北京版三年级数学上册《被除数为0的除法》教学设计

北京版三年级数学上册《被除数为0的除法》教学设计

  引言：本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于“数的运算”这一关键内容领域。被除数为0的除法，是整数除法概念体系中的一个特殊而重要的节点，它不仅是计算规则的学习，更是学生理解除法意义、完善数学认知结构、初步感悟“无”与“有”的数学哲学思想的契机。三年级学生正处于从具体形象思维向初步逻辑抽象思维过渡的关键期，对“0”的理解已从表示“没有”扩展到表示“起点”、“占位”等多重含义。然而，“0除以任何不是0的数都得0”这一规律，若仅作为结论灌输，学生易于记忆但难以深刻理解其算理，且在后续学习中易与“0不能作除数”以及“任何数除以1等于它本身”等规则混淆。因此，本设计旨在打破传统孤立讲授规则的窠臼，通过创设连贯的、富有思维挑战性的真实或拟真情境，引导学生在观察、操作、猜想、验证、表达、应用的完整探究过程中，自主建构知识，理解数学规定的合理性，同时渗透归纳推理、模型思想的数学思想方法，并尝试与科学、哲学等领域进行浅近的跨学科联结，培育学生的理性精神与探究意识。

  一、学情深度分析

  知识基础层面：学生已熟练掌握了表内乘除法，并初步学习了两位数除以一位数的笔算方法，理解了除法作为“平均分”和“包含除”两种基本模型的意义。对于“0”，学生已明确其表示“一个也没有”的基础含义，并在加减法运算中知晓“任何数加0或减0都得原数”的规则，但在乘法中初步接触了“0乘任何数都得0”。这些前概念是本节课学习的逻辑起点。

  认知心理与思维特点层面：三年级学生思维活跃，好奇心强，乐于参与活动，但注意力持久性有待加强。他们的思维在很大程度上仍需依托具体事物或生动表象的支持。对于数学规则，他们开始不满足于“是什么”，而会追问“为什么”。然而，自主进行严格的逻辑论证能力尚在萌芽阶段，需要教师搭建恰当的“脚手架”，引导其从大量具体实例的共性中归纳概括出一般规律。

  潜在学习困难与误区预判：1.算理理解困难：学生可能难以从“平均分”的本质去理解“0÷a=0”，容易产生“0除以几怎么还是0”的困惑。2.规则混淆：极易将“0÷a=0(a≠0)”与“a÷0无意义”以及“0×a=0”等规则混淆，形成认知冲突点。3.计算应用僵化：在综合算式中，可能机械套用规则，而忽视运算顺序及整体意义。因此，教学必须直面这些困难，将潜在的混淆点转化为对比辨析、深化理解的宝贵资源。

  二、教学目标设计（核心素养导向）

  1.知识与技能：结合具体情境，理解“0除以任何不是0的数都得0”的算理，并能正确、熟练地口算被除数是0的除法计算；明确“0不能作除数”的道理。

  2.过程与方法：经历“情境感知—操作体验—提出猜想—举例验证—归纳结论—应用拓展”的完整数学探究过程，发展观察、概括、推理和表达能力。通过对比辨析，厘清相关易混淆规则，构建清晰的认知网络。

  3.情感态度与价值观：在探究“0的除法”的过程中，感受数学规则的内在一致性与逻辑严谨性，体验发现数学规律的乐趣，克服对“特殊规则”的畏难情绪，培养严谨求实的科学态度和勇于探究的精神。

  4.跨学科素养渗透：初步感悟数学抽象（从具体情境中抽象出数学算式与规律）与科学探究中“提出假设-验证假设”方法的共通性；浅析“无”在数学中的量化表达与哲学中“空”概念的思维联结。

  三、教学重难点剖析

  教学重点：理解“0除以任何不是0的数都得0”的算理，并能正确计算。

  教学难点：1.深刻理解“0除以任何不是0的数都得0”的算理本质。2.理解“0为什么不能作除数”，并能清晰区分“0÷a”与“a÷0”的本质不同。

  四、教学准备

  1.教具与学具：多媒体课件（包含动态分物情境、对比辨析图表等）、实物投影仪、学生每人一套“小圆片”或“计数棒”等操作材料、学习任务单。

  2.环境与心理准备：营造安全、开放、鼓励质疑的课堂氛围，桌椅布置便于小组合作交流。

  五、教学实施过程详案（总计约90分钟，分两课时）

  （一）第一课时：情境探究，建构规律（约40分钟）

  环节一：故事情境导入，激活认知冲突（约8分钟）

  1.故事呈现：课件动态展示“悟空分桃”的连续情境。

  情境A：悟空有6个仙桃，平均分给3位师弟，每人分得几个？（学生列式：6÷3=2，复习除法意义）

  情境B：悟空有3个仙桃，平均分给3位师弟，每人分得几个？（学生列式：3÷3=1）

  情境C：悟空有1个仙桃，平均分给3位师弟，每人分得几个？（学生列式：1÷3=？，引出不是整数的情况，为后续学习埋下伏笔，此处强调平均分的结果可以用分数表示，但今天我们主要研究能整除的情况，重点不在此，稍作停顿即可）

  情境D：悟空今天一个仙桃也没有（课件显示悟空两手空空，面前有0个桃子的图示），他还是要平均分给3位师弟，每人能分到几个仙桃？

  2.提出问题：

  （1）你能用一个数学算式来表示情境D中的问题吗？（预设：0÷3）

  （2）猜一猜，0÷3的结果是多少？说说你的理由。

  3.学生独立思考后，进行同桌交流。教师巡视，倾听各种想法，捕捉典型观点（如：等于0，因为没东西可分；等于3，错误迁移；不知道等）。

  设计意图：通过连贯递进的情境，自然引出核心算式“0÷3”。从“有”到“无”的过渡，制造认知冲突，激发学生的探究欲望。允许学生大胆猜想，暴露原始认知。

  环节二：多元表征验证，深度理解算理（约15分钟）

  1.操作表征：请学生利用手边的小圆片，亲自“分一分”。教师指令：“请你们用手中的小圆片代表仙桃，现在你有0个圆片，请你把它们平均分给3位师弟（可以用3个纸杯代表师弟），请分一分，然后告诉同桌，每个纸杯里得到了几个圆片？”

  学生操作后，全班分享。共识：什么都没有，无论怎么平均分，每份还是什么都没有。

  2.语言表征：引导学生用完整的语言描述分的过程和结果。“把0个物品平均分成3份，每份得到0个物品。”

  3.符号表征：将操作与语言描述对应到算式：0÷3=0。

  4.情境迁移与举例验证：

  （1）教师提问：“如果不是分给3个人，而是平均分给2个人、5个人、10个人呢？算式怎么列？结果是多少？”引导学生说出：0÷2=0，0÷5=0，0÷10=0。

  （2）小组合作探究（学习任务单一）：

  任务：请每个小组再想出至少3个不同的“把0个东西平均分”的生活例子，写出相应的除法算式，并说明结果。

  示例引导：有0块蛋糕，平均分给4个小朋友，每人分得0块。0÷4=0。

  学生可能举例：0本书平均分给6个班；0升水平均倒入2个杯子；0颗糖平均分给8个同学……

  （3）小组汇报，教师将学生写出的算式有序地板书（或课件展示）：0÷2=0，0÷4=0，0÷7=0，0÷15=0……

  设计意图：通过“操作—语言—符号”的多元表征转换，将抽象的数学运算与具体的物理操作和日常语言牢固绑定，使学生对“0÷3=0”的理解建立在坚实的感性基础之上。小组举例验证，扩大了样例范围，为归纳概括提供丰富素材，同时培养了学生的数学建模能力（将生活情境转化为算式）。

  环节三：归纳提出猜想，初步建构规律（约10分钟）

  1.观察发现：引导学生观察黑板上的一串算式。

  提问：“同学们，仔细观察这些算式，你们发现了什么共同点？”

  预设学生回答：被除数都是0；商都是0；除数不一样，但结果都是0。

  2.引导归纳：教师用规范的语言引导学生：“这些算式都是‘0除以一个数，结果等于0’。那么，是不是0除以任何一个数，结果都是0呢？”

  3.提出猜想：鼓励学生用完整的数学语言表达猜想。预设：“我们猜想：0除以任何数，都等于0。”

  教师将猜想板书：【猜想：0÷任何数=0】

  4.引发思辨：教师不急于肯定或否定，而是提问：“对于这个猜想，有没有同学有疑问？或者觉得需要补充说明的地方？”

  预留思考时间。可能有学生联想到之前学过的“除数不能为0”的模糊印象，或提出“如果除数是0呢？”的疑问。若无人提出，教师则故作沉思状，然后抛出关键问题：“等一下，这个‘任何数’，包括0本身吗？也就是说，0÷0也等于0吗？”

  设计意图：引导学生从大量具体例子中观察、发现共性，是归纳推理的关键步骤。鼓励学生自己提出猜想，培养其数学概括能力。在猜想环节故意埋下伏笔（“任何数”是否包括0），制造新的思维碰撞点，为第二课时的难点突破（0不能作除数）做好铺垫，使两课时逻辑紧密衔接。

  环节四：巩固内化，基础应用（约7分钟）

  1.口头快速应答：课件出示口算题：0÷4，0÷9，0÷100，0÷258……学生快速说出答案和简要说理（“因为把0平均分成几份，每份都是0”）。

  2.简单应用（学习任务单二）：

  （1）看图列式计算（图示：一个盘子里有0个苹果，旁边箭头指向3个空盘子）。

  （2）直接写得数：0÷8=，0÷12=，0÷1=（特别关注0÷1，巩固规律）。

  （3）判断：0除以任何数，商都是0。（）（此题留作悬念，下节课解决）

  3.课堂小结（第一课时）：师生共同回顾：“今天我们通过分东西，发现了一个有趣的规律：0除以一个不是0的数，结果都是0。我们把它写成‘0÷a=0（a≠0）’。但是，对于‘a’能不能是0，我们产生了疑问，下节课一起来研究这个更有挑战性的问题。”

  设计意图：基础练习旨在巩固初步建构的规律，形成初步技能。判断题为下一课时的核心难点设疑，使学习形成连贯的悬念链，保持学生的学习期待。

  （二）第二课时：难点突破，综合拓展（约50分钟）

  环节一：复习回顾，聚焦疑难（约5分钟）

  1.快速回顾：上节课我们发现了什么规律？（0除以任何不是0的数，都得0）。如何理解这个规律？（从“平均分”的角度解释）

  2.聚焦问题：上节课结尾我们留下了一个疑问：在“0÷任何数=0”这个猜想中，“任何数”是否包括0？0÷0到底等于多少？今天我们就来攻克这个难题。

  设计意图：温故知新，直接切入上节课设下的认知冲突点，明确本课时的核心任务。

  环节二：思辨探究，理解“0为什么不能作除数”（约20分钟）

  这是本节课的难点，采用层层递进的思辨方式进行。

  1.情境回归，尝试解释：

  回到“悟空分桃”情境：如果悟空有0个仙桃，要平均分给0个师弟？（课件呈现：师弟人数栏显示为0）。提问：“这个情境合理吗？能列出算式吗？”

  引导学生发现情境的不合理性：“平均分给0个人”没有实际意义。算式可以写成0÷0，但这个算式没有确定的答案。

  2.从乘除法的逆运算关系探究：

  （1）复习关系：我们学过，除法是乘法的逆运算。比如，因为3×4=12，所以12÷4=3。要找12÷4的商，就是找一个数，使得它乘4等于12。

  （2）应用逆运算分析0÷0：

  设0÷0=？，根据乘除法关系，就是找一个数“？”，使得？×0=0。

  提问：哪些数乘0等于0？（学生回答：0×0=0，1×0=0，2×0=0，100×0=0……）

  结论：因为任何数乘0都等于0，所以“？”可以是任何数！0÷0的答案有无数个，无法确定一个唯一的结果。

  3.应用逆运算分析“一个非零数除以0”，例如：5÷0=？

  设5÷0=？，根据乘除法关系，就是找一个数“？”，使得？×0=5。

  提问：是否存在一个数，它乘以0会等于5？（学生思考后回答：没有，因为任何数乘0都得0，不可能等于5。）

  结论：找不到这样一个数，所以5÷0没有答案，或者说这个算式“无意义”。

  4.归纳与定义：

  通过以上分析，引导学生自己得出结论：

  （1）0÷0：商不确定（有无数个可能值），没有唯一确定的商。

  （2）a÷0（a≠0）：商不存在（找不到这样的数），没有意义。

  因此，在除法中，除数不能为0。这就是数学中的一条严格规定。

  5.完善规律，对比辨析：

  回头修正第一课时的猜想。

  提问：现在我们完整地来看，关于0的除法，我们学到了哪两条重要的结论？

  引导学生总结并板书：

  【结论一：0除以任何不是0的数，都得0。（0÷a=0，其中a≠0）】

  【结论二：在除法算式中，0不能作除数。（a÷0无意义）】

  对比辨析练习（学习任务单三）：

  （1）判断并说明理由：

  0÷25=0（）

  25÷0=0（）（重点辨析：错误，除数不能为0，算式无意义）

  0÷1=0（）

  1÷0=0（）（重点辨析：错误，除数不能为0，算式无意义）

  0×15=0（）（对比乘法规则：0乘任何数得0）

  （2）填空：在（）÷5=0中，被除数是（）。

  在0÷（）=0中，除数可以是（）（除0外的所有数）。

  在（）÷（）=0中，如果除数是7，被除数是（）；如果被除数是0，除数可以是（）（除0外的所有数）。

  设计意图：这是突破难点的核心环节。避免直接告知“0不能作除数”，而是通过“情境不合理性”的直观感受和“乘除法逆运算关系”的严格逻辑推导，让学生理解这一规定的必然性和合理性。通过正反例的对比辨析，特别是与“0乘任何数得0”的对比，帮助学生厘清易混淆点，构建清晰、稳固的认知结构。

  环节三：综合应用，提升能力（约15分钟）

  设计分层练习，从技能巩固到思维拓展。

  1.基础计算关：

  口算：0÷7=，0÷40=，0÷1000=，60÷2=（穿插非0被除数），0÷（25-25）=（注意运算顺序）。

  笔算中的0：呈现如408÷4，612÷3等商中间或末尾有0的除法竖式（作为前瞻铺垫，指出被除数某一位上是0，且前一位没有余数时，这一位商0，与今天所学算理相通）。

  2.火眼金睛（改错）：

  出示错误计算：4÷0=0，0×9=9，0÷6=6。让学生诊断错误并改正。

  3.解决问题：

  （1）学校组织植树活动，三年级（1）班计划平均每人植树3棵。如果这个班今天有0人参加，总共植了多少棵树？（列式：0×3=0或0÷1=0?引导学生分析数量关系，多种角度思考）

  （2）一个热水瓶容量是2升。如果一个热水瓶里装了0升水，那么这些水平均可以倒满几个容量为0.5升的杯子？（0÷0.5=0，初步接触小数除数，但算理不变）

  4.思维拓展（跨学科联系）：

  提供阅读材料（简要）：“在数学中，‘0’是一个神奇的发明。它表示‘无’。‘0除以任何非零数得0’可以理解为：将‘无’进行分配，每一份仍是‘无’。这与哲学中关于‘空’的思考有某种有趣的呼应。而在科学实验中，有时‘零结果’（观测值为0）也具有非常重要的意义，它可能否定了某个假设。”

  简短讨论：从今天的数学知识里，你对“0”或“无”有了什么新的认识？

  设计意图：综合练习将新知识置于不同的情境和问题形式中，促进知识的迁移和应用。改错题强化辨析能力。解决问题题联系生活，培养应用意识。简短的跨学科阅读与讨论，旨在开阔学生视野，感受数学的文化价值与思维魅力，体现跨学科视野。

  环节四：全课总结，反思提升（约10分钟）

  1.知识网络建构：引导学生以思维导图或知识树的形式，梳理关于“0的运算”目前已学的规则。

  中心：0

  分支：

  加法：a+0=a；0+a=a

  减法：a-0=a；a-a=0；(0-a在小学阶段一般不涉及)

  乘法：0×a=0；a×0=0

  除法：0÷a=0(a≠0)；a÷0无意义(0不能作除数)

  2.学习过程反思：

  提问：“我们是怎样发现并最终确定‘0除以任何不是0的数都得0’这个规律的？”（回顾：情境-操作-举例-猜想-验证-完善）

  “在探究‘0能不能作除数’时，我们用了什么关键方法？”（利用乘除法的逆运算关系进行逻辑推理）

  “这节课，你觉得自己最大的收获是什么？还有哪些疑问？”

  3.课后延伸作业（分层、实践性）：

  必做：

  （1）完成练习册相关基础习题。

  （2）当一回“小老师”，向家人讲解“为什么0除以任何不是0的数都得0”以及“为什么0不能作除数”。

  选做：

  （1）搜集或创编一个包含“0的除法”知识点的数学小故事。

  （2）探究：在计算机程序中，如果试图执行除以0的操作，会发生什么？可以请教家长或查阅资料。

  设计意图：总结环节不仅是知识点的回顾，更是学习方法和认知结构的梳理。引导学生反思探究过程，内化数学思想方法。分层作业尊重个体差