2023年西工大附中丘成桐少年班招生数学试卷及答案解析

2023年西工大附中丘成桐班数学初试卷一、填空题每小题6分，共60分）1.（量率对应）甲、乙、丙、丁四人去买电视机，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三人所带的钱总数的1丙带的钱是另外三人所带总钱数的1丁带2.（方程的应用）两人从甲地到乙地同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一个人用匀速4小时走完全程，经过小时，其中一人所剩路程的长度是另一人所剩路程长度的2倍。3.（割补法求面积）如图，直角梯形ABCD中四边形AEGF、MBKN都是正方形，且AE=MB,EP=KC=9,DF=PM=4,则△DPC的面积为.AFDGGNKCEPMB第3题图294.（分数的应用）今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃是坏的，其他是好的，29.有3是坏的，其他是好的，甲、乙两班分到的好桃共有个.5.（和差法求面积）如图，ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm,LDAB=30◦，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为654654312EEDCNMFHAB第5题图第6题图6.（钟表问题)假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3点18分时，时针和分针所形成的锐角是度。7.（接送问题）甲、乙、丙三人同时从A地出发到距A地100千米的B地，甲与丙以25千米/时的速度驾车行进，而乙却以5千米/时的速度步行，过了一段时间后，丙下车改以5千米/时的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上后前往B地，这样甲、乙、丙三人同时到达B地，此旅程共用时为小时。8.（最值问题）已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同的大于0的自然数，要使下列等式成立，A最小是.B+C=AD+E=BE+F=CG+H=DH+I=EI+K=F9.（逻辑推理）10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分，比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等，则第三名得分。10.（环形行程）如图，A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙二人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步甲、乙二人的速度未必相同）.假设当乙跑完100米时，甲、乙二人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇。那么当甲、乙二人第十二次相遇时，甲跑完圈又米。BBA第10题图二、解答题共60分）11.（平均数）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来。如下图所示，问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？(10分）8787412.（数列找规律）黑板上写着1至2022共2022个自然数，每次允许擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，一直按此方式操作至黑板上只剩下一个自然数，求这个自然数的最大可能值和最小可能值。(10分）l3.(平均数)从1到l3.(平均数)从1到n共n个自然数中,擦去其中的某一个数后,余下的数字的平均值为4815求擦去的数,14.（定义新运算）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“好数”。例如51251是“好数”，因为5+1+1=2+5。(15分）（1）求出最小的自然数，使得它本身以及与其相邻的下一个自然数都是“好数”；（2）是否存在3个连续的自然数均为“好数”？15.（上下坡问题）李刚骑自行车从甲地到乙地，要先骑一段上坡路，再骑一段平坦路。他到乙地后，立即返回甲地，来回共用了3小时。李刚在平坦路上比上坡路每小时多骑6千米，下坡路比平坦路每小时多骑3千米。还知道他在第1小时比第2小时少骑5千米，第2小时骑了一段上坡路，又骑了一段平坦路，第2小时比第3小时少骑了3千米。(15分）（1）李刚骑上坡路和下坡路所用的时间各是多少分钟？（2）甲、乙两地之间的距离是多少千米？参考答案一、填空题每小题6分，共60分）1.（量率对应）甲、乙、丙、丁四人去买电视机，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三答案：4200.解析:将总钱数看作“1,根据题意可知甲所带钱数为乙所带钱数为丙所带钱数为那1+2,1+3,1解析:将总钱数看作“1,根据题意可知甲所带钱数为乙所带钱数为丙所带钱数为那则四人所带的总钱数为9102.（方程的应用）两人从甲地到乙地同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一人用匀速4小时走完全程，经过小时，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。答案：2.4.解析：将两地之间路程看作“1”，设经过x时，其中一人所剩路程是另一人所剩路程的2倍。可列方程解得x=2.4.3.（割补法求面积）如图，直角梯形ABCD中四边形AEGF、MBKN都是正方形，且AE=MB,EP=KC=9,DF=PM=4,则△DPC的面积为.题图FFDGNKCAEPMB解析图答案：162.5.解析：因为AE=MB,EP=KC=9,DF=PM=4,设两个正方形的边长为x,所以如解图，连接GN,S△DPC=S△PGN+S四边形DCNG=(S长方形AFKB__S梯形AFGP__S梯形BKNP)+(S梯形DCKF__S△DFG__S△KCN)=[x(2x+13)__(x+x+9)×x÷2__(x+x+4)×x÷2]=13x++[(4+9)×(2x+13)÷2__4x÷2__9x÷=13x+.2.联立①②:x2+13x解得x=6,所以94.（分数的应用）今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有2是坏的，其他是好的，乙班分到的桃9.有3是坏的，其他是好的，甲、乙两班分到的好桃共有个.答案：75.解析：可设甲班分到9a个桃子，乙班分到16b个桃子。由题意可得9a+16b=95,经尝试解得a=7,b=2.则甲、乙两班分到的好桃共有75（个）.5.（和差法求面积）如图，ABCD是平行四边形，AD=8cm,AB=10cm,LDAB=30◦,高CH=4cm,弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为.答案:解析：由题图可知：S阴影=(S扇形BAE+S扇形DCF__S平行四边形ABCD)__(S平行四边形ABCD__S扇形MAD__S扇形BCN)=S扇形BAE+S扇形MAD+S扇形DCF+S扇形BCN__2S平行四边形ABCD=2(S扇形BAE+S扇形BCN__S平行四边形ABCD)=2×(+__10×4)=2×(+__10×4)360360.3=(82π__80)cm26.（钟表问题）如图，假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么.3=(82π__80)cm2锐角是度。答案：30◦解析：这个钟表的一大格是60◦,时针每小时转动360◦÷6=60◦,每分钟转动60◦◦,分针每分钟转动360◦÷36=10◦.3点18分时，时针从“3”顺时针旋转◦×18=30◦指向3和4中间，分针从“0”顺时针旋转10◦×18=180◦指向“3”。所以时针和分针形成的锐角是30◦.7.（接送问题）甲、乙、丙三人同时从A地出发到距A地100千米的B地，甲与丙以25千米/时的速度驾车行进，而乙却以5千米/时的速度步行，过了一段时间后，丙下车改以5千米/时的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上后前往B地，这样甲、乙、丙三人同时到达B地，此旅程共用时为小时。答案：8.解析：甲、乙、丙三人的行程如图所示：ABxC100-2xDx甲因乙、丙步行速度相同，故根据对称性有AC=DB,设AC=DB=x.丙完成此次行程所用时间为甲完成此次行程所用时间为根据三人同时到达可列方程4+解得x=25.即可得此次行程所用的时间为8.（最值问题）已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同的大于0的自然数，要使下列等式成立，A最小是.B+C=AD+E=BE+F=CG+H=DH+I=EI+K=F答案：20.解析：由上述等式可知：A=B+C=(D+E)+(E+F)=D+2E+F=(G+H)+2(H+I)+(I+K)=G+3H+3I+K.只有当H、I尽量小，G、K在H、I之后也尽量小，A才能最小。经试算，当H、I分别为1、2,G、K分别为4、7时，可得A的最小值是20.9.（逻辑推理）10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分，比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等，则第三名得分。答案：6.5.解析：10名选手比赛，每人须赛9盘，且第一名和第二名一盘都没输过，则第一名的得分不超过8.5分，第二名的得分不超过8分。得分排最后的四名选手之间共赛6盘，则这6盘比赛的总得分是6分，故后四名选手的得分总和至少是6分。已知第四名与最后四名选手的得分总和相等，则第四名至少得6分。由前两名的总分比第三名多10分可知，第三名至多得8.5+8__10=6.5（分）.所以第三名得6.5分。10.（环形行程）如图，A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙二人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步甲、乙二人的速度未必相同）.假设当乙跑完100米时，甲、乙二人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇。那么当甲、乙二人第十二次相遇时，甲跑完圈又米。BBA答案：6,340.解析：甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米;第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了100×3=300米;此时甲差60米跑一圈，可得乙共跑了0.5圈多60米，所以0.5圈是300__60=240米，一圈是240×2=480米。进而得出第一次相遇时甲跑了240__100=140米，以后每次相遇甲又跑了140×2=280米，所以第十二次相遇时甲共跑了140+280×11=3220米。结合一圈是480米，所以跑了3220÷480=6圈······340米，即甲跑完6圈又340米。二、解答题共60分）11.（平均数）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来。如下图所示，问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？(10分）84847解析：设亮出数11的人原来心中想的数为x.根据题意，亮9的人想的数为(7×2__x),亮8的人想的数为(10×2__x).因为亮4的人所亮之数为亮8和亮9的人所想之数的平均数，所以解得x=13。12.（数列找规律）黑板上写着1至2022共2022个自然数，每次允许擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，一直按此方式操作至黑板上只剩下一个自然数，求这个自然数的最大可能值和最小可能值。(10分）解析：先求剩下数的最大值，那么擦去的数应该尽量小，找到规律：首先擦去1,3,写上2;擦去2,2,写上2;擦去2,4,写上3;擦去3,5,写上4;擦去4,6,写上5;···擦去2020,2022，写上2021;所以剩下数的最大值为2021.同理可知剩下数的最小值为2.答：这个自然数最大可能值是2021,最小可能值是2.13.(平均数)从113.(平均数)从1到n共n个自然数中,擦去其中的某一个数后,余下的数字的平均值为48,求擦去的数,47,解析：擦去一个数后均值为48擦去一个数后的个数应该是47的倍数且在48×2=9647,原有47×2+1=95个数。1+2+··+95=4560。擦去后的和为，因此擦去了4560__4542=18。14.（定义新运算）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“好数”。例如51251是“好数”，因为5+1+1=2+5.(15分）（1）求出最小的自然数，使得它本身以及与其相邻的下一个自然数都是“好数”;（2）是否存在3个连续的自然数均为“好数”？解析：(1)由题意可知，“好数”的所