2027届新高考数学一轮热点复习 函数的概念及其表示

2027届新高考数学一轮热点复习函数的概念及其表示知识清单1.函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)在函数的定义域中，对于非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．实数集任意唯一确定2．函数的三要素(1)函数的三要素：________、________和________.(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．3．函数的表示法表示函数的常用方法有________、列表法、图象法．定义域对应关系值域定义域对应关系解析法4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数叫做分段函数．(2)分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．【常用结论】直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(

)(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．(

)(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(

)(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(

)××××

答案：B

答案：[－3，1]

命题点一函数的概念例1(1)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是(

)答案：D

解析：根据函数的定义，在自变量x的取值范围内，任意的x取值，有且只有一个y值与之对应，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点，对于ABC三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；对于D，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数．故选D.(2)(2026·黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C.学霸笔记：(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．

答案：B

答案：A

答案：D

学霸笔记：(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成，则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集．(2)抽象函数定义域．①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不定式a≤g(x)≤b求出；②若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

答案：B

(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．答案：[1，7)解析：由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)．

(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．

答案：C

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．

(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．答案：x＋1解析：对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1

①，所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1

②，由①②解得f(x)＝x＋1.

答案：B

解析：依题意，f(5)＝f(5－2)＝f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝1＋3×1＝4.故选B.

答案：C解析：由f(27)＝log327＝3＝3f(a)得f(a)＝1，当a>0时，由log3a＝1，解得a＝3；当a<0时，由a3＝1，解得a＝1(舍)．综上a＝3.故选C.学霸笔记：(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出最后的函数值为止．(2)已知函数值求自变量的值时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围．

答案：－3

答案：2或－1

答案：D

2．如图是某高一学生晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是(

)答案：D解析：观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求．故选D.

答案：A

答案：D

答案：B

答案：B

7．已知函数f(x)＝x(x2－2)＋1，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(

)A．－3

B．－1C．0

D．3答案：D解析：由题意知f(a)＝a(a2－2)＋1＝－1，所以a(a2－2)＝－2，所以f(－a)＝－a(a2－2)＋1＝2＋1＝3.故选D.

答案：B

9．(2026·长治模拟)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，则下列曲线能表示从集合P到集合Q的函数关系的有(

)答案：BD解析：对于AC，集合P中有的数(如：x＝2)在集合Q中对应两个值，不唯一，所以不符合函数定义，故AC错误；对于BD，集合P和集合Q均为数集，且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义，故BD正确．故选BD.

答案：ABD

答案：8解析：f(－1)＝－(－1)2＝－1，所以f(a)＝3，因为x≤0时，f(x)＝－x2≤0，所以a>0，f(a)＝log2a＝3，解得a＝8.

14．(15分)已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；答案：在同一直角坐标系中函数f(x)，g(x)的图象如下．(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．

答案：C解析：由题意可知，关于x的方程(a