故答案为：60．【点睛】【点睛】本题考查轴对称_最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关52024·山东·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB//CD,CE丄AB,AE=B【答案】10【答案】10线l于F'，此时|F'A_F'C'|的值最大，即|FA_FC|的值最大，最大值为线段AC'的长．【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的62024·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A12点B（4，12试在x轴上找一【详解】解1）解：∵A（-1，-2∴点A关于x轴对称的点A′坐标是（-1,2【点睛】本题考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．>AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．∴∠AMN+∠ANM＝180°_∠MAN＝180°_（120°_∠A'AM_∠NAE120°,故答案为120°.823-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，在等边△ABC中，AD丄BC于D，若AB=4cm，AD=23cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为【答案】2【答案】23cm【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间线段最等边三角形的性质是解题关键．连接PC,CE，先证出PB=PC，从而可得PE+PB=PE+PC，再根据两点之间线段最短可得当点C,P,E共线时，PE+PC取得最小值，最小值为CE，然后证出△BCE≌△BAD，根据【详解】解：如图，连接PC,CE，∵在等边△ABC中，AD丄BC，:AD垂直平分BCPB=PCPE+PB=PE+PC，由两点之间线段最短可知，当点C,P,E共线时，PE+PC取得最小值，最小值为CE，∵在等边△ABC中，AD丄BC，E为AB的中点AB=CB,BEAB,BDCBBE【答案】4【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A,BC,△A,BD，得到CD=A,D，推出当A、D、A,三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A,B+AB=4．∴∠ABC=∠A,BC,=60°,A,B=AB=BC=2，∴∠CBC,=60°,∴∠CBC,=∠A,BC,，∵BD=BD，∴△CBD≌△A,BD，∴CD=A,D，∴AD+CD=A,D+CD，∴当A、D、A,三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A,B+AB=4，故答案为：4．.【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形点E,F分别是AC,AD上的动点，则EF+CF的最小值是．【答案】5【分析】在AB上取点F,，使AF,=AF，过点C作CH丄AB，垂足为H．因为EC、E、F,共线，且点F,与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点F,，使AF,=AF，过点C作CH丄AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA△ABCAC.BCCH.AB，:CH，∵AE平分LCAB，∴LEAF=LEAF,，:当C，E，F,共线，且点F,与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为．故答案为．0点C是y轴上的一个动点，当|BC__AC|最大时，点C的坐标是1223-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，LC=90o,AB=10,BC=6，点D是BC【答案】8连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可得出此时△BPE的周长最小，最小值是BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．【详解】解：连接CE，交AD于M，∵沿∵沿AD折叠C和E重合，∴LACD=LAED=90o,AC=AE=8,LCAD=LEAD，∴BE=2，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，1323-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，且CD=5，AD=13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为．【答案】18周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，即可得到当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接AM，∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动，∴AM=MC，∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，1423-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在锐角△ABC中，7ACB=30o，点P为边AB上的一定点，连【答案】4于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，此时△PMN的周长最小，根据轴对称的性质可得LACP=LACE，LPCB=LBCF，CP=CE=CF=4，再利用等边三角形的判定及性质即可【详解】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，如图：此时△PMN的周长最小，由对称的性质可得：LACP=LACE，LPCB=LBCF，CP=CE=CF=4，丫LACB=30o，:LECF=60o，:△CEF是等边三角形，:EF=CE=4，:△PMN周长的最小值为：PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=4，故答案为：4．1523-24八年级上·广东茂名·期M、点P分别是直线AB和y轴上的动点，则PM+PN的最小值为．【分析】作点【分析】作点N(-1,0)关于y轴对称的点Q，过点Q作QM丄AB于M，交y轴于点P，连接BQ，利用一次∵N是OA的中点，∴N(-1,0)，作点N(-1,0)关于y轴对称的点Q，则Q的坐标为(1,0)，过点Q作QM丄AB于M，交y轴于点P，连接BQ，\PN=PQ，此时PM+PN=PM+PQ=MQ的值最小，解得：QM\MN+NP的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问1623-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面(1)画出△ABC；(2)△ABC面积为；(3)如图，△△ABC内的一点，则点P在△A,B,C(4)若有一个动点Q在y轴上，则当QB,；（y轴的对称点B,,，则B,,坐标为(-1，-3)，连接C,B,,，求出C,B,,的解析式，求出与y轴交点坐标即可．∴点P(a，b)平移的对应点P,的坐标为：P,(a+4，b-3)；172022·江苏·八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个将军每天从军营A出发，先到河边饮马