考研数学三（线性代数）模拟试卷22

考研数学三（线性代数）模拟试卷22

一、选择题（本题共6题，每题上0分，共6分。）

a^c2a^c3

aHal2013a”Q】】a12c

0247a23ca24c2

a2i022a23a24a22

=m.cW0•则

aaa

3l3233034a31ca32c。33a”6

a41c3ac~2a43c7a”

1、设04i42a4342等于（）

2

A、c'm

B、m

C、cm

D）、c3m

标准答案：B

知识点解析：由

2ca13c2A14f32ca13/Qi]

a”an

a24^a22ca23/a24cJ

421ca22a23c021

=r-1•c~2・r-3

-2一1

a31ca32c033a34c«31a32ca33^a”。,

7ac~2ac~x

Q4caa44为2c。43/&Y

012々13,314

生】22々23<%

=—2厂3)(。83)

=m.

a31a32a33<小

qZ43<k故

选(B).

2、A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A"|二（）

A、|A|

B、|A-'|

C、|An-'|

D、|An|

标准答案：C

知识点解析：AA*=|A|E,两边取行列式，得|A||Ai=|Ap.若|A|#0,IAVIAI^^IA11-

,|：若|A|=0,贝lJ|A*|二O,故选（C）.

工.:]|

3、设A是n阶矩阵，则=()

A、(-2)n|A|n

B、(4|A|)n

(-2)n|A*|n

D、|4A「

标准答案：B

^]|=(-2)2"|A-||A|=4"|A|"=(4|A|)-.

知识点解析：LA+AA」|

4、设A是mxn矩阵，r(A)=r<min{m,n),则A中必()

A、没有等于零的r-1阶子式，至少有一个r阶子式不为零

B、有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零

C、有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式

D、任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式全为零

标准答案：B

知识点解析：由矩阵的秩的定义知，r(A尸r,r是A中最大的不等于零的子行列式

的阶数，故A中有不等于零的(至少一个)1■阶子式，而I•阶以上子式都等于零，这

只需所有门1阶子式全为零即可，故选(B),而(A),(C),(D)均不成立，请读者自

行说明理由.

5、设A是mxn矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()

A、m二n且|A|，0

B、AX=O有唯一零解

C、A的列向量组ai，a2，…，an和川，(12，…，an»b是等价向量组

D、r(A)=n,b可由A的列向量线性表出

标准答案：D

知识点解析：r(A尸n,b可由A的列向量组线性表出,即为r(A)=r(A|b)=n,Ax=b

有唯一解.(A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能

无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b由⑺，。2,…，所表出，可能不唯一).

23

-10

6、设31」则下列向量中是A的特征向量的是()

A、§i=[l,2,1]T

B、⑤二"，-2,1]T

C、白=[2,I,2/

D、对2,I,一

标准答案：B

--12

2-1

知识点解析：因A及二L3

3故Z是A的对应

于人=-2的特征向量.其余的考0,43,J均不与A0,A&3,AJ对应成比例,

故都不是A的特征向量.

二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

aba4-6|

ba+ba

a+bab

7、设a,b,a+b均非0,贝］行列式=.

标准答案：-2(a'+b3)

知识点解析：将第2,3行加到第I行，提出公因子2(a+b)后，再将第I列的一1

倍加到第2.3歹I」，得到

00

aa-b

T-07

=2(a+b)(-a-+ab-

b2)=-2(a3+b3).

8、设A是n阶矩阵，|A|=5,则|(2A)*卜.

标准答案：2n27.541

知识点解析：(2A)(2Af=|2A|E,(2A)*=|2A|(2A)-1,

|(2A)・|=||2A|(2A)T|=2"|川•鼻t

=|2"-1•5Af|=(2i・5)"|A"lI

=2/r.5"-1.=|2n-1.5A-1|=(2n-1.5)n|A-1=2n2-n.5n-1.

9、设Amxn，Bnxn，Cnxm,其中AB=A,BOO,r(A)=n,则|CA—B仁

标准答案：(-1)11

知识点解析:因AB=A,A(B-E)=O,r(A)=n.故B-E=O,B=E,且由BC=O,得

C=O,故|CA—B|=|—B|=(一1".

■0—2

A=2x

、已知一是

102L—22的特征值，其中bRO是任意常数，则

x=.

22nn_12n_22n

是B=(3E+j)=3E+Cn'3J+Cn3j+...+j,

而C=113,7],C2=6C,…,C?=6iC,所以

3"

3W

3・6--1—6・T

—9•6,73•6-L

知识点解析：暂无解析

13、设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a.证明：（l）a#）；（2）A”的

每行元素之和均为。.

标准答案：（1）将A中各列加到第一列，得

4|=

若a=0,则|A|=0,这与A是可逆

1=

阵矛盾,故a#0.(2)令人=[叫，«2，...»an]»A[Pi，22，…,Pn]»E=[ep

-1

e2>...»en]»由A/A=E,得A"[ai，a2，...»an]=[ei，e2，…，en]»Aaj=ej,

111

j=l,A-a1+A'a2+...+A-an=e1+62+...+en»

A-1(ai+02+…+%)=A7

另一方面,A一1:=[/fc，艮，…遇]:=。（4+艮+…+儿）.

••

-a」La.

比较以上两式，得证

ri

「口G

,11

。（4+良+・・・+4）=.，同+兵+…+4=a

w1

_a

得证L的每行元素之和为十.

知识点解析：暂无解析

14>已知向量组eq,ai，...»cts+i(s>1)线性无关,pi=ai+taj+i,i=l,2,...»

s.证明：向量组仇，的，…，氏线性无关.

标准答案：设有数ki，k2，…，ks，使得k[Bi+k202+…+ksps=O成立，即ki

(a1+ta2)+k2(a2+ta3)+...+ks(as+tas+1)=k।ai+(k1f+k2)a2+(k2i+k3)a3+...+(ks.

k}=0,

，l+-=0,

<•••

A,_〃+A,=0,

if+ks)as+kstas+i=0.因cq,a2，...»as+i线性无关，故包”=°，得唯一解

k|=k2=...=ks=0,故”,的，…，氏线性无关.

知识点解析：暂无解析

设A是3x3矩阵，ai,a2，013是三维列向量，且线性无关，已知Acq=012+013,

Aa2=a।+013,Aas=a1+012•证明:

15、Aaj,Aa2»Aa3线性无关；

标准答案：[Aai，Aa2,A«3]=[a2,aj,aj+as，ai，a2]=[ai，a2,03]

-01r011

记

101\c\=101=2#0,

.110.[ai，a2»«3]C,其中110C是可逆阵，故

Aaj,A(i2，A(i3和ai，a2，013是等价向量组,故Aai，Aa2»Aa3线性无关.

知识点解析：暂无解析

16、求|A|.

标准答案:[Act],Aa2，Aa3]=A[ai»(12,a3]=[ai,。2,«3]两边取行列

011

|A|=101=2.

式，得11°

知识点解析：暂无解析

17、设A是mxn阶实矩阵,ilE^：(l)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb

标准答案：⑴设r(A)二口,KATA);m由于AX=0的解都满足(ATA)X=AT(AX)=0,

故AX=0的基础解系(含n一口个无关解)含于A1AX=0的某个基础解系(含n—「2

个无关解)之中，所以n-riWn一⑵故有「2句，即「(人’人后⑹.①又当ATAX=0

TT

时(X为实向量)，必有XTA「AX=O,UP(AX)AX=0,设AX=[bi，bz，…,bm],

则(AX)[(AX)=i=0,必有b|=b2i.=bm=0,即AX=0,故方程组A11AX=0的解

必满足方程组AX=0,从而有n—r(ATA)Wn—r(A),r(A)<r(ATA).②由①，②

得证r(A)=r(AlA).(2)A「AX=A「b有解^(ATA)=r(ATA|Alb).由(1)知r(A尸r(Ar)-

r(ATA),将A、ATA=B以列分块，且8=人丁人的每个列向量均可由八T的列向量

线性表出，故的列向量组是等价向量组，A”是人丁的列向量组的某

个线性组合，r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb),r(ATA)=r(AT)=r(AT|

ATb)=r(ATA|ATb),4fc(ATA)X=ATb有解.

知识点解析：暂无解析

18、已知齐次线性方程组(I)的基础解系为自尸[1,0,1,1]T,§2=[2,1,0,-

Z]+12+13+24=0，

1]L&3=[0,2,1,一1-，添加两个方程q+2工2+2-=0后组成齐次线性

方程组(H),求(呈)的基础解系.

■南十2&'

殳+2/

南+*3

标准答案：方程组(I)的通解为k©+k2q2+k3㈡=④一龌一品」代入添加的两个方

(3瓦+2&+2自=0，

TT

程，得13南+2&*2&=0,得解：(=[2,—3,0],n2=[0,I,-l],故方程组

(II)的基础解系为勺=2备-3944,[3,2,5]T,自2=。一衿⑵-I,一I,0]T.

知识点解析：暂无解析

19、设Amxn，r(A)=m,Bmx(n-m)»r(B)=n—m,且满足关系AB=O.证明：若n是

齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的。使得灰=牛

标准答案：将B按列分块，设B=[—pi，的，…，Pn-m]»因已知AB=O,故知B

的每一列均是AX=0的解，由r(A尸m,rB=n-m知，仇，的，…，际加是AX=0的

基础解系.若n是AX=0的解向量，则“可由基础解系例，…，Pn-m线性表

出，且表出法唯一,即n=XiB]+X2B2+...+Xn-niPn-m=的，。2，…，Pn-mJ

可

工2

*.=B3

’”一』，即存在唯一的。使岗=1

知识点解析：哲无解析

20、设三元线性方程组有暹解求原方程组.

标准答案：设非齐次线性方程为axi+bx2+cx3=d,由,0是对应齐次解，代入

(—a+36+2c=0,

对应齐次线性方程组l2a-36+c=0・得解"匕-5k,3kJT,即a=-9k,b=-