2026年中考数学常考考点专题之分式方程

第1页（共1页）2026初三中考数学高频考点专项训练：分式方程第一部分．单项选择（合计12道题）1．（2025高要区第一次模拟考）在求解方程时，执行去分母操作后正确的结果为（）3A．3（x+1）＝1x（x1）B．3（x+1）＝（x+1）（x1）x（x1）C．3（x+1）＝（x+1）（x1）x（x+1）D．3（x1）＝1x（x+1）2．（2025前进区校级第二次模拟考试）已知关于x的分式方程没有解，求a的数值（）xA．1B．C．1或者D．1或者1213．（2025兴庆区校级二模）在实验室中，一个容器里装有150克盐水，其中盐的质量为10克．若要使该盐水的含盐率提升至起初的3倍，应采取怎样的操作．晓华针对此情境建立方程，，其中字母x所代表的含义是（）3×A．补给的水量B．挥发的水量C．添加的食盐质量D．削减的食盐质量4．（2025越秀区校级第二次模拟考）由于大众对网络购物的青睐程度不断提升，快递配送的需求量也相应地迅速增长，一家快递企业为配送员配备了更高效的交通工具，该公司整体的快件投递量从每周的3600件增加至4800件，导致每位员工每周平均多配送了60件，在配送员总人数保持不变的情况下，请计算原先每人每周平均投递的快件数量．假设最初每人每周平均投递x件，由此可以建立的方程是（）A．B．3600xC．D．3600x5．（2025韶关模考）该方程的解为（）xA．x＝2B．x＝2C．x＝3D．x＝36．（2025东坡区校级模考）已知关于x的分式方程的解是一个正实数，，那么实数m的取值范围为（）mA．m＜1B．m＞1C．m＜1并且m≠2D．m＞1同时满足m≠37．（2025邻水县二模）在实验室中准备配制10%盐水溶液，目前拥有100克5%盐水，其中包含、50克盐（100%其浓度为），以及100克水．为了使溶液的浓度增加到10%，，应当添加多少克盐？下列哪个方程是正确的（）A．B．x+5100+xC．D．x100+x8．（2025工农区校内模拟）已知关于x的分式方程，其解的取值区间为x≤3，，据此推导m的取值范围为（）xA．m≥3B．m≤3C．m≥0并且m≠1D．m≤0同时满足m≠19．（2025香坊区第三次模拟考试）该方程的解为（）3A．x＝4B．x＝4C．x＝5D．x＝310．（2025江阳区校级模考）已知关于x的分式方程解为正值，且关于x的一元一次不等式组存在解，那么所有符合条件的整数a之和为（）3x-1A．6B．9C．11D．1411．（2025兴庆区校级三模）在古建筑的构造中，榫（sn）卯（mo）连接能确保建筑稳固，匠人们设计了一套特殊的榫卯配比，单个榫头所消耗的木材比单个卯眼多0.5千克．现已知投入30千克木材生产的榫之数量，与投入25千克木材生产的卯之数量相等，若定义生产1个榫所需的木材总量为x千克，那么能正确描述此情景的方程为（）A．B．30xC．D．30x12．（2025临平区模考）设实数a，b，的一种新运算定义为：a．已知：1，，那么方程（2）x＝1的解为（）b=a+bA．x＝1B．x＝3C．x＝3D．x＝1第二部分．填空题（合计8道小题）13．（2025长沙一模）若关于x的方程没有解，那么m的结果为．m14．（2025成都校级三模）已知分式方程关于x的解集满足大于0，，求m的取值区间为．x+115．（2025江北区校级第二次模拟考试）已知整数a满足：关于x的不等式组解集为x＜2，，且关于y的分式方程存在正整数解，。求所有符合条件的a之和，结果为．a+x216．（2025崂山区校级三模）《在古代数学名著《九章算术》》中，有一道题目的现代汉语翻译如下：：若使用慢马传递一份公文至1000城外，，实际耗时比预定时间长一天；：若改用快马传递，，则所用时间比预定时间短3天。．现已知快马的行进速度是慢马的2倍，，请计算预定的时间。．若将预定时间设为x天，，则能建立的方程是．17．（2025重庆校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组具有至少两个整数解，并且关于y的分式方程所得的解为正数，那么符合上述条件的整数a的所有可能值的总和为．2x-11318．（2025武侯区校级模考）该分式方程的解为．2-x19．（2025铜梁区校级第一次模拟考试）512由于汶川大地震，某条铁路隧道受损严重．在抢修其中一段长120米的铁路时，施工人员每日的修缮进度比原定计划增加了5米，最终使得列车提前4天恢复通行．请问原计划每日修缮的长度是多少米？如果设定原计划每天修x米，则下列哪个方程是正确的．20．（2025苏州模考）若关于x的分式方程所得的解为非负数，那么k的取值范围应为．k第三．大题为解答题（，包含5道小题）21．（2025海城市三模）关于葫芦岛北至哈尔滨西的铁路距离约为660km，若从葫芦岛北出发，搭乘G字头列车A或T字头列车B均能抵达哈尔滨西．已知A号车的平均时速是B号车的2倍，且其运行时间比B号车短3h（不考虑中途车站的停靠时间），依据上述条件，计算出A号列车的平均速度．22．（2025紫金县校级一次模拟考）一家快递企业为应对防疫要求，旨在提升作业效能，打算采购A、B两款不同型号的机器人用于物资搬运，已知单台A型机器人每日的搬运量比单台B型机器人少10吨，同时A型机器人日搬运540吨货物所需的设备数量，与B型机器人日搬运600吨货物所需的设备数量一致．计算A型与B型机器人单台设备在每日搬运货物量上的具体吨数？（2）一台A款机器人单价为1.2万元，，一台B款机器人单价为2万元。，该企业打算购买A、B这两种型号的机器人合计30台，，且要求每日货运量至少达到2830吨，，总采购预算在48万元以内。．若采购A款机器人m台，，则总花费为w万元。，请推导w关于m的函数表达式，，并计算出最低的采购成本．。23．（2025济阳区一模）由于新能源汽车具备动力强劲且、能耗较低的优势，正日益受到大众的青睐．某汽车4S销售店计划进货甲型和乙型两种新能源车型，已知单辆甲型车的进货价格是单辆乙型车进货价的1.2倍，如果投入2400万元购买甲型车，其数量比投入1800万元购买乙型车的数量要多20辆．（1）请计算出甲型与乙型汽车单辆的进货价格分别是多少万元？（2）这家汽车4S销售店计划采购甲、乙两种型号的汽车，总数共计100辆，其中甲型车的采购数量需至少是乙型车的1.5倍，请问在购进多少辆乙型车的情况下，能让总投资金额达到最低？此时最低的投资总额为多少万元？24．（2025兴庆区校级第四次模拟考）由于无人机技术的持续发展，当地设立了无人机医疗急救药品运输线路，无人机自物流中心起飞，以恒定速度飞向一家医院，航程共计16千米．如果使用常规车辆匀速运输，路程为30千米，其行驶速度是无人机速度的1.5倍，然而运输耗时比无人机多出6分钟．请计算出无人机与常规车辆在配送时的速度分别是多少千米/时；（1）（2）假设一架无人机由物流中心起飞向医院运送急救药，在飞行，10分钟后，收到医院告知，药品必须在8分钟内（（含8分钟））送抵，。为了确保能按时完成这次配送，无人机的速度最少需要增加到每小时多少千米/时，才能达成．25．（2025兴庆区校级第二次模拟考试）以下为小云同学在求解分式方程时的部分步骤，请仔细阅读后回答相关问题：解分式方程：2x-1解：2x-13(x+2)2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……第二步2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步………（1）在第二阶段求解时所采用的理论基础为；A．关于分式的特性；B．等式的基本性质；C．单项式与多项式的乘法法则．在（2）的解方程过程中，从第步起出现了失误，其，具体原因在于；（3）请详细列出此分式方程的完整解题步骤．2026初三数学中考高频考点专项训练：分式方程标准答案及题目详解第一部分．单项选择题（总计12道）题号1234567891011答案BCBAADACBCA题号12答案C第一部分．单项选择（合计12道题）1．（2025高要区一次模拟）在求解方程时，通过去分母操作后，结果正确的是（）3A．3（x+1）＝1x（x1）B．3（x+1）＝（x+1）（x1）x（x1）C．3（x+1）＝（x+1）（x1）x（x+1）D．3（x1）＝1x（x+1）【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程的解法与实际应用；计算水平．【正确选项为】B【通过对】分式方程的两侧同时乘以（x+1）（x1）以消除分母，得出结论，后便能进行判定．【计算过程】求解：通过去分母可得：3（x+1）＝（x+1）（x1）x（x1）．因此，正确选项为：B．【解析】本题旨在测试对分式方程求解能力的掌握情况，能否高效运用分式方程的解题步骤是顺利完成本题的核心．2．（2025前进区校级第二次模拟考试）已知关于x的分式方程没有解，那么a的结果是（）xA．1B．C．1亦或是D．1或者121【知识点】分式方程的求解．版权归菁优网所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】C【探讨】通过对原方程进行去分母处理，得到x3a＝2ax6a，经由化简可得（2a1）x＝3a，结合题目要求进行分情况讨论，从而计算出a的相应数值．【分析】计算：通过对原方程去分母可得x3a＝2ax6a，收拾得（2a1）x＝3a，若2a1＝0，a，则，=0x没有解，由此可知原方程不成立，满足题目要求，=当a时，≠如果原方程没有解，，则意味着该方程产生了增根x＝3，由此可得3（2a1）＝3a，计算结果为：a＝1，由此可见，，a的取值为1或者，1因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对分式方程求解方法的掌握，准确把握其内涵是顺利解题的核心．3．（2025兴庆区校级二模）某实验室容器中装有150克食盐水，其中盐的质量为10克，若要使该食盐水的含盐百分比提升至初值的3倍，应采取何种处理方案？．晓华针对此情境中的数值关系建立了方程，，那么该方程中未知数x所代表的含义是（）3×A．补给的水量B．挥发的水量C．投放的盐量D．削减的盐量【测评点】将实际场景转化为分式方程．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】B【探讨】由晓华所建立的等式可以得出x所代表的含义为水分蒸发量，从而使该问题得到解答．【分析】计算：根据已知条件可知，x这个未知数所代表的含义是水分蒸发掉的量，因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在考察如何将实际场景转化为分式方程，解题的核心在于准确理解题目要求，并构建出正确的方程．4．（2025越秀区校级第二次模拟考）由于大众对电商购物的青睐程度不断提升，快递配送的需求量也随之迅速增长，一家快递企业为配送员升级了更高效的交通工具，使得该公司的周投递总量从3600件增加至4800件，计算得出，每位员工每周平均比此前多配送60件，在配送员总人数保持不变的情况下，请计算原先每人每周平均投递的快件数量．假设原先每人每周平均投递x件，由此可以建立的方程是（）A．B．3600xC．D．3600x【知识点】将实际场景转化为分式方程．菁优网版权所有【板块】分式方程及其实际应用；应用能力．【结果】A【解析】假设初始状态下，每位人员每周投递的快件数量为x件，在升级交通工具之后，人均每周投递量变为（x+60）件，由于快递员的总数保持恒定，由此可以建立关于x的分式方程，从而完成求解．【分析】解：假设在更换交通工具之前，每人每周平均投递的快件数量为x件，那么在采用了更快捷的交通工具之后，每人每周平均投递的快件数量变为（x+60）件，根据题意可得：．3600因此，正确选项为：A．【解析】本小题旨在考察如何将实际场景转化为分式方程，准确把握等量关系，能否正确构建分式方程是顺利求解的核心．5．（2025韶关模考）该方程的解为（）xA．x＝2B．x＝2C．x＝3D．x＝3【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果为】A【通过】遵循分式方程的求解流程，开展运算，即可得出结果．【分析】计算：，xx（x+1）3（x1）＝（x+1）（x1），计算结果为：x＝2，验证在x＝2的情况下：是否成立，（x+1）（x1）≠0，x＝2为该方程的一个根，因此，正确选项为：A．【解析】该题旨在测试对分式方程求解方法的掌握，需特别留意，在求解分式方程时，检验步骤必不可少．6．（2025东坡区校级模考）已知关于x的分式方程的解是一个正实数，，那么实数m的取值区间为（）mA．m＜1B．m＞1C．m＜1并且m≠2D．m＞1同时满足m≠3【知识点】分式方程的求解；一元一次不等式的解法．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】D【解析】首先求解分式方程，得x＝m1，。由于该方程的根为正实数，，由此推导出m1＞0以及m1≠2，。最后计算出m的取值范围即可．【计算过程】解得：将等式两端同乘x2，可得：m3＝x2，计算结果为x＝m1，该分式方程的解是一个正实数，m1＞0并且m1≠2，计算结果为m＞1以及m≠3．因此，正确选项为：D．【解析】此题的核心考点在于分式方程的求解方法，在求解时，由于将分式方程转化为整式方程的操作，导致未知数的取值范围有所增加，因此可能会出现增根，所谓增根，即使分母为0的数值，它并不属于原分式方程的解．7．（2025邻水县二模）在实验室中准备配制10%盐水溶液，，目前已有100克5%盐水，其中包含、50克盐（100%（浓度为））以及100克水．。为了使溶液的浓度增加到10%，，需要额外添加多少克盐？下列哪个方程是正确的（）A．B．x+5100+xC．D．x100+x【测评要点】将实际场景转化为分式方程．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算能力．【结果为】A【通过分析】求得原溶液内溶质的质量，直接利用浓度公式建立方程求解，【分析】计算：由已知条件可列出方程，5+x因此，正确选项为：A．【解析】此题旨在测试对分式方程的掌握情况，能否准确把握等量关系并据此构建方程是突破本题的核心．8．（2025工农区校级模考）已知关于x的分式方程，其解的取值区间为x≤3，，那么m的取值范围应当是（）xA．m≥3B．m≤3C．m≥0并且m≠1D．m≤0并且m≠1【测评点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】C【解析】首先通过将分式方程转化为整式方程来计算解，随后结合该解的数值区间与分母不等于零的限制条件，推导出m的取值范围．【计算过程】求解：将原方程进行等价变形为：xx-2计算结果为x＝3m．根据已知条件可以得出3m≤3，m≥0．分母不可取0，，也就是说x2≠0，将x＝3m代入后可得3m2≠0，计算结果为m≠1．m的数值区间为m≥0以及m≠1，因此，正确选项为：C．【解析】本题旨在考察如何通过分式方程的解集状态，来确定参数的取值区间，能否熟练运用分式方程的求解步骤并识别增根，是顺利完成本题的核心．9．（2025香坊区第三次模拟考）该方程的解为（）3A．x＝4B．x＝4C．x＝5D．x＝3【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果为】B【解析】首先将分式方程转化为相应的整式方程，通过求解该整式方程得出x的结果，最后进行验算即可．【分析】计算：，3在等式两端均乘以（x1）（x+2），，可得3（x+2）＝6（x1），去掉括号，后结果为3x+6＝6x6，计算结果为：x＝4，验证：将x＝4带入（x1）（x+2）≠0，中该分式方程的计算结果为x＝4．因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在测试对分式方程求解的理解，能否熟练运用分式方程的解法是获得正确答案的核心．10．（2025江阳区校级模考）已知关于x的分式方程所得解为正值，同时关于x的一元一次不等式组存在解，那么符合上述条件的整数a的所有可能取值之和为（）3x-1A．6B．9C．11D．14【知识点】分式方程的求解；求解分式方程；一元一次不等式的解法；一元一次不等式组的求解；一元一次不等式组的整数解集．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；一元一次不等式（组）及其应用．【结果】C【探讨】利用分式方程的求解步骤，计算出，由已知条件可知x＞0并且x≠1，由此推导出a＞1且a≠3．随后通过求解一元一次不等式组得到：，由于该一元一次不等式组存在解，从而得出，由此可以判定a≤5，确定满足条件的a数值，最终得出结果．x=a-12【分析】推导：，3在等式两端同乘（x1），，可得3＝a2（x1），去掉括号，的结果为3＝a2x+2，解得：，x=该分式方程的解集为正数，x＞0并且x≠1，且，a-12计算结果为：a＞1以及a≠3．求解以下一元一次不等式组，x-4≤0①根据，可以得出x≤4，由，得，x≥该不等式组的解为，a+3，为一元一次不等式组的解，a+3计算结果为：a≤5，1＜a≤5并且a≠3，a的整数解集为2，4，5，符合要求的整数a的所有可能取值之和等于：2+4+5＝11．因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对分式方程求解的理解，分式方程的求值，一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的求解，一元一次不等式组的整数解集，熟练运用分式方程的解题步骤，一元一次不等式组的计算技巧，能否正确解出一元一次不等式是本题的核心．11．（2025兴庆区校级三模）在古建筑的构造中，榫（sn）卯（mo）连接能确保建筑稳固，木匠们设计了一套特殊的榫卯配比，单个榫头所耗的木料比单个卯眼多0.5千克．若消耗30千克木材来制造榫的数量，与消耗25千克木材来制造卯的数量相等，假设生产1个榫共需木材x千克，那么能正确描述该关系的方程为（）A．B．30xC．D．30x【考察重点】将实际场景转化为分式方程．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；应用意识培养．【结果】A【解析】假设打造1个榫所耗木材为x千克，，那么制作单个卯所需的木材量就是（x0.5）千克，。由于利用30千克木材制造的榫之数量与利用25千克木材制造的卯之数量相等，，据此可建立分式方程．【分析】计算：假设打造1个榫头所耗木料为x千克，由此得出单个卯头所需的木料量为（x0.5）千克，根据题意可知：，30因此，正确选项为：A．【解析】此题旨在测试将实际场景转化为分式方程的能力，准确把握等量关系，能否正确建立分式方程是顺利解题的核心．12．（2025临平区模考）设实数a，b，的一种新运算定义为：a．已知：1，，那么方程（2）x＝1的解为（）b=a+bA．x＝1B．x＝3C．x＝3D．x＝1【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】C【通过分析】依据定义建立新运算的等式，求解该方程并进行验证即可．【分析】计算：根据已知条件可知1，-2+x通过去分母处理得到：2+x＝1+2x，计算结果为：x＝3，通过验证可知，，x＝3为该分式方程的解，因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在考察分式方程的求解方法，能否准确把握题目含义并构建出正确的方程是顺利解题的核心．第二部分．填空题（总计8道小题）13．（2025长沙一模）若关于x的方程没有解，那么m的结果为2．m【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】2．【探讨】求解分式方程，基于该方程无解的结论，推导出x＝3，从而求出结果．【计算】求：通过去分母处理方程得：m+（1x）＝0，m＝x1，针对x的分式方程，其结果为无解，x3＝0，x＝3，m＝x1＝31＝2．因此，结果是：2．【解析】此题旨在测试对分式方程的理解，当去分母后产生的整式方程没有解时，该分式方程即为无解，或者当整式方程的解导致原方程的分母为0．时，原方程同样无解。14．（2025成都校级三模）已知分式方程x的解集满足大于0，的条件，那么m的取值区间是m＞1并且m≠4．x+1【测评点】分式方程的求解；一元一次不等式的解法．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果为】m＞1并且m≠4．【探讨】通过去分母的操作将分式方程变为整式方程，随后利用m来写出该方程的解集，基于此分式方程的解需大于0，这一条件，可以建立关于m的不等式，从而求得m的取值区间．最终将分式成立的定义域条件纳入考虑，从而精确锁定m的取值范围．【分析】计算：，x+1通过去分母，可得：x+1＝m，计算结果为：x＝m1．此分式方程的解集范围在0，之上m1＞0，m＞1．再次x3≠0，x≠3，指的是m1≠3，m≠4．由此可以得出，m＞1并且m≠4．因此，最终结果是：m＞1以及m≠4．【解析】此题旨在测试如何通过分式方程的解来确定具体数值．核心在于将分式方程转化为整式方程，并准确把握分式成立的定义域条件．15．（2025江北区校级第二次模拟考试）已知整数a满足：关于x的不等式组解集为x＜2，，同时关于y的分式方程存在正整数解，。求所有符合条件的a之和，结果为12．a+x2【知识点】分式方程的求解；求解分式方程；一元一次不等式组的解法；一元一次不等式组的整数解集．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；一元一次不等式（组）与应用；计算能力．【结果为】12．【探讨】首先求解该一元一次不等式组，得出，随后利用不等式组的解集为x＜2，推导出a+4≥2，从而计算出：a≥2．对分式方程，进行求解，并且y≠4，从而确定a≠2，再结合分式方程存在正整数解，这一条件，可以求得满足要求的a数值，最终得出结果．x≤a+4x＜【分析】计算：，a+x求不等式，的解集，结果为x≤a+4，求不等式，的解集，结果为x＜2，该不等式组的解集表示为x＜2，a+4≥2，计算结果为：a≥2．计算分式方程，的结果为y，y-14-yy≠4，是指，10-a计算结果为：a≠2．若分式方程存在正整数解，，则意味着10a应当是3的正整数倍，假设10a＝3k（k是一个正整数），，那么a＝103k，a≥2，103k≥2，计算得出：k≤4，，也就是k＝1，2，3，4．若k＝4，则，a＝2与题目要求不符，故，予以排除．若k＝1，且，a＝7，k＝2，同时，a＝4，k＝3，则，a＝1，符合上述要求的a所有可能取值的总和是：7+4+1＝12．因此，得出的结论是：12．【解析】该题旨在测试对分式方程求解过程的理解，分式方程解的求法，一元一次不等式组的求解，一元一次不等式组中整数解的确定，熟练运用分式方程的解题步骤，分式方程解的概念，一元一次不等式组的计算方法，掌握一元一次不等式组解的定义是突破本题的核心．16．（2025崂山区校级三模）《在古代数学名著》《九章算术》，中有一道题，将其翻译成现代汉语为：：利用慢马将一份公文递送到1000两座城市之间，，所花的时间比预定时间长一天：；若改用快马递送，，则所用时间比预定时间短3天．。已知快马的行进速度是慢马的2倍，。现要求出该预定时间．。若将预定时间设定为x天，，则能建立的方程是．1000【测评重点】将现实场景转化为分式方程；数学基础知识．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；应用能力．【结果为】．1000【解析】通过考察快马与、慢马用时以及限定时间的关系，可以推导出慢马所花时间为（x+1）天，快马所花时间为（x3）天，基于速度＝路程÷与时间，的关联，并结合快马速度是慢马2倍的条件，从而建立关于x的分式方程，进而解题．【分析】计算：设定的时限为x天，慢马完成所需时限为（x+1）天，快马完成所需时限为（x3）天，快马的行进速度为慢马的2倍，能够建立等式．1000因此，结果是：．1000【解析】此题旨在测试将实际场景转化为分式方程的能力及相关数学基础知识，准确把握等量关系，并正确构建分式方程是本题突破的核心．17．（2025重庆校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组具有至少两个整数解，，同时关于y的分式方程所得的解为正数，，那么所有符合上述条件的整数a之和为5．2x-113【知识点】分式方程的求解；一元一次不等式的解法；一元一次不等式组的求解；一元一次不等式组的整数解集．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果】5．【探讨】基于x的一元一次不等式组拥有不少于两个整数解，求出a的数值范围a≥3，随后将分式方程通过去分母处理变为整式方程，计算得出，由于分式方程的解必须为正数，推导出a的取值区间a＜5并且a≠1，由此得出3≤a＜5且a≠1，结合上述范围锁定a的具体数值，最后将结果相加即可得出最终答案．y=【分析】计算：，2x-11计算结果为：x＞2，解得：，x≤该不等式组所包含的整数解数量不少于两个，，a+3计算结果为：a≥3，a+2y-2a+2y-2a+2y+1＝4y+8，3y＝5a，y=5-a针对y的分式方程，其求解结果为一个正数，且，5-a3计算结果为：a＜5以及a≠1，3≤a＜5并且a≠1，因此，所有符合上述条件的整数a之和为3+（2）+0+1+2+3+4＝5，因此，正确选项是：5．【解析】该题旨在测试对分式方程求解方法的掌握，以及处理一元一次不等式组的能力，应当首先对不等式组进行求解，18．（2025武侯区校级模考）该分式方程的解为x＝2．2-x【知识点】分式方程的求解．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算能力．【结果】x＝2．【通过】将分式方程去分母并将其变为整式方程，求解该整式方程以确定x的数值，最后经过验算即可得出分式方程的最终结果．【计算过程】求解：通过去分母可得：2x1＝x3，通过移项并合并同类项，可得：2x＝4，计算结果为：x＝2，经过核实，x＝2确实为该分式方程的解．因此，结果是：x＝2．【解析】本题旨在测试对分式方程求解方法的掌握，处理分式方程的核心在于运用转化思想，通过将其转化为相应的整式方程来得出结果．在求解分式方程的过程中，务必记得进行验根．19．（2025铜梁区校级第一次模拟考）512由于汶川大地震，某条铁路隧道受损严重．在抢修其中一段长120米的铁路时，施工人员每日的修缮量比原定计划增加了5米，最终使得列车提前4天恢复通车．请问原计划每日修缮多少米？如果原计划每天修x米，则下列哪个方程是正确的．120【知识点】将实际场景转化为分式方程．菁优网版权所有【正确选项】请参阅试题解析部分【通过分析】可知，需要求解的未知数是效率，已知工作量，应当基于时间维度来构建等量关系．核心关键词为：提前4天开通列车；其等量关系式为：原计划耗时减去实际耗时＝4．【分析过程】计算：原计划耗时：，实际执行耗时：．建立的等式为：．120x120【分析】题目时，通常涉及三个变量：，已知其中一项，需要求解另一项，此时必须依托第三个量来构建等量关系．通过捕捉核心关键词，确定正确的等量关系是突破本题的核心．20．（2025苏州模考）若关于x的分式方程所得出的解为非负数，那么k的取值区间为k≤2并且k≠1．k【知识点】分式方程的求解；一元一次不等式的解法．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果为】k≤2并且k≠1．【探讨】把分式方程转化为整式方程，计算出该整式方程的根，确保整式方程的解为非负值，再根据分式方程的定义域进行最终求解．【计算】求解：将x的分式方程转化为整式方程的结果为，kk+2（x1）＝x，解得，x=鉴于该分式方程的解必须为非负值，，这意味着，2-k因此k≤2，若x＝1，则，k＝1，由此可见，k的取值区间是k≤2并且k≠1，因此，最终结果是：k≤2以及k≠1．【解析】此题旨在测试对分式方程求解过程的理解及操作，能否熟练运用分式方程的解题步骤是顺利得分的核心．三．综合解答题（总计5道小题）21．（2025海城市三模）哈尔滨西站与葫芦岛北站之间的铁路距离大约为660km，乘坐G字头列车A或T字头列车B均能抵达哈尔滨西．已知A号车的平均运行速度是B号车的2倍，且其运行时间比B号车短3h（不考虑在中间车站的停靠时间），依据上述条件，计算A号列车的平均速度．【知识点】分式方程的实际应用．菁优网版权所有【板块】分式方程及其实际应用；计算水平．【结果为】A车辆的平均速度是220km/h．【解析】假设B车的平均速度是xkm/h，，那么A车的平均速度就是2xkm/h，。接着根据A车所用的时间比B车短3h，通过建立方程组进行计算即可．【分析】计算：假设B车辆的平均速率是xkm/h，由此可知A该车的平均速度值为2xkm/h，请依据题目要求，写出相应的分式方程：，，660收拾得，6x＝660，计算结果为x＝110，经过验证，，x＝110符合原方程的解，2x＝2×110＝220，也就是说，A车的平均速度是220km/h，该：A车的平均速度是220km/h．【解析】该题旨在测试对分式方程实际应用的掌握程度，解题的核心在于准确地确定等量关系．22．（2025紫金县校级第一次模拟考试）一家快递企业为应对防疫要求，旨在优化作业效能，打算采购A、B两款不同型号的机器人用于货运，已知每台A型机器人的日搬运量比每台B型机器人少10吨，同时A型机器人日搬运540吨货物所需的设备数量，与B型机器人日搬运600吨货物所需的设备数量一致．请计算出A型与B型机器人各自在每日搬运货物中的吨数？（1）（2）一台A款机器人单价为1.2万元，，一台B款机器人单价为2万元。，该企业打算购买这A、B类机器人合计30台，，且要求每日搬运量至少达到2830吨，，总采购预算在48万元以内。．假设采购A款机器人m台，，则总花费为w万元。，请推导w关于m的函数表达式，，并计算出最低的采购成本．。【知识点】分式方程实际应用；一元一次不等式组实际应用；一次函数实际应用．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；一元一次不等式（组）与实际问题；一次函数及其相关应用；计算水平；应用能力．【正确选项】请参阅试题解析部分【解析】（1）假设单台A款机器人每日运载量为x吨，，而单台B款机器人的每日运载量则是（x+10）吨，。由于A款机器人运送540吨货物与B款机器人运送600吨货物所需要的机器数量一致．，由此可建立分式方程，，通过求解该方程即可得出结果；（2）首先依据题目条件确定w和m之间的函数表达式，，随后结合已知条件构建一个一元一次不等式组，，通过求解该不等式组来确定m的数值范围，，最后利用一次函数的相关特性，推导出最终结果．【分析】计算：（1）假设每台A款机器人每日运输的货物量为x吨，那么每台B款机器人每日运输的货物量则是（x+10）吨，根据题目条件可知：，540计算结果为：x＝90；通过验证可知，：x＝90满足原方程，，且与题目要求相符，解：单台A款机器人日搬运量为90吨，单台B款机器人的日搬运量则是100吨；（2）解：假设采购A款机器人m部，，那么采购的B款机器人数量则为（30m）部，w＝1.2m+2（30m）＝0.8m+60，根据题目条件可知：，90m+100(30-m)≥2830计算结果为：15≤m≤17，0.8＜0，w随着m的增加而逐渐降低，若m＝17，则，w的最小值为＝0.8×17+60＝46.4，也就是说w和m之间的函数关系可表示为w＝0.8m+60（15≤m≤17），，其最低采购额度为46.4万元．【解析】此题旨在测试对分式方程实际应用的掌握、以及一元一次不等式组和一次函数在实际问题中的运用，突破口在于：（1）精准确定等量关系，准确构建分式方程；（2）理清数量联系，从而正确建立一元一次不等式组及一次函数解析式．23．（2025济阳区一模）由于新能源汽车具备动力强劲、且能耗较低的优势，正日益受到大众的青睐．某家汽车4S销售店计划引入甲、乙两种型号的新能源汽车，已知甲型车的单价是乙型车单价的1.2倍，如果投入2400万元购买甲型车，其数量比投入1800万元购买乙型车的数量多20辆．（1）请计算出甲型与乙型汽车单辆的进货价格分别是多少万元？（2）这家汽车4S门店计划采购甲、乙两种型号的汽车，总数共计100辆，其中甲型车的采购数量需至少是乙型车的1.5倍，请问在购入多少辆乙型车的情况下，能让总投资金额达到最低？此时最低的投资总额为多少万元？【测评要点】分式方程实际应用；一元一次不等式实际应用；一次函数实际应用．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；一元一次不等式（组）与实际应用；一次函数及其相关应用；计算能力；应用意识．【结果】（1）甲款汽车的单台进货价是12万元，乙款汽车的单台进货价为10万元；为了让总投资额达到最低，应购买乙型汽车40辆，，此时最低的投资总额为1120万元．【解析】（1）假设乙型车的进货价格为每台x万元，，那么甲型车的进货价格即为每台1.2x万元，。依据投入2400万元购买甲型车的数量比投入1800万元购买乙型车的数量多出20辆，，从而建立分式方程，，通过求解该方程即可得出结果；（2）假设购买甲类汽车m辆，，那么购买乙类汽车的数量为（100m）辆，。由于甲类汽车的采购量至少是乙类汽车的1.5倍，，由此建立一元一次不等式，，计算得出m≥60，。接着，设定总投资金额为w元，，依据题目条件，可以写出w与m之间的一次函数表达式，，最后利用一次函数的特性即可得出结论．【分析】计算：（1）假设乙型车的进货价格是x万元，那么甲型车的进货价格即为1.2x万元，根据题目的要求可得：20，2400计算结果为：x＝10，通过验证可知，，x＝10满足原方程且，与题目要求相符，1.2x＝12，解：甲类汽车的单价进货成本为12万元，乙类汽车的单价进货成本为10万元；假设购买的甲类汽车数量为m辆，，那么购买的乙类汽车数量即为（100m）辆，根据题意可得：m≥1.5（100m），计算结果为：m≥60，假设总投资金额为w元，根据题意可得：w＝12m+10（100m）＝2m+1000，2＞0，w随着m的增加而相应增加，若m＝60，则，w的最小值为＝2×60+1000＝1120，当前，100m＝40，当购买乙类汽车40辆，时，能够实现总投资额最低，，此时的最低投资总额为1120万元．【解析】该题目旨在测试对分式方程实际应用的掌握、以及一元一次不等式与一次函数在实际问题中的运用，突破本题的核心在于：（1）准确把握等量关系，从而正确构建分式方程；（2）理清数量逻辑，进而正确写出对应的一元一次不等式及一次函数表达式．24．（2025兴庆区校级第四次模拟考试）由于无人机技术的持续发展，当地建立了一套无人机医疗药品紧急配送线路，无人机由物流中心起飞，以恒定速度飞向一家医院，航程共计16千米．如果改用常规车辆匀速运输，路程为30千米，其车速仅为无人机速度的1.5倍，导致运输耗时比无人机配送增加了6分钟．请计算出无人机与常规车辆在配送时的速度分别为多少千米/时；（1）（2）假设一架无人机自物流中心起飞向医院运送急救药，在飞行，10分钟后收到院方通知，要求药品必须在8分钟内（（包含8分钟））送抵，。请问该无人机的速度最少需提升至多少千米/时，方可达成此次配送目标．【测评点】分式方程实际应用；一元一次不等式实际应用．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；一元一次不等式（组）与实际问题；计算能力；应用能力．【结果】（1）无人机配送的速率为40千米//小时，而常规车辆配送的速率为60千米//小时；为了顺利执行本次配送工作，（2）无人机的飞行速度必须达到至少70千米/每小时，才行．【探讨】（1）假设无人机的配送速率为x千米//时，，而传统车辆的配送速率则为1.5x千米//时，。已知若使用传统车辆进行匀速配送，，其行驶的公路路程是30千米，，且配送耗时比无人机多出6分钟，。据此建立分式方程，，通过求解该方程即可得出结果；。（2）假设无人机需将速度提升至y千米/方可实现本次配送目标，，已知在10分钟后收到医院告知，紧急药品必须在8分钟之内（（包含8分钟））完成交付，请建立一个一元一次不等式，并通过求解该不等式得出结果．【分析】计算：（1）假设无人机配送的速率为x千米//小时，，那么常规车辆的配送速率则为1.5x千米//小时，根据题目条件可知：，30计算结果为：x＝40，通过验证可知，，x＝40满足原方程且与实际情况相符，，故其为该题的解，1.5x＝1.5×40＝60，回答：：无人机配送的速率为40千米//时，，而常规车辆配送的速率则是60千米//时；。（2）若要顺利达成本次配送目标，，无人机的飞行速度需提升至y千米/，根据题目条件可知：40y≥16，×计算结果为：y≥70，为了顺利执行本次配送工作．，：无人机的飞行速度必须达到70千米/或更高，【解析】此题旨在测试对分式方程与一元一次不等式实际应用的掌握程度，突破口在于：（1）精准确定等量关系，准确构建分式方程；（2）分析数量关系，正确建立一元一次不等式．25．（2025兴庆区校级第二次模拟考试）以下是小云在求解分式方程时的部分步骤，请仔细阅读后回答相关问题：解分式方程：2x-1解：2x-13(x+2)2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……第二步2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步………在第二步中，其求解的理论基础为B；A．关于分式的特性；B．等式所具备的性质；C．单项式与多项式相乘的规则．在上述解方程的过程中，，从第三步起出现了失误，，具体原因在于括号外部为负号，，在执行去括号操作时，，未将括号内的第二项符号进行相应更改。（2）（3）请详细列出该分式方程的完整解题步骤．【知识点】分式方程的求解；多项式与单项式的乘法．菁优网版权所有【模块】分式方程及其实际应用；计算能力．【结果】（1）B；（2）三；若括号前为正号，在去掉括号时，括号里的第二项符号保持不变；（3）x．=-【通过】（1）遵循分式方程的求解流程开展运算，便能得出答案；（2）通过执行分式方程的求解流程，便能得出答案．【分析】计算：（1）在第二步中，其推导基础为等式的性质，因此，结果是：B；在（2）上述解方程的过程中，，从第三步起出现了失误，，其原因在于括号前为负号，，在执行去括号操作时，，未将括号内的第二项符号进行相应改变，。因此结果是：三；，由于括号前为正号，，在去掉括号时，，括号里的第二项符号保持不变；（3）此分式方程的正确求解步骤如下：2x-13x+62x-13(x+2)2x1＝3（x1）6（x+2），计算结果为：x，=-验证：在x的情况下是否成立，3（x+2）≠0，=-x为该方程的一个根．=-【解析】此题旨在测试对分式方程的掌握情况，以及单项式与多项式的乘法运算，能否高效且精准地完成计算是获得正确答案的核心．考点卡片1．数学基础知识数学常识这类题目需联系实际场景进行处理，应掌握日常生活中常见的数学常识．例如在面对物体的具体高度时，能够选取恰当的长度单位等．在日常生活中应加强观察，，多加关注周遭的细小知识．2．单项式与多项式的乘法运算（1）关于单项式乘以多项式的计算规则：单项式与多项式的乘法，是指利用该单项式分别与多项式中的各项相乘，最后将计算出的各项积进行求和．（2）在进行单项式与多项式的乘法运算时，需要留意以下几点：单项式与多项式的乘法运算，本质上是将该过程转化为单项式与单项式的乘法；在利用单项式与多项式内的各项分别相乘时，应避免漏乘；且需留意结果符号的判定．3．求解分式方程计算分式方程中，能使等式两端成立且分母不为0的未知数数值，，该数值即为该方程的解．。请留意：，在求解方程时，由于将分式方程转化为整式方程的操作，导致未知数的取值范围有所扩大，，因此可能会出现增根，。所谓增根，是指那些使分母为0的数值，，它们并不属于原分式方程的解．。4．求分式方程的解（1）分式方程的求解流程：消除分母；计算出整式方程的根；进行核验；确定最终结果．在求解分式方程的过程中，，通过去分母得到的整式方程的根，可能会导致原方程的分母等于0，，因此需要进行如下验证：把整式方程所得的解代入到最简公分母，中，若最简公分母的结果不等于0，，那么该整式方程的解即为原分式方程的解．把整式方程所得的解代入到最简公分母，中，若计算出的最简公分母结果为0，，那么该整式方程的解并非原