八年级数学上册“十字相乘法”因式分解智汇教案

八年级数学上册“十字相乘法”因式分解智汇教案

一、教学内容与学情深度剖析

（一）教学内容解构与定位

本节课的教学内容为“十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式”，隶属于人教版八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》的知识体系。从代数知识发展的逻辑链来看，它是继整式乘法运算、因式分解的定义、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）之后，一种针对特定形式多项式（即二次三项式）进行因式分解的专项且高效的方法。其数学本质是探讨形如x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q的多项式，如何逆向于整式乘法中的(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

=

x

2

+

(

a

+

b

)

x

+

a

b

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，通过寻找满足a

+

b

=

p

a+b=p

a+b=p，a

b

=

q

ab=q

ab=q的两个整数a

a

a和b

b

b，实现将其分解为(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

(x+a)(x+b)

(x+a)(x+b)的形式。

这一内容在整个中学数学代数板块中扮演着承上启下的关键角色。“承上”在于，它深刻体现了因式分解与整式乘法之间的互逆关系，是对此前因式分解基本概念和方法的巩固与深化；“启下”在于，它是后续学习二次项系数不为1的十字相乘法、解一元二次方程（配方法、公式法的基础理解）、分式的化简与运算、二次函数部分内容分析等重要知识的必备技能和思维基础。熟练掌握十字相乘法，能极大提升学生处理代数式变形的效率与信心，是发展学生代数运算能力、符号意识与推理能力的核心节点。

（二）学科核心素养关联分析

1.数学抽象与符号意识：引导学生从具体的数字系数例子中，抽象出x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q这一普适模型，并运用符号p

,

q

,

a

,

b

p,q,a,b

p,q,a,b表述其分解条件（a

+

b

=

p

,

a

b

=

q

a+b=p,ab=q

a+b=p,ab=q），这是从算术思维迈向代数符号思维的关键一步。

2.逻辑推理：十字相乘法的探究与应用过程，贯穿着严谨的逻辑推理。从根据乘积q

q

q猜想因数对，到验证和是否为p

p

p，再到确认分解形式，每一步都需要合乎逻辑的判断与验证，培养了学生的演绎推理能力。

3.数学运算：本课的核心活动即是高强度的代数式心算与笔算。在寻找满足条件的整数对时，需要快速进行整数的加法与乘法逆运算，这对学生的数感、运算策略及运算准确性提出了明确要求。

4.数学建模：将“分解因式x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q”这一问题，转化为“寻找满足特定条件（和为p

p

p，积为q

q

q）的整数对(

a

,

b

)

(a,b)

(a,b)”的数学模型，是应用数学模型解决代数问题的典型范例。

（三）学情诊断与预设

教学对象为八年级上学期学生，其认知特点与知识储备如下：

已有基础：

1.熟练掌握了整数（包括正整数、负整数）的加法、乘法运算及其逆运算关系。

2.清晰理解因式分解与整式乘法的互逆关系。

3.能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

4.具备初步的观察、猜想、验证的探究习惯和小组合作交流的经验。

潜在困难与误区：

5.思维定式干扰：部分学生可能习惯于公式法的固定模式，对于需要主动“试凑”的十字相乘法存在思维上的不适应或畏难情绪。

6.符号处理困难：当常数项q

q

q为正时，需要判断两因数的同号性及其和的符号；当q

q

q为负时，需要判断两因数的异号性。符号规则的混淆是导致错误的主要原因。

7.搜索策略低效：在寻找满足条件的整数对时，缺乏系统性、有序的尝试策略，容易遗漏或盲目尝试，导致效率低下甚至失败。

8.形式理解僵化：可能机械记忆“十字相乘”的步骤，而未能深刻理解其源于乘法公式(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

(x+a)(x+b)

(x+a)(x+b)的数学原理，在遇到形如x

2

+

p

x

y

+

q

y

2

x^2+pxy+qy^2

x2+pxy+qy2等含有双元或系数不为1的拓展情形时迁移困难。

学习心理：八年级学生好奇心强，乐于接受挑战，对“窍门”或“技巧”类知识感兴趣。十字相乘法因其名称形象、操作具有一定“游戏性”（寻找数字组合），若能设计得当，能有效激发学生的探究欲和成就感。

二、学习目标与重难点

（一）学习目标

基于课程标准、教学内容及学情分析，确立以下多维学习目标：

1.知识与技能：

1.2.理解十字相乘法分解因式的原理，即x

2

+

(

a

+

b

)

x

+

a

b

=

(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)的逆用。

2.3.掌握利用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q的步骤与方法。

3.4.能够准确、熟练地运用十字相乘法对符合条件的多项式进行因式分解。

5.过程与方法：

1.6.经历从具体实例到一般规律的探究过程，体会类比、归纳和模型思想。

2.7.通过尝试、验证、调整，发展有条理、有策略的数学思考能力和探究能力。

3.8.在解决错例分析和变式问题的过程中，提升批判性思维和问题解决能力。

9.情感态度与价值观：

1.10.在探究“数字配对”规律的过程中，感受数学的趣味性和内在和谐之美。

2.11.通过克服寻找合适整数对的挑战，培养不畏困难、严谨求实的科学态度和坚持不懈的钻研精神。

3.12.体会十字相乘法作为数学工具带来的简洁与高效，增强学习数学的自信和应用意识。

（二）教学重难点

1.教学重点：十字相乘法分解因式的原理与基本步骤。重点是整个方法体系的基石，必须通过充分的活动让学生理解“为什么可以这样拆”，而不仅仅是“怎样拆”。

2.教学难点：准确且迅速地寻找满足a

+

b

=

p

a+b=p

a+b=p且a

b

=

q

ab=q

ab=q的整数a

a

a和b

b

b，特别是当p

,

q

p,q

p,q的绝对值较大、符号组合复杂时的策略性搜索。难点源于对学生数感、符号运算熟练度和有序思维策略的综合要求。

三、教学理念与策略

本设计秉承“以学生为主体，以探究为主线”的现代教学理念，致力于构建“智汇课堂”。智，体现在发展学生的数学智慧（思维力）；汇，体现在汇聚学生的经验、思想与创造力。

1.情境启智：创设认知冲突情境，引发学生对新方法的内在需求。

2.探究生智：设计环环相扣的探究活动，让学生在“做数学”中自主建构知识。

3.合作汇智：通过小组讨论、互评纠错，汇聚集体智慧，深化理解。

4.变式拓智：通过多层次、多角度的变式练习，拓展思维广度与深度，促进迁移应用。

5.评价润智：实施嵌入过程的多元化评价，及时反馈，激励反思，润泽思维品质。

主要教学方法包括：问题驱动法、探究发现法、讲练结合法、合作学习法。教学手段上将融合板书板演、多媒体课件演示、实物投影展示学生作品、课堂即时反馈系统等。

四、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（包含问题情境、探究引导、例题、变式练习、课堂小结框架）；实物投影仪；为学生准备的《课堂探究学习单》。

2.《课堂探究学习单》设计：包含“温故引新”“合作探究”“范例剖析”“阶梯训练”“反思驿站”等模块，引导学生记录过程、思考与收获。

3.学生准备：复习因式分解的已有方法及整式乘法公式；必备的文具。

五、教学过程实施

第一环节：关联旧知，设疑激趣——唤醒经验，孕伏新法（预计用时：8分钟）

教师活动一：快速反应，温故奠基

1.出示三组多项式，限时让学生口述分解结果及所用方法：

1.2.第一组（提公因式）：3

x

2

−

6

x

3x^2-6x

3x2−6x;a

x

+

a

y

−

a

z

ax+ay-az

ax+ay−az

2.3.第二组（公式法）：4

m

2

−

9

4m^2-9

4m2−9;x

2

+

6

x

+

9

x^2+6x+9

x2+6x+9

4.通过追问，引导学生清晰复述提公因式法、平方差公式、完全平方公式的适用特征。

1.5.设计意图：激活学生关于因式分解的已有认知图式，明确已有方法的适用范围，为引入新方法做好知识和心理铺垫。

教师活动二：创设冲突，引发需求

1.出示多项式：x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6。提问：“这个多项式能用我们学过的三种方法分解吗？为什么？”

1.2.学生判断：不能提公因式，不符合平方差或完全平方公式的结构特征。

3.再出示：(

x

+

2

)

(

x

+

3

)

(x+2)(x+3)

(x+2)(x+3)，请学生展开。得到：x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6。

4.提出核心问题：“看！x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6竟然可以分解为(

x

+

2

)

(

x

+

3

)

(x+2)(x+3)

(x+2)(x+3)！这既不是提公因式，也不是用公式，那我们是怎样‘变’回去的呢？或者说，面对x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6，我们如何才能想到它等于(

x

+

2

)

(

x

+

3

)

(x+2)(x+3)

(x+2)(x+3)？其中隐藏着什么规律？”

1.5.设计意图：制造认知冲突——一个看似无法用旧法分解的式子，其分解形式却又简单明了。从而强烈激发学生的好奇心和探究欲，明确本节课要解决的核心问题：“如何寻找这样的两个一次因式？”

第二环节：模型探究，原理溯源——从猜想到验证，从特殊到一般（预计用时：15分钟）

教师活动一：实例引导，初步感知

1.回到例子x

2

+

5

x

+

6

=

(

x

+

2

)

(

x

+

3

)

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

x2+5x+6=(x+2)(x+3)。引导学生观察等式两边，聚焦数字关系。

1.2.提问：“请大家仔细观察，右边两个常数项2和3，与左边的一次项系数5、常数项6之间有怎样的数量关系？”

2.3.给学生片刻思考后，引导得出：2

+

3

=

5

2+3=5

2+3=5，2

×

3

=

6

2\times3=6

2×3=6。

4.提出猜想：“这会不会是一种普遍规律呢？如果x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q可以分解成(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

(x+a)(x+b)

(x+a)(x+b)，那么a

,

b

a,b

a,b与p

,

q

p,q

p,q之间应该有什么关系？”

1.5.让学生尝试用整式乘法验证：(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

=

x

2

+

(

a

+

b

)

x

+

a

b

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

2.6.对比x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q，学生自然得出：a

+

b

=

p

a+b=p

a+b=p，a

×

b

=

q

a\timesb=q

a×b=q。

3.7.教师板书核心原理：若x

2

+

p

x

+

q

=

(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

x^2+px+q=(x+a)(x+b)

x2+px+q=(x+a)(x+b)，则a

+

b

=

p

a+b=p

a+b=p，a

b

=

q

ab=q

ab=q。

4.8.设计意图：从具体实例出发，通过观察、猜想、验证，引导学生自主发现十字相乘法的数学本质。将“如何分解”的问题转化为“寻找满足特定和积关系的两个整数”的问题，完成了关键的数学建模。

教师活动二：方法命名，操作初探

1.解释“十字相乘法”名称的由来。利用课件动态演示：

1.2.将常数项q

q

q分解成两个因数a

a

a和b

b

b，竖向书写。

2.3.交叉相乘：a

×

x

a\timesx

a×x与b

×

x

b\timesx

b×x，再相加得到(

a

+

b

)

x

(a+b)x

(a+b)x，即一次项p

x

px

px。

3.4.如果交叉相乘的和恰好等于一次项，则分解成功，横向写出(

x

+

a

)

(x+a)

(x+a)和(

x

+

b

)

(x+b)

(x+b)。

4.5.边演示边板书分解x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6的十字交叉过程。

6.让学生模仿，在《学习单》上尝试用“十字交叉”的思路分解x

2

+

7

x

+

12

x^2+7x+12

x2+7x+12。

1.7.请一位学生板演并讲解其寻找4和3的过程（因为4

×

3

=

12

4\times3=12

4×3=12，4

+

3

=

7

4+3=7

4+3=7）。

2.8.设计意图：借助形象化的“十字交叉”图示，将抽象的代数关系可视化，帮助学生记忆和理解操作步骤。通过即时模仿，巩固初步体验。

第三环节：策略深化，精准辨析——聚焦符号与搜索策略（预计用时：20分钟）

这是突破教学难点的核心环节。

教师活动一：分类探究，破解符号关

1.探究活动一：常数项为正数

1.2.出示：x

2

+

8

x

+

15

x^2+8x+15

x2+8x+15；x

2

−

8

x

+

15

x^2-8x+15

x2−8x+15。让学生分组探究。

2.3.引导学生发现：当常数项q

>

0

q>0

q>0时，分解成的两个因数a

,

b

a,b

a,b同号。

1.3.4.若一次项系数p

>

0

p>0

p>0，则a

,

b

a,b

a,b同为正（“同正”）。

2.4.5.若一次项系数p

<

0

p<0

p<0，则a

,

b

a,b

a,b同为负（“同负”）。

5.6.学生练习：x

2

+

10

x

+

21

x^2+10x+21

x2+10x+21;x

2

−

13

x

+

36

x^2-13x+36

x2−13x+36。

7.探究活动二：常数项为负数

1.8.出示：x

2

+

2

x

−

15

x^2+2x-15

x2+2x−15；x

2

−

2

x

−

15

x^2-2x-15

x2−2x−15。再次分组探究。

2.9.引导学生发现：当常数项q

<

0

q<0

q<0时，分解成的两个因数a

,

b

a,b

a,b异号。

1.3.10.此时，绝对值较大的因数符号与一次项系数p

p

p的符号相同。

4.11.学生练习：x

2

+

x

−

12

x^2+x-12

x2+x−12;x

2

−

4

x

−

21

x^2-4x-21

x2−4x−21。

12.教师总结符号口诀：“常数项，定两数符号；一次项，定谁大谁小。”并板书符号规律。

1.13.设计意图：通过对比分类探究，让学生亲身体验符号变化对因数选择的影响，自主归纳出符号规律。这是避免符号错误的关键，必须通过充分的例子让学生内化。

教师活动二：发展系统搜索策略

1.抛出挑战性问题：x

2

−

9

x

+

14

x^2-9x+14

x2−9x+14。提问：“如何能又快又准地找到正确的两个数？”

2.组织学生讨论“寻找窍门”。师生共同梳理策略：

1.3.策略一（定积寻和）：先列出常数项的所有整数因数对（考虑符号规律），再检验哪一对的和等于一次项系数。

2.4.策略二（定和寻积）：思考哪两个整数（符合符号规律）相加得一次项系数，再检验它们的积是否等于常数项。此法有时更快捷。

3.5.策略三（有序思维）：强调按绝对值大小顺序尝试，避免混乱和遗漏。例如对于x

2

−

9

x

+

14

x^2-9x+14

x2−9x+14，因常数项为正、一次项为负，故找两个负因数。从(-1,-14)开始尝试其和为-15不符，再试(-2,-7)和为-9符合。

6.进行“快速配对”小竞赛：出示一组多项式，如x

2

±

7

x

±

12

x^2\pm7x\pm12

x2±7x±12，x

2

±

8

x

±

15

x^2\pm8x\pm15

x2±8x±15等，看谁最先写出正确的a

,

b

a,b

a,b。

1.7.设计意图：将难点“如何找数”显性化、策略化。通过讨论和竞赛，引导学生超越盲目试错，形成有序、高效的数学思维策略，提升运算素养。

第四环节：范例精讲，规范落实——从理解到熟练应用（预计用时：12分钟）

教师活动一：典例剖析，步骤强化

1.出示例1：分解因式x

2

−

3

x

−

28

x^2-3x-28

x2−3x−28。

1.2.教师边讲解边完整板书：

1.2.3.第一步：观察分析。二次项系数为1，常数项-28<0，故分解的两数异号。一次项系数-3<0，故负数的绝对值较大。

2.3.4.第二步：寻找数对。列出-28的因数对（考虑异号）：(1,-28)，(-1,28)，(2,-14)，(-2,14)，(4,-7)，(-4,7)。计算和：1+(-28)=-27，(-1)+28=27，2+(-14)=-12，(-2)+14=12，4+(-7)=-3（符合！），(-4)+7=3。

3.4.5.第三步：十字检验（可心算或在草稿上画十字）。

4.5.6.第四步：写出结果：x

2

−

3

x

−

28

=

(

x

+

4

)

(

x

−

7

)

x^2-3x-28=(x+4)(x-7)

x2−3x−28=(x+4)(x−7)。

6.7.强调书写规范：等号对齐，因式乘积形式。

8.出示例2：分解因式x

2

+

4

x

y

−

21

y

2

x^2+4xy-21y^2

x2+4xy−21y2。

1.9.提问：“这个多项式和我们之前处理的有什么不同？”（含有字母y

y

y）

2.10.引导学生将其视为关于x

x

x的二次三项式，把y

y

y看作系数的一部分。即：x

2

+

(

4

y

)

x

+

(

−

21

y

2

)

x^2+(4y)x+(-21y^2)

x2+(4y)x+(−21y2)。此时p

=

4

y

p=4y

p=4y，q

=

−

21

y

2

q=-21y^2

q=−21y2。

3.11.寻找两个“数”，它们的积是−

21

y

2

-21y^2

−21y2，和是4

y

4y

4y。易得：7

y

7y

7y和−

3

y

-3y

−3y。

4.12.板书分解结果：(

x

+

7

y

)

(

x

−

3

y

)

(x+7y)(x-3y)

(x+7y)(x−3y)。

5.13.设计意图：例1展示完整的、规范的解题思维过程和书写格式。例2引入双元情形，旨在打破学生对模型的僵化理解，展示十字相乘法的本质是处理“二次三项式”这一结构，系数可以是数字也可以是字母代数式，实现初步的能力迁移。

教师活动二：错例诊断，防微杜渐

1.利用实物投影展示预设或收集的典型错误：

1.2.错误1（符号）：x

2

−

5

x

+

6

x^2-5x+6

x2−5x+6分解为(

x

−

2

)

(

x

−

3

)

(x-2)(x-3)

(x−2)(x−3)。（未注意同号同负）

2.3.错误2（漏项）：x

2

+

x

−

6

x^2+x-6

x2+x−6分解为(

x

+

3

)

(

x

−

2

)

(x+3)(x-2)

(x+3)(x−2)后忘记写中间的“+”。

3.4.错误3（搜索不全）：认为x

2

+

5

x

+

6

x^2+5x+6

x2+5x+6只有一种分解可能。

5.组织学生充当“小医生”，诊断错误原因并提出修改意见。

1.6.设计意图：通过对典型错误的辨析，从反面强化正确认知，提高学生的批判性思维能力和解题的警惕性。

第五环节：分层演练，巩固拓展——实现能力迁移与内化（预计用时：15分钟）

在《学习单》上设置“阶梯训练场”：

1.A组：基础巩固（全员过关）

1.2.直接写出满足条件的整数a

,

b

a,b

a,b：

1.2.3.a

+

b

=

9

,

a

b

=

14

a+b=9,ab=14

a+b=9,ab=14->(,)

2.3.4.a

+

b

=

−

10

,

a

b

=

21

a+b=-10,ab=21

a+b=−10,ab=21->(,)

4.5.分解因式：

1.5.6.x

2

+

9

x

+

20

x^2+9x+20

x2+9x+20

2.6.7.x

2

−

12

x

+

32

x^2-12x+32

x2−12x+32

3.7.8.x

2

+

3

x

−

10

x^2+3x-10

x2+3x−10

4.8.9.x

2

−

2

x

−

24

x^2-2x-24

x2−2x−24

10.B组：能力提升（多数达成）

1.11.分解因式：

1.2.12.x

2

+

x

y

−

6

y

2

x^2+xy-6y^2

x2+xy−6y2

2.3.13.a

2

−

5

a

b

+

6

b

2

a^2-5ab+6b^2

a2−5ab+6b2

3.4.14.m

4

−

5

m

2

+

4

m^4-5m^2+4

m4−5m2+4（提示：将m

2

m^2

m2看作整体）

5.15.填空：若x

2

+

k

x

−

15

x^2+kx-15

x2+kx−15能分解为(

x

+

3

)

(

x

−

5

)

(x+3)(x-5)

(x+3)(x−5)，则k

=

k=

k=______。

16.C组：思维拓展（学有余力）

1.17.不解体，判断下列各式能否用十字相乘法分解（在实数范围内）？若能，简述理由；若不能，说明为何。

1.2.18.x

2

+

x

+

1

x^2+x+1

x2+x+1

2.3.19.x

2

−

6

x

+

9

x^2-6x+9

x2−6x+9（联系完全平方公式）

4.20.挑战题：已知多项式x

2

+

a

x

+

b

x^2+ax+b

x2+ax+b可以分解为(

x

−

2

)

(

x

−

c

)

(x-2)(x-c)

(x−2)(x−c)，求a

,

b

,

c

a,b,c

a,b,c的值。

教师巡视指导，重点关注A组有困难的学生，点拨B、C组学生的思路。完成后，利用投影展示不同层次的优秀解答，并请学生讲解C组挑战题的思路（利用恒等式对应系数相等）。

设计意图：分层练习设计尊重学生差异，让每个学生都能获得成功的体验。A组强化基本技能，B组促进迁移应用（双元、换元），C组引导学生思考方法的局限性（与判别式关联，为高中埋下伏笔）和综合应用。挑战题融合了整式乘法与方程思想，提升思维综合性。

第六环节：反思总结，结构升华——构建知识网络（预计用时：5分钟）

教师活动：引导学生自主总结

1.提问：“通过本节课的学习，你对因式分解有了哪些新的认识？”

2.让学生以小组为单位，从“我学到的方法（是什么）”、“方法的原理（为什么）”、“操作的关键（怎么做）”、“需要注意什么”、“它和以前方法的关系”等方面进行总结。

3.请小组代表发言，教师相机补充，并最终用清晰的思维导图板书呈现本课知识结构：

1.4.中心：十字相乘法分解x

2

+

p

x

+

q

x^2+px+q

x2+px+q

2.5.分支1：原理（逆向乘法公式）->条件（a+b=p,ab=q）

3.6.分支2：步骤（分、查、叉、横）

4.7.分支3：关键（符号规律、有序搜索）

5.8.分支4：联系（因式分解方法家族的一员）

6.9.分支5：应用（简化运算、解方程基础等）

10.布置作业：

1.11.必做题：教材对应章节练习题。

2.12.选做题/预习作业：尝试探究二次项系数不为1的多项式，如2

x

2

+

5

x

+

3

2x^2+5x+3

2x2+5x+3，能否用类似“十字相乘”的思想进行因式分解？如何操作？

3.13.设计意图：通过开放式提问和结构化总结，帮助学生将零散的知识点系统化、网络化，实现认知结构的优化。预习作业为下一课时埋下伏笔，保持探究的连续性。

六、板书设计

（左侧主板）

课题：十字相乘法分解因式

核心原理：若x

2

+

p

x

+

q

=

(

x

+

a

)

(

x

+

b

)

x^2+px+q=(x+a)(x+b)

x2+px+q=(x+a)(x+b)，则a

+

b

=

p

a+b=p

a+b=p，a

×

b

=

q

a\timesb=q

a×b=q

典例区：

例1：x

2

−

3

x

−

28

x^2-3x-28

x2−3x−28

分析：q=-28<0->两数异号

p=-3<0->负者绝对值大

寻找：4，-7（4+(-7)=-3，4×(-7)=-28）

结果：(

x

+

4

)

(

x

−

7

)

(x+4)(x-7)

(x+4)(x−7)

例2：x

2

+

4

x

y

−

21

y

2

=

(

x