考研数学三概率论与数理统计（参数估计）模拟试卷1

考研数学三概率论与数理统计(参数估

计)模拟试卷1

一、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)

(012)J_

1、设总体X的概率分布为X〜‘72。"-e)(I其中W0<0v2)为未知参

数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中五个取1,三个取2,一个取0。则0

的矩估计值为,最大似然估计值为O

标准答案：20'20

知识点解析：根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结

-x-=।I。

果。事实上，设E(X)=X，其中占X士E(X)-20(10)+2(1-9)2=2(10)。

-*.fz£

令2(1—°尸X.解得0的矩估计量।一5，由样本值，可得而

!0

11_L.旦=2ri

(5x1+3x24-2x0)=10,故。矩估计值为1一彳•而一可。又样本似然函数L(0)="

p(xi；0)=[20(1—0)]5[(1—0)2]3[02]2=2509(1—0)11,贝I」有1nL=51n2+91nO+llln(l—

dint21199

O),令F二万一口二0,解得。=元，即。最大似然估计值为防。

ftr.0<x<1.

1-c0x,1<x<2V

2、设总体X的概率密度函数为f(x：0)=0，其他，其中ovevi是位置参

数，C是常数，X|,X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则

c=；0的矩估计量二o

标准答案：E信四

知识点解析：根据题意可知，l=LJ"(x；0)dx=fi20xdx+fi2(l一c0x)dx=T^41-T

£

0(4—1),因为0H0,解得C二^又因为

£(X)■|叭%;6)心=[fix:dx♦|-y^xjxdx

=京+(#-%')卜＞+/-"/4以

公力卜£(刈。

因此，。的矩估计量

3、设Xi，X2，…，X”为来自区间［—a,a］上均匀分布的总体X的简单随机样

本，则参数a的矩估计量为o

标准答案：

知识点解析：因为E(X)=O,不能用一阶矩来估计。E(X2)=D(X)+E2(X)=

四一尤±y

123样本二阶聋丝二iXi?,E(X2)=n-iXr，即

3九司\»7i

4、设X］,X2，…，Xn是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，则入的极大

似然估计量为o

标准答案：X

知识点解析：因为P(Xi；M=P{X=Xi}二七!则极大似然估计为

〃入)NIJF(^IA)――二❷皿

与%！…4!两端取对数，得InL(让2-£

Vxt

dln〃八)dlnL")=白

=0

Inxi!-n入，两端求微分并令dA=0,得dA-入解得

%=又为极大似然估计量。

二、解答题(本题共78题，每题1.0分，共18分。)

/«)=|(。+1)心°<”<1,

5、设总体X的概率密度为I0，其他.其中。>一1是未知参

数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估

计法和极大似然估计法求9的估计量。

e♦i

标准答案：总体X的数学期望是E(X)=U+G0xf(x)dx=fo1(e+1)xo+1dx=&♦2令

LL1axe»^=2

"2”得到参数0的矩估计量为1-X设X[,X2,…，Xn是相对于样本

Xi，X2,…，Xn的一组观测值，所见似然函数为

,_+阳尸，0<%<1,。=1,2,3,・・・力)

0,其他。.当0VxiVl(i=l,2,

n《idlnLn工夫]

0>.]鹏-r—=-----+>lux.

3,…，n)时，L>0且lnL=nln(0+l)+号令此。+1ft1=0,解得

0=/--1

£1必

9的极大似然估计为台

知识点解析：暂无解析

F(X；/3)«/，

设总体X的分布函数为I°，女中未知参数X1，

X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：

6、p的矩估计量；

f旦x>1

标准答案：X的概率密度为°»%W1。因为凤*)=

-^-dx=-^―B-x一毛一

Jaxf(xf/3)dx=Jx

/川£_]令/3_]_解得0]_1,所以参数。

B=—

的矩估计量为X-1,其中X是随机样本的数学期望。

知识点解析：暂无解析

7、P的最大似然估计量。

标准答案：似然函数为

L0=口/(乐⑼=](%““四%>1"=J…，")，

0,其他。,当Xi>

.

y

l(i=l,2,…，n)时，L(p)>0,取对数可得InL(份=n呻一(0+l)fillnxi，两边走。

|——X：+人—-W

标准答案：因为E(X)=X所以E(X尸卜+8人2x2e-"dx=A一—X为总体的矩估

计量。

知识点解析：暂无解析

11、求参数大的最大似然估计量。

』/；入)=A2"-x,•e।=i*4,

标准答案：构造似然函数L(X],…，Xn；入尸十1金1WF7取

nn

2In苞-入，阳

对数lnL=2nia+母,=,令

将°=铝£……

X

知识点解析：暂无解析

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N3,。2)与N(R,2。2),其中。

是未知参数且。＞0,设2=*—Y。

12、求z的概率密度f(z；a2)；

标准答案：因为X-NQL,J),丫〜N(|i,2o2),且X与Y相互独立，故2=乂一

Y〜N(0,3a2)o所以，Z的概率密度为f(z；『)=*石•(-8VzV+8)。

知识点解析：暂无解析

13、设Zi，Z2........Zn为来自总体z的简单随机样本，求『的最大似然估计量

*2

0O

标准答案：似然函数L(J)=

〃(/)=flf(zi；a2)=---------r---------7e-^.?ir?=(6ir)(a2)

值(6TT)7(a2)T

InZ/a2)=---ln(67r)-gin")-z-,

乙乙OCT

d皿d)___n__1_yz2=0

“-2/6(“2'-'

：浸二二Nz：

解得最大似然估计值为Md3几fz占，最大似然估计量为3n-i

知识点解析：暂无解析

、-re•,x>U,

f(x；e)=?

设总体X的概率密度为°，其他，其中0为未知参数且大于

零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。

14、求0的矩估计量：

标准答案：E(X)=

P%f(x)dx=Pgeddx=-0pe^d(^-)=-=0

。=x=LfXj

令E(X尸X,得到矩估计量〃g

知识点解析：暂无解析

15、求0的最大似然估计量。

标准答案：对于总体X的样本值X],X2，…，Xn，其似然函数为1位],乂2，...，

2n

xn:0）=f（xi：0）f（X2：0）?...»f（xn;0）=0（xi,X2，…，Xn）"，"♦…F）

/11\2n（\1

（—+,••+—）£彳Z-1一+•1+一

lnL=2nln0-31n（xi,X2，…，Xn）一八/4明"'xix«

；2〃

(f=-----

y-t

=0,得到最大似然估计量为3X*

知识点解析：暂无解析

axe-T,%>0,

设总体X的概率密度f(K)=l0,%40。其中a是常数，XX)是未知参数，从总

体X中抽取样本X1，X2，…,Xno求：

16、常数a；

[f(%)dx=[axe'^dx=a*《，故a=与

标准答案：由于1」-8」。.2A

知识点解析：暂无解析

17、求大的最大似然估计量晨

标准答案:设样本X],X2，…，X：的一组取值为X”X2,…，Xn，则似然函数

J仔「山”培"，?>0，i=1,2,…，几，

L(入)=八A/•i・l

0,其他。当Xj>

n«n

y1nxi-丁£”；

O(i=l,2,n)时，取对数得lnLQ)=nln2—nlnX+fi'i入«®i令

dl叱⑷=_2L+JLVx21

dA

人人'=0,得大的最大似然估计量人几t»l

知识点解析：暂无解析

/(比，)=，".0<X<%

18、设总体X的概率密度为10.

其他，X|,…，Xn为来自

X的一个简单随机样本，求0的矩估计量。

f-x)dxe_

标准答案：E(X)=*63所以。的矩估计量

--3二

。=3X=—yx,

H3.】

知识点解析：暂无解析

[2e-2(*向，x>6,

19、设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x；。)-1°，"WO,其中A0

为未知参数。又设X],X2,…，Xn是X的一组样本观测值，求参数。的最大似然

估计值。

标准答案:似然函数为L(e尸L(X],X2，…，x;0)=

*n

2%-2mX,>J(i=1,2,-,n),

°，其他，当Xi>O(i=l,2,…，n)时，L(0)>0,取

ydin-(6)

对数，得lnL(0)=nln2—2£(XL0)。因为dO=2n>0,所以L(0)单调增加。

由于。必须满足xi>8(i=l,2,…，n),因此当9取X],X2，…，Xn中最小值时，

L(8)取最大值，所以9的最大似然估计值为0=min{xi，X2，…，xn}<>

知识点解析：暂无解析

20、设X服从⑶b]上的均匀分布，Xi，Xn为简单随机样本，求a,b的最大

似然估计量。

标准答案：设X的样本观测值为XI，…，Xn，则似然函数

L°，其他，显然I=U>0,且b—a越小L

值越大，但是{bNxi,i=l,...»n}={b>max(xi，xn)J>同理{aSXi,i=l,...»

n}={a<•(xi,Xn)},所以只有当b=max{Xi},a=min{Xi}时，L才达到最大

值，所以a,b的最大似然估计值为"max以|,amin|x,|

最大似然估计量

-mini\,6=max{X|

是0(

知识点解析：暂无解析

21、设总体X的概率分布如下表所示

1

X0123

P必28(1-6)优1-20

1

其中0(0<0<5)是未知参数，利用总体X的如卞样本值3,1,3,0,3,1,2,3。

求0的矩估计和最大似然估计值。

标准答案：E(X)=OXO2+|X20(1-e)+2x02+3x(l—26)=3—40,0=4[3—E(X)]o。的

矩估计量为'=7(3根据给定的样本观测值计算X=I

*I-1

(3+1+3+0+3+1+2+3)=2。因此。的矩估计值‘室1"一彳对于给定的样本值似

然函数为L(0)—4()6(|0)2(l—20)4,lnL(0)-lii4+6hi04-21n(l0)+41n(l—20),

dln/,(e)_g_2__L一.24炉•286+6dlnL(8)

(冶-e.I'i-26-e(i