高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 8.2 一元线性回归模型及其应用（含解析）

选择性必修第三册8.2一元线性回归模型及其应用一、选择题（共16小题）1.已知回归方程y=0.85x-85.7，则该方程在样本165,57 A.54.55 B.3.45 C.2.45 D.111.552.线性回归方程y=bx+ A.0,0 B.x,0 C.0,y3.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数为b，回归截距是a，那么必有   A.b与r的符号相同 B.a与r的符号相同 C.b与r的符号相反 D.a与r的符号相反4.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是   A.r越大，线性相关程度越强 B.∣r∣ C.∣r∣ D.∣r∣≤1，且∣r∣越接近1，线性相关程度越强，∣r5.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：父亲身高则y对x的线性回归方程为   A.y=x-1 B.y6.在两个变量y与x的统计模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是   A.相关系数r为0.98的模型1 B.相关系数r为0.80的模型2 C.相关系数r为0.50的模型3 D.相关系数r为0.25的模型47.登山族为了了解某山高ykm与气温x∘C之间的关系，随机统计了气温由表中数据，得到线性回归方程y=-2x+aa∈R A.-10 B.-8 C.-8.每天，随着清晨第一缕阳光升起，北京天安门广场都会举行庄严肃穆的升旗仪式，每天升国旗的时间随着日出时间的改变而改变．下表给出了2020年1月至12月，每个月第一天北京天安门广场举行升旗礼的时间：1若据此以月份（x）为横轴、时间（y）为纵轴，画岀散点图，并用曲线去拟合这些数据，则适合模拟的函数模型是   A.y=ax B.y=k⋅ax（k≠0， C.y=Asinωx+ D.y=k⋅logax（k≠09.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入据上表得回归直线方程y=bx+a，其中b=0.76，a= A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元10.对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：x根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则 A.85.5 B.80 C.85 D.9011.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35，则表中a A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.512.据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：x由表中样本数据求回归直线方程y=bx+a，则点a,b与直线 A.点在直线左侧 B.点在直线右侧 C.点在直线上 D.无法确定13.已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且y=0.95x+a，则ax A.2.8 B.2.6 C.3.6 D.3.214.在一次实验中，采集到的一组数据见下表：x根据上表中的数据，可知y关于x的函数关系与下列  类函数最接近．（其中a，b为待定系数） A.y=a+bx B.y15.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法中正确的是 A.l1和l2有交点 B.l1与l2相关，但交点不一定是 C.l1与l2 D.l1与l216.在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是   A.相关指数R2为0.95的模型 B.相关指数R2为0.81 C.相关指数R2为0.50的模型 D.相关指数R2为0.32二、填空题（共6小题）17.写出下列命题中所有真命题的序号

． ①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1； ②回归直线一定经过样本点的中心x, ③线性回归方程y=0.2x+10，则当样本数据中x=10 ④回归分析中，相关指数R218.已知两个具有线性相关关系的变量x与y的几组数据如下表x根据上表数据所得线性回归直线方程为y=710x+719.若回归直线方程中的回归系数b=0，则相关系数r=20.已知x，y取值如表：x画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为y=x+1，则m21.以模型y=cekx（e为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程为22.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：（已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系）学生的编号现已知其线性回归方程为y=0.36x+a，则根据此线性回归方程估计数学得90三、解答题（共5小题）23.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，7）建立模型②：（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由．24.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理后得到折线图如图，由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关性，请用样本相关系数r加以说明． 附：i=16xi-xyi 25.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17）建立模型②：（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值．（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由．26.某城区为了研究落后城镇居民家庭的月人均生活费支出和月人均收人的相关关系，随机抽出了10户进行调查，其结果如下：月人均收入试预测月人均收人为1100元和月人均收人为1200元的两个家庭的月人均生活费支出．27.随着智能手机的普及，使用手机上网成为人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x（单位：元/月）和购买人数y（单位：万人）的关系如表：流量包的定价参考数据：25000≈158，26000≈161， 参考公式：相关系数r=i=1nxi-xy（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关；（2）①求出y关于x的回归方程； ②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月，请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人．答案1.C2.D【解析】因为a=所以线性回归方程y=整理，得y-y=bx-x，故线性回归方程3.A【解析】由公式知道b与r的符号相同．4.D【解析】对于选项A，∣r∣越大，线性相关程度越强，对于选项B，∣r∣越小，线性相关程度越弱，对于选项C，∣r∣越大，线性相关程度越强，对于选项D，∣r∣≤1，且∣r∣越接近1，线性相关程度越强，∣r∣5.C【解析】计算得，x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+17756.A7.C8.C【解析】A选项：散点图：二次函数图象：该二次函数与散点图不符，故A错误；B选项：y=k⋅aC选项：三角函数图象：拟合后大致为：由图象知，y=Asinωx+φ+D选项：y=k⋅logax（k≠0，a9.B【解析】由题意可得x=y=代入回归方程可得a=8-0.76×10=0.4所以回归方程为y=0.76把x=15代入回归方程可得10.B【解析】因为x=5，回归直线方程为y所以y=54所以54×5=20+40+60+70+m所以m=8011.D【解析】由题意可知：产量x的平均值为x=由线性回归方程为y=0.7x+0.35，过样本中心点则y=0.7x+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5由y=2.5+3+4+表中a的值为4.5．12.C13.B【解析】x=y=a=14.B15.A16.A17.②④18.319.0【解析】相关系数r=i=1nxi-xy20.3【解析】计算x=y=所以这组数据的样本中心点是3,14+4又y与x的线性回归方程y=x所以14+4m解得m=32，即m的值为21.e【解析】因为y=所以两边取对数，可得lny令z=lny，可得因为z=0.4所以lnc所以c=22.73【解析】x=y=所以66=0.36×70+a，a即线性回归方程y=0.36当x=90时，y23.（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．24.由题可知，x=i=1则r=因为∣r∣非常接近1，所以酶的活性指标值y与温度x25.（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5×19=226.1利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010（ii）从计算结果看，相对于20