八年级数学（上）“尺规作图”单元整体教学设计

八年级数学（上）“尺规作图”单元整体教学设计

  一、单元教学理念与背景分析

  本单元教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，针对初中八年级学生的认知发展特点，将“尺规作图”从单一的技能训练提升为贯穿几何逻辑构建、空间观念发展、理性精神孕育的核心载体。尺规作图不仅是古希腊几何学精神的物质化体现，更是连接直观感知与演绎推理的桥梁。在八年级上学期的学习进程中，学生已经积累了三角形、全等三角形、轴对称等基本几何知识，正处于从实验几何向论证几何过渡的关键期。本单元的教学，旨在通过对尺规作图这一古老而纯粹数学工具的深度学习，引导学生亲历“提出猜想—设计作图方案—验证逻辑自洽”的完整数学实践过程，深刻理解几何对象的内在属性和构造逻辑，从而为后续学习等腰三角形、勾股定理乃至更复杂的平面几何奠定坚实的思维基础。本设计强调整体性、结构性与生成性，将零散的作图任务整合为富有逻辑关联的问题链与项目群，促使学生在“做数学”的过程中，实现数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的协同发展。

  二、单元教学目标

  （一）核心素养目标

  1.几何直观与空间观念：能够通过尺规作图的操作，直观感知点、线、圆等基本几何元素的关系，在头脑中构建并操作几何图形，理解尺规作图对几何关系的精确刻画。

  2.逻辑推理能力：能够将作图步骤（作法）翻译为严谨的几何语言表述，并依据已知公理、定理（如全等三角形的判定、等腰三角形的性质、垂直平分线与角平分线的性质）对作图方法的正确性进行证明，实现从“操作可行”到“逻辑必然”的跨越。

  3.数学抽象与模型思想：能从具体作图问题中抽象出“确定一个点/三角形/圆”的几何条件，建立“条件—作法—图形”之间的对应模型，理解尺规作图的本质是利用无刻度直尺（确定直线）和圆规（确定距离与圆）对几何条件的逐步实现。

  4.创新意识与实践能力：鼓励学生在掌握基本作图方法的基础上，面对非标准、综合性问题时，能够灵活分解、迁移、组合基本作图，设计出创造性的解决方案，并在小组协作中完善方案。

  （二）知识与技能目标

  1.熟练掌握五种基本尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）作已知线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线（点在线上与点在线外）。

  2.理解并掌握利用基本作图完成三角形奠基法的核心思想，能够根据给定条件（如SSS、SAS、ASA、AAS、HL）作出相应的三角形，并理解其唯一性或存在性的几何原理。

  3.能够综合运用基本作图方法，解决具有一定复杂度的作图问题，如：作满足特定条件的点、三角形、多边形，以及解决简单的几何极值问题（如“将军饮马”模型的基础作图部分）。

  4.能规范、清晰、准确地书写作图题的“已知”、“求作”、“作法”和“证明”四个部分，养成严谨的数学表达习惯。

  （三）过程与方法目标

  1.经历“观察模仿—独立操作—合作探究—方案设计—说理论证”的完整学习过程。

  2.掌握分析复杂作图问题的“逆向分析法”：从目标图形出发，倒推其成立的充要条件，直至归结为若干个基本作图问题的组合。

  3.体验数学史的脉络，了解尺规作图在古希腊几何学中的地位，以及“三大几何难题”背后蕴含的数学思想，感受数学文化的魅力与理性探索的精神。

  三、单元教学重点与难点

  教学重点：

  1.五种基本尺规作图的原理与规范性操作。这是整个单元的基石，必须确保每一位学生都能在理解的基础上熟练掌握。

  2.三角形奠基法的原理与应用。这是将尺规作图从孤立的技能转向解决几何构造问题的关键枢纽。

  3.作图方案的设计思路与逻辑证明。这是培养学生几何思维能力和严谨逻辑表达能力的核心环节。

  教学难点：

  1.从“会操作”到“明原理”的思维跨越。学生容易记住步骤，但难以说清每一步作图的几何依据（如为何以某点为圆心，某长度为半径）。

  2.复杂作图问题的逆向分析与条件分解。学生面对综合题时，常感到无从下手，难以将目标“翻译”成一系列可执行的基本作图指令。

  3.作图语言的精准表述与逻辑证明的规范书写。将手上的操作转化为严谨的数学语言，对学生的抽象概括能力提出较高要求。

  4.对“确定性”思想的理解。即为何某些条件（如SSS）能唯一确定一个三角形，而某些条件（如AAA）则不能，以及这在作图方案设计中的指导意义。

  四、教学实施过程（核心环节详案）

  本单元计划用5个课时完成，采用“总—分—总”的结构，即先整体感知与工具认知，再分项突破基本作图与三角形奠基，最后进行综合应用与思维拓展。

  第一课时：工具理性与基本作图（一）——从“经验”到“公理”的起点

  课时目标：理解尺规作图的定义、规则及其几何本源；掌握并理解“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”的原理与作法；初步体验几何语言的表述。

  教学过程：

  （一）情境导入与历史回眸

    师：请同学们暂时收起你的量角器和刻度尺。想象你手中只有两件工具：一把没有刻度的直尺，一个可以张开闭合的圆规。你能用它们做什么？古希腊的数学家，从欧几里得到阿基米德，正是用这样简陋的工具，构筑起了宏伟的几何学大厦。今天，我们就来体验这种最纯粹、最理性的数学创造方式——尺规作图。为何强调“无刻度”？因为刻度是经验的、近似的，而尺规作图追求的是绝对的、逻辑的精确。直尺的功能被限定为“连接两点成直线”或“延长线段”，圆规的功能是“以定点为心，定长为半径作圆”。所有复杂的图形，都源于这些最基本的操作。

  （二）探究活动一：再现“等线段”

    1.任务驱动：已知线段A

B

AB

AB，求作一条线段，使其长度等于A

B

AB

AB。不许用尺子量！

    2.学生尝试与暴露观念：学生可能尝试用圆规“卡住”线段两端，再移动作图。教师追问：“你如何保证在移动过程中，圆规两脚张开的距离没有变化？”引导学生认识到，需要用一个“固定的半径”来“搬运”长度。

    3.原理剖析与规范作法：

      （1）原理：圆规的本质功能是“半径”。作圆的过程，即是保证圆上任意一点到圆心的距离（半径）相等。

      （2）作法示范与语言规范：

        已知：线段A

B

AB

AB。

        求作：线段A

’

B

’

A’B’

A’B’，使A

’

B

’

=

A

B

A’B’=AB

A’B’=AB。

        作法：

        ①作射线A

’

C

A’C

A’C；

        ②以点A

’

A’

A’为圆心，以A

B

AB

AB的长为半径画弧，交射线A

’

C

A’C

A’C于点B

’

B’

B’。

        ③线段A

’

B

’

A’B’

A’B’就是所求作的线段。

      （3）关键提问：“为何步骤②中强调以‘A

B

AB

AB的长’为半径？这个长度信息如何从已知的A

B

AB

AB传递给圆规？”引导学生理解，第一步是用圆规直接截取A

B

AB

AB的长度作为半径储备。

    4.操作实践与辨析：学生独立完成作图，同桌互相检查：起点是否明确？圆弧是否交于射线？教师巡视，纠正“用直尺偷偷量”或“用圆规粗略比划”等错误。

  （三）探究活动二：构造“等角”

    1.问题升级：已知∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB，求作一个角，使其等于∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB。这比线段复杂在哪里？（需要确定两条射线，而不仅是两个端点）。

    2.小组合作探究：学生分组讨论。可能的思路：能否把角“装”在一个三角形里，然后这个三角形？如何用尺规“抓住”这个角的大小？

    3.思路引导与原理揭示：

      师：角的本质是什么？是从一点出发的两条射线构成的图形。要“”角，实质是要确定新角的顶点和两条边的方向。我们可以利用“SSS”全等判定来锁定一个三角形，从而锁定夹角。请看∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB，我们在两边上任意取相同长度的点C

、

D

C、D

C、D，连接C

D

CD

CD，那么△

C

O

D

\triangleCOD

△COD的形状和大小就固定了。△

C

O

D

\triangleCOD

△COD，其夹角∠

C

’

O

’

D

’

\angleC’O’D’

∠C’O’D’自然等于∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB。

    4.规范作法与逻辑梳理：

      作法：

        ①以点O

O

O为圆心，任意长为半径画弧，交O

A

OA

OA于点C

C

C，交O

B

OB

OB于点D

D

D。

        ②作射线O

’

A

’

O’A’

O’A’。

        ③以点O

’

O’

O’为圆心，以O

C

OC

OC长为半径画弧，交O

’

A

’

O’A’

O’A’于点C

’

C’

C’。

        ④以点C

’

C’

C’为圆心，以C

D

CD

CD长为半径画弧，交前弧于点D

’

D’

D’。

        ⑤过点D

’

D’

D’作射线O

’

B

’

O’B’

O’B’。

        ∠

A

’

O

’

B

’

\angleA’O’B’

∠A’O’B’就是所求作的角。

      证明：连接C

’

D

’

C’D’

C’D’。由作法知，O

C

=

O

’

C

’，

O

D

=

O

’

D

’，

C

D

=

C

’

D

’

OC=O’C’，OD=O’D’，CD=C’D’

OC=O’C’，OD=O’D’，CD=C’D’。∴△

C

O

D

≅

△

C

’

O

’

D

’

\triangleCOD\cong\triangleC’O’D’

△COD≅△C’O’D’（SSS）。∴∠

A

O

B

=

∠

A

’

O

’

B

’

\angleAOB=\angleA’O’B’

∠AOB=∠A’O’B’。

    5.深度思考：“作法中半径‘任意长’是否真的任意？如果取不同长度，作出的角还相等吗？”（引导学生通过全等证明理解其不变性）“步骤④为何要以C

D

CD

CD为半径？这保证了哪条边相等？”

  （四）课时小结与作业

    小结：今天，我们回归几何的本源。尺规作图不是手工课，它是几何公理化思想的操练。我们学会了两种基本作图，关键要理解每一步背后的几何原理——圆规定“距”，直尺定“线”，全等定“形”。课后请完成基础作图练习，并尝试思考：已知三边，如何作三角形？

  第二课时：基本作图（二）与三角形奠基法——从“元素”到“图形”的构建

  课时目标：掌握作角平分线、线段的垂直平分线、过点作垂线的基本方法；理解三角形奠基法的思想，能根据SSS、SAS条件作出三角形。

  教学过程：

  （一）复习迁移，导入新课

    师：上节课我们学会了“搬运”线段和角。现在，如果给你一个角，如何将它“平分”？给你一条线段，如何找到它的“中点”并竖立“垂线”？这些特殊的线和点，在几何中有着至关重要的性质。

  （二）探究活动三：平分一个角

    1.动手尝试：提供∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB，让学生尝试用尺规找出其平分线。观察学生的原始思路。

    2.原理探究：角平分线是到角两边距离相等的点的轨迹。如何在边上获取“相等的距离”？引导学生自然想到在上节课“作等角”的步骤中，已经在两边上取了到顶点等距的点C

C

C和D

D

D。那么，到C

C

C和D

D

D距离相等的点，是否就在角平分线上？

    3.规范作法与证明：

      作法：（略，同常规）。

      证明关键：连接C

P

、

D

P

CP、DP

CP、DP，证明△

O

P

C

≅

△

O

P

D

\triangleOPC\cong\triangleOPD

△OPC≅△OPD（SSS），从而∠

A

O

P

=

∠

B

O

P

\angleAOP=\angleBOP

∠AOP=∠BOP。

    4.思维延伸：“为何在角内部作交点P

P

P？如果弧的半径太小，没有交点怎么办？”（强调半径需大于O

O

O到C

D

CD

CD中点的距离，体现作图的确定性条件）。

  （三）探究活动四：垂直平分一条线段

    1.类比引导：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的轨迹。这与角平分线的思想（到两边距离相等）有何异同？（一是距离，一是点到点的距离）。

    2.自主探究作法：学生根据“轨迹”思想，尝试独立写出作法。关键：如何同时满足到A

、

B

A、B

A、B两点距离相等？（以A

、

B

A、B

A、B为圆心，相同半径画弧，得两交点）。

    3.辨析与优化：半径取多少合适？必须大于A

B

AB

AB的一半，才能保证两弧相交。为何取两交点？两点确定一条直线。

    4.拓展应用：过直线l

l

l上一点C

C

C作垂线。这可以看作作“以C

C

C为中点的某条线段的垂直平分线”吗？引导学生发现，可以在l

l

l上点C

C

C两侧取等长线段C

A

、

C

B

CA、CB

CA、CB，则A

B

AB

AB的垂直平分线必过点C

C

C且垂直于l

l

l。同理，探索过直线外一点作垂线的方法（实质是作以该点为顶点、底边在直线上的等腰三角形的高）。

  （四）探究活动五：三角形奠基法——SSS与SAS

    1.问题提出：已知三角形三边长为a

,

b

,

c

a,b,c

a,b,c，如何作出这个三角形？已知两边及其夹角呢？

    2.SSS条件作图：

      （1）学生尝试：最先画哪条边？引导学生理解，先作一条边等于a

a

a，就固定了两个顶点，第三个顶点需要同时满足到这两个定点的距离分别为b

b

b和c

c

c。这正好是两弧相交确定点的问题。

      （2）作法形成与确定性讨论：先作B

C

=

a

BC=a

BC=a，再分别以B

、

C

B、C

B、C为圆心，c

、

b

c、b

c、b为半径画弧，两弧交点即为A

A

A。讨论：为何要求三边满足三角形三边关系？若不满足，两弧无交点，则三角形不存在。这直观体现了数学条件的约束性。

    3.SAS条件作图迁移：引导学生类比，先作出夹角及其两条边，第三个顶点由一边的端点和另一边长确定。

    4.思想提炼——三角形奠基法：许多复杂图形可以看作是在一个基本三角形上“生长”出来的。先作出这个关键的、由已知条件能唯一确定的三角形，再逐步添加其他部分。这个起始三角形就像建筑的“奠基”。

  （五）课时小结与作业

    小结：今天我们掌握了三种新的基本作图，并学会了用三角形奠基法构造三角形。核心思想是“轨迹相交法”和“确定性思想”。课后练习包括基本作图和应用三角形奠基法解决简单的构造题。

  第三课时：三角形奠基法的深化与几何证明的融合

  课时目标：能根据ASA、AAS条件作出三角形；能将尺规作图的作法过程转化为严谨的几何证明；理解“作法”与“证明”的对应关系。

  教学过程：

  （一）复习奠基，提出问题

    师：我们已能用SSS、SAS作三角形。如果已知两角及夹边（ASA），或两角及其中一角的对边（AAS），如何作图？其确定性原理是什么？

  （二）探究活动六：ASA与AAS条件作图

    1.ASA条件作图：

      小组讨论：已知∠

α

，

∠

β

\angle\alpha，\angle\beta

∠α，∠β和线段c

c

c，求作△

A

B

C

\triangleABC

△ABC，使∠

A

=

α

，

∠

B

=

β

，

A

B

=

c

\angleA=\alpha，\angleB=\beta，AB=c

∠A=α，∠B=β，AB=c。

      思路引导：夹边c

c

c是两个角的公共边，自然应先作出A

B

=

c

AB=c

AB=c，然后分别在A

、

B

A、B

A、B两点作角。关键：如何保证作出的另一边能相交？引导学生利用三角形内角和为180

∘

180^\circ

180∘，说明只要两角和非180

∘

180^\circ

180∘，另一边必相交于唯一点C

C

C。

    2.AAS条件作图转化：

      问题：已知∠

α

，

∠

β

\angle\alpha，\angle\beta

∠α，∠β和边a

a

a（∠

β

\angle\beta

∠β的对边），如何作？

      策略：利用三角形内角和，可求出第三个角∠

γ

\angle\gamma

∠γ，从而将AAS转化为ASA条件。这是重要的转化思想。

    3.操作与验证：学生分组，分别完成ASA和AAS的作图任务，并相互验证所作三角形是否满足条件。

  （三）探究活动七：作法叙述与几何证明的互译

    1.范例教学：以“已知底边及底边上的高，求作等腰三角形”为例。

      （1）分析：目标图形可分解为：先作出底边的垂直平分线（可得高线所在直线及底边中点），再根据高长确定顶点。

      （2）规范书写示范：

        已知：线段a

，

h

a，h

a，h。

        求作：等腰△

A

B

C

\triangleABC

△ABC，使底边B

C

=

a

BC=a

BC=a，底边上的高A

D

=

h

AD=h

AD=h。

        作法：

        ①作线段B

C

=

a

BC=a

BC=a。

        ②作线段B

C

BC

BC的垂直平分线M

N

MN

MN，垂足为D

D

D。

        ③在射线D

M

DM

DM上截取D

A

=

h

DA=h

DA=h。

        ④连接A

B

，

A

C

AB，AC

AB，AC。

        △

A

B

C

\triangleABC

△ABC即为所求。

      （3）证明写作：

        证明：由作法②知，A

D

⊥

B

C

AD\perpBC

AD⊥BC且B

D

=

D

C

BD=DC

BD=DC，∴A

D

AD

AD是B

C

BC

BC边上的高，且D

D

D为B

C

BC

BC中点。

        又D

A

=

h

DA=h

DA=h（作法③），B

C

=

a

BC=a

BC=a（作法①）。

        ∵B

D

=

D

C

，

A

D

⊥

B

C

BD=DC，AD\perpBC

BD=DC，AD⊥BC，∴A

B

=

A

C

AB=AC

AB=AC（垂直平分线的性质）。

        ∴△

A

B

C

\triangleABC

△ABC是满足条件的等腰三角形。

    2.核心剖析：带领学生逐句分析“证明”是如何严格对应“作法”的每一步，并引用已学定理（垂直平分线性质）进行推理。强调“作法”是创造，“证明”是验证，两者构成逻辑闭环。

    3.学生练习：给出“已知直角三角形斜边和一条直角边，作直角三角形”的任务，要求学生独立完成分析、作法与证明，重点训练HL条件的作图实现与证明。

  （四）课时小结与作业

    小结：本节课我们完善了三角形作图的所有条件，并实现了从操作步骤到逻辑证明的升华。尺规作图的价值，正体现在这种“动手”与“动脑”的完美结合上。课后作业侧重包含完整“作法”与“证明”的作图题。

  第四课时：综合应用与问题解决——逆向分析与方案设计

  课时目标：能够运用逆向分析法分解复杂作图问题；能综合运用基本作图解决如“作满足条件的点”、“几何极值（路径最短）基础作图”等实际问题。

  教学过程：

  （一）方法导引：逆向分析法

    师：面对“求作一个点P

P

P，使得它满足条件M

M

M”这类问题，我们如何思考？可以采用“逆向分析法”：假设点P

P

P已经作出，它满足条件M

M

M。分析条件M

M

M决定了点P

P

P具有什么几何性质？这个性质往往可以转化为点P

P

P在某个轨迹（如一条直线、一个圆）上。如果条件不止一个，那么点P

P

P就是多个轨迹的交点。最后，将这些轨迹用基本作图实现。

  （二）综合应用示例

    示例1：已知∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB及内部一点C

C

C，求作：一点P

P

P，使P

P

P在边O

A

OA

OA上，且P

C

=

P

D

PC=PD

PC=PD，其中P

D

⊥

O

B

PD\perpOB

PD⊥OB于D

D

D。

      1.逆向分析：假设P

P

P已作出。条件1：P

P

P在O

A

OA

OA上（轨迹1：射线O

A

OA

OA）。条件2：P

C

=

P

D

PC=PD

PC=PD，且P

D

⊥

O

B

PD\perpOB

PD⊥OB。注意到C

C

C是定点，D

D

D是P

P

P到O

B

OB

OB的垂足。条件P

C

=

P

D

PC=PD

PC=PD意味着点P

P

P到定点C

C

C的距离等于到定直线O

B

OB

OB的距离？不完全是，因为P

D

PD

PD是垂直距离。但我们可以转化：点P

P

P在线段C

D

CD

CD的垂直平分线上！（因为P

C

=

P

D

PC=PD

PC=PD）。

      2.正向设计：①在O

A

OA

OA上任取一点P

’

P’

P’，过P

’

P’

P’作O

B

OB

OB的垂线，垂足D

’

D’

D’。这是探索性的。②我们发现，点P

P

P必须满足：它是O

A

OA

OA与“线段C

D

CD

CD的垂直平分线”的交点。但D

D

D依赖于P

P

P，怎么办？③关键转化：由于P

D

⊥

O

B

PD\perpOB

PD⊥OB，∠

P

D

O

=

90

∘

\anglePDO=90^\circ

∠PDO=90∘。点D

D

D在以P

C

PC

PC为直径的圆上吗？思路可能受阻。换个角度：既然P

P

P在C

D

CD

CD的垂直平分线上，那么C

、

D

C、D

C、D关于此线对称。又因为P

D

⊥

O

B

PD\perpOB

PD⊥OB，所以此垂直平分线也应是∠

O

\angleO

∠O的平分线吗？进一步分析，可证点P

P

P实际在∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB的平分线上（利用全等）。由此得简洁作法：作∠

A

O

B

\angleAOB

∠AOB的平分线，与O

A

OA

OA的交点即为P

P

P。此例展示分析中“试错-转化-发现”的过程。

    示例2（将军饮马基础作图）：已知直线l

l

l同侧两点A

、

B

A、B

A、B，在l

l

l上求作一点P

P

P，使P

A

+

P

B

PA+PB

PA+PB最小。

      1.模型建立：利用轴对称化“折”为“直”。作点A

A

A关于直线l

l

l的对称点A

’

A’

A’。

      2.作图实现：如何作对称点A

’

A’

A’？这恰好是过点A

A

A作直线l

l

l的垂线，并延长至A

’

A’

A’使垂足为A

A

’

AA’

AA’中点。这综合运用了“过点作垂线”和“截取等长线段”。

      3.作法与原理：连接A

’

B

A’B

A’B与l

l

l的交点即为所求点P

P

P。原理是“两点之间，线段最短”。此例将尺规作图与重要的几何模型相结合。

  （三）项目式小组活动：设计校园花坛

    任务：为学校设计一个三角形花坛区域。已知提供两组数据可选：A组：两条小路（可视为线段）的夹角及这两条边的长度；B组：一条小路的长度及其两端到另一条预定边界线（可视为直线）的距离。请小组任选一组数据，完成设计图（尺规作图），并撰写简要设计说明，解释作图步骤的可行性（确定性）和设计意图。

  （四）课时小结与作业

    小结：综合应用是思维的体操。逆向分析法是我们打开复杂作图问题的金钥匙。而将几何模型与作图结合，则让数学有了生活的温度。课后完成综合性作图题，并完善小组设计方案。

  第五课时：单元总结、评价与拓展——文化浸润与思维升华

  课时目标：系统梳理单元知识结构；通过单元测评反馈学习效果；了解尺规作图的历史与文化，特别是“三大几何难题”的思想价值，拓展数学视野。

  教学过程：

  （一）知识结构化梳理

    引导学生以思维导图形式共同构建单元知识网络。中心主题：“尺规作图”。一级分支：1.工具与规则；2.五种基本作图（方法、原理）；3.三角形奠基法（SSS,SAS,ASA,AAS）；4.综合应用方法（逆向分析、轨迹交轨）；5.数学思想（公理化、确定性、转化、模型）。

  （二）单元测评与讲评

    进行约20分钟的课堂小测，包含基本操作题、条件作图题和一道简单的综合应用题。随后选取典型答卷，进行生生互评、教师精讲，聚焦普遍性错误，如作法表述不严谨、证明过程与作法脱节、对确定性条件考虑不周等。

  （三）数学文化拓展：不朽的难题与思想的飞跃

    1.故事引入：在古希腊，有三个只用尺规看起来简单却让无数智者折戟的难题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。

    2.思想实验：让学生尝试用尺规将一个角三等分（如60

∘

60^\circ

60∘角）。在实践中感受其困难。讲解为什么这不同于平分一个角。

    3.原理揭示（简述）：并非因为人们不够聪明，而是因为尺规作图所能产生的所有“数”（线段长度），都局限于一个特殊的代数范围（可构造数）。而这些问题对应的代数对象（如π

\pi

π、2

3

\sqrt[3]{2}

32<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​、三次方程的解）超出了这个范围。这直到19世纪，随着代数与群论的发展才被彻底证明