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文档简介

考研《高等数学》考研真题考点归纳

高等数学考点归纳与典型题（含考研真题）详解

第1章函数、极限与连续性

1.1考点归纳

一、函数

（一）函数的概念

v=/（x）:xeZ）

，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域.

（二）函数的几种特性

1.有界性

2.单调性

u

设函数f（x）的定义域为D,区间ID.

了（再）＜”与）

（1）单调递增当时，.

演〈士

（2）单调递减当时，.

3.奇偶性

(1)偶函数：f(—X)=f(x),其图像关于y轴对称；

(2)奇函数：f(-x)=-f(x),其图像关于原点对称.

4.周期性

/(x+T)=/(x)

(1)定义：(T为正数).

(2)最小正周期：函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.

(三)函数的分类

1.复合函数与分段函数

(1)复合函数

y=/[g(.v)]

函数，称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数.

注：函数g的值域必须包含于函数f的定义域.

(2)分段函数

2.反函数与隐函数

(1)反函数

①定义

『：-D

设函数f：D-f(D)是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数.

②性质

f-1

a.当f在D上是单调递增函数，在f（D）上也是单调递增函数;

/-1

b.当f在D上是单调递减函数，在f（D）上也是单调递减函数;

尸

c.f的图像和的图像关于直线y=x对称.

（2）隐函数

如果变量x,y满足一个方程F（x,y）=O,在一定条件下，当x取区间I任一值

时，相应地总有满足该方程的唯一的y存在，则称方程F（x,y）=0在区间I确定

了一个隐函数.

（四）函数的运算

和(差)/±g:(y±g)(.V)=/(.V)±g(.V)..Ve/>

(/,g)(.v)=/(.v)-g(.v),,veD

E〃\I.V|g(.v)=()..1•e1)

gg(.v)

（五）初等函数

1.初等函数的定义

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成

并可用一个式子表示的函数，称作初等函数.

2.基本初等函数

（1）某函数

（2）指数函数

（3）对数函数

（4）三角函数

（5）反三角函数

二、极限

(-)数列的极限

1.数列极限的概念

limq,=a

V>OS3J\'>0

n>N

:,当时，有，

2.收敛数列的性质

(1)唯一性

(2)有界性

(3)保号性

注：如果数列收敛于a,则它的任一子数列也收敛，且极限也是a.

(二)函数的极限

1.函数极限的定义

(1)函数的极限

①自变量趋于有限值时函数的极限

1

Iiinf(.v)=/!<=>V>0,36>0.'10<|.v-.v0I<6时.4f|/(x)-.1I<^.

lim/(J)=/(xrt)；

A/

左极限：

lim/(J)=/(x；)s

右极限：

lim/(.r)AQlimf(.r)=lim/(a)=A.

②自变量趋于无穷大时函数的极限

lim/(.v)=-0

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