考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷86

考研数学三（解答题）高频考点模拟试

卷86

一、解答题（本题共乃题，每题1.0分，共乃分。）

1、讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

标准答案：

.'(*)h—(ln'*-I♦«)

小康R出t=I是9（x）的0点,而且,当0<*<I时"'（、）<0；¥'>I时<'（x）>0.由此,

站9（x）的・小点-U）=4•4是♦（、）的最小（ft・

当9(“>0即当上<>^（D>0"（"）没有零点；

当.⑴・0即/&»4时.o（x）><p（I）■o,^（«）的唯一零点；

”⑴v0即4A>4时,由于

limx)■lim(lnx(ln5x-4)44x-A]=♦b.

1-0t

J

limx)«lim[lnx(lnx-4)♦4x•k]=+A

故步门）行两个零点.

知识点解析：暂无解析

■3-5r

1-10,

2、设3阶矩阵A=L-I。2」A“XA=XA+2A,求X.

标准答案：A/XA=XA+2AoA/X=X+2E=X=AX+2A=(E—A)X=2A,用初等变

换法解此基本矩阵方程：

--25-16-1021-10-204-

(£-A\2A)=-1202U02-62

-10-1-204-■00-24.

10-1-204-I00-6104-

0I-12-6200-242

-00I-4100--00I-4100-

--610

X=-24

--410

知识点解析:暂无解析

e一尸工

lim

3、求极限…vT+7-1

原式=所经咛0—・3

I_1/I>2

标准答案：33

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a户f(b)=O,又g(x)在⑶b]上连

续,求证：存在乐(a,b)使得P(9=g(q)熊).

标准答案：设Jg(x)dx是g(x)的某个原函数，并令R[x尸eJg(x)dx,作辅助函数

F(x)=R(x)f(x),对F(x)在[a,b]上用罗尔定理，即知本题结论成立.

知识点解析:注意对任何一(a,b),r©=g6)熊)Of(分g《)能尸0」f(x)-

，

g(x)f(x)JIx=^=0[R(x)f(x)-R(x)g(x)f(x)]Ix=^=0[R(x)f(x)lIx=4=0,其中R(x)是在

[a.b]上连续，在(a,b)内可导，而且当x£(a,b)时满足如下条件的任一函数：

R,(x)=-R(x)g(x),又R(x)#0.

5、下列各题中哪些函数是同一函数的原函数：(l)l/2sh?2x,-1/4COS2X,-1

/4COS2X；(2)lnx,ln2x,InIxI,Inx+C

标准答案：若一个函数F(x)在区间I内的导数为f(x),则F(x)为f(x)在区间I上的

原函数，因此判断函数为某一个函数的原函数，只需要对其进行求导即

(1)因为(-ysinx1・2sinx•cosz=sinrcosx.

----V----------------；-(-sin2jr)(2jR)/=《sin21=sinjxosx.

4/4L

----7-COS2XV-------J-•2•COSJT•(-sinx)=­siru-cosxt

4/4I

故;3加I.----]-COS2J-是同-函数sinxcosx的原函数.

(2=+，

(ln2x/

1

jr>Q

m

-i

ITT“VO

(Injr+CY=—.

i

故lrur.ln2x.ln|"Ju+C均为同一函数’的原函数.

口J.工

知识点解析：暂无解析

6、设曲线y=ax?(x>0,常数a>0)与曲线y=l—x2交于点A,过坐标原点。和点

A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D,求：(I)D绕x轴旋转一周所成的旋

转体的体积V(a)；(II)a的值，使V(a)为最大。

-——

标准答案：由题意知，kax?与)，=1—x-的交点为\71+a1+Q，直线OA

a

的方程为'(I)旋转体的体积

“G=47邑，-1/辰=T?•^77^°

)2a(1+a)娶一Q?・京(1+a)丁(.2、

<

(口)d/(a)二红_______________2_________=rr(4a-a)

d。-15(1+a)5~15(14-a)°当@>()

时，得V(a)的唯一驻点a=4。当0VaV4时，V，(a)>0；当a>4时，V，(a)

<0o故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。

知识点解析：暂无解析

fl.x<1,

7^fQnx)」“，*》1，求应x)dx.

标准答案：

11<1•(1,x<0,.f(x4-Cj»x<0,

由/(Inx)=得/(x)=(于是/(z)dx=

L,工>1,1-0,Jle，+G,N20,

由G=1+G,取G=。得=(%)业产+C+1.iVO,

-Ie"+C,x>0.

知识点解析：暂无解析

8、在t=0时;两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g/L,用管子以2L/

min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min

的速度被输送到第二只府内。再将混合液搅拌均匀，然后用1L/min的速度输

出.求在任意时刻t>0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程.

标准答案：设在任意时刻t>0,第一只桶和第二只桶内含盐分别为mi⑴，m2(t),

在时间［3t+

出］内有小小=一空x2Xd%即学+等=0.且满足初始条件如(0)=150,

1Uat3

解得如Q)=150X3在时间口“+山］内有

dm2=等力一合；XIX市•即/+?=30e",且满足初始条件在⑹=150.

□I。十£at1。十，

知识点解析：暂无解析

标准答案：由A*BA=2BA—8E得AA*BA=2ABA—8A,即一2BA=2ABA-

(2

8A,整理得(A+E)B=4E,所以B=4(A+E厂匕

知识点解析：暂无解析

三,叫匹.

12、设/其中f(s,t)二阶连续可偏导，求du及川茂

标准答案：

a”1duXftI1r-—

五=7九，而=一了八+1/

-)dy-W/zdz,

yzy/z

dydzdz\(^yI3z\y2zJ

二壬八7八一"22

知识点解析：暂无解析

SflV**

13、设A=(aij)nxn，且，t=0,i=l,2，…，n,求r(A)及A*.

一tav

标准答案：六】=0,i=l»2,…，n,可知|A|=O,r(A)<n—1,当r(A)=n-I

时，有r(A*j=l,r(A)<n一1,r(A*)=0»故有r(A")gl.r(A*)=l时，A^=apr,其

中a,0为非零向量;r(A*)=0为A*=O.

知识点解析：暂无解析

1£J_

设A,B为随机事件,且P(A尸彳，P(B|A)=T,P(A|B)=2,令

Y_[1,A发生,V_J1.B发生，

10M不发生，1(),8不发生。

14、求二维随机变量(X.Y)的概率分布；

JLp⑷-，(¥)一±

标准答案：因为P(AB)=P(A)P(B|A)=12'P(4|8)6,所以P{X=1,

-L±

Y=1}=P(AB)=12.P{X=1,Y=O)=P(AB)=P(A)-P(AB)=6,P{X=O,Y=1}=P(4

1

B)=P(B)—P(AB)=12,p{X=O,Y=O}=P(4B)=I—P(A+B)=1一P(A)—P(B)+P(AB)=

2_JL2

4