考研数学二（填空题）模拟试卷67

考研数学二(填空题)模拟试卷67

一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)

1、设X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),对固定的xo,若使函数

g(4)=卜(与)'

I°，为某随机变量的概率密度，则1<=.

标准答案：1.

知识点解析：考查概率密度的性质.如果x为连续型随机变量，概率密度为fix),

则主要利用JgEfOOdxT求取f(x)中未知参数，本题还要注意F,(x)=f(x).由题

意，要求g(x)K),LJ8g(x)dx=l,即有

/g(x)dx=f厂隼%也=；一~Z7-rff(x)dx=-含~~-F(x)I**

儿I-//)兀I-F(x0)l.o

=A=।，从而

k=l.

«.(1+工)；-e

2、求极限黑工=.

e

标准答案：-2

知识点解析：暂无解析

3、设a为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则矩阵E-acJ的秩为

标准答案：n—1.

知识点解析：本题考查由矩阵特征值求矩阵秩的方法.要求考生掌握抽象矩阵特征

值的求法及其有关性质和相似矩阵有相同的秩等有关理论.由于矩阵acJ的特征值

为0,0,1,故矩阵E-acJ的特征值为1,…，1,0,又由于实对称矩阵可

相似对角化，其对角矩阵的秩为n—1,且相似矩阵有相同的秩，故矩阵E-acJ

的秩为n—1.

123-

456

4、若A1789」，则A*=,(A*)*=.

-36-3，

6-126

标准答案：--36-3-；0

知识点解析：用定义.Aii=—3,Ai2=6,Ai3=-3,A21=6,A22=—12,A23=6,

-36-3'

A•=6-126•

A3i=-3,A32=6,A33=-3,故-36-3因为r(A")=l,A*的二阶

子式全为0,故(A*)*=0,

5、设z=z(x,y)由方程x-mz=(p(y—nz)所确定(其中m,n为常数，(p为可微函数)，

则""y=.

标准答案：i

知识点解析：暂无解析

6、若z=f(x,y)可微，且‘"则当x翔时

/Jrr)，

标准答案：-2

知识点解析：暂无解析

7、向量组用=(1,—1,2,4产,ct2=(可3,1,2)T,a3=(3,0,7,a)T,04=(L

2,2,0)丁线性无关，则未知数a的取值范围是。

标准答案：ag4

知识点解析：n个n维向量线性无关的充分必要条件是以n个向量组成的矩阵所对

应的行列式不为。。则ai,Q2，013,a4I=

103110

33-1

-130-203

一110

217201

2a-12-4

42Q002

30-

100

a-14=14—a^O.因此可得W14。

8、如果f(x)在［a,b］上连续,无零点,但有使f(x)取正值的点，则f(x)在［a,b］上的

取值符号为.

标准答案：正

知识点解析：利用反证法，假设存在点X]曰a,b],使得f(xi)V0.又由题意知存

在点X2W[a,b],X2/xi，使得f(X2)>0.由闭区间连续函数介值定理可知，至少存

在一点自介于XI和X2之间，使得熊尸0，显然乐[a,b],这与已知条件矛盾.

sinx.

：----：-OX

9、1+sinx

标准答案:secx一tanx+x+C

-^-dx=7-M?匣=/萼dx-ftan2xdx

知识点解析：1+sinxJCOSXJCOSXJ

=Jtanxsecxdx一f(sec2x-1)dx=secx-tanx+x+C«

2。一】、

n£-----；r\dJz

10、-l+xU~lI：

17

标准答案：6

X,0<x<1,

hm-2R-I

知识点解析：因为L"1+NNJVN<2,所以J02a

=f()lxdx+fi2xdx=

11、设产ln(l+3"),则dy=

_In3△工

标准答案：-1+3，

知识点解™求导八口23一')了.怦In3

1+3小

In3人

故“TT^^

12、+/1.

标准答案：2

知识点解析：原式=1：仅2+2父Ji--+(i_x2)]dx=JJdx+2j，4/l-1匕=2

13、

标准答案：”“si4一声/T=7+C

知识点解析:

V4_J*2d_r+4

J，4一工2，4一7'

4

arcsin,4—/，）+4arcsin~+C

77~2

=2arcsiny-y，4一犬+G

14、设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵

B,贝I」B“A=.

o

0

1

标准答案:0

1000

000000

0100~3

000

0100

]0000020

31000

0001

知织点解析:00010001

15、xX(l+lnx)的全体原函数为.

标准答案：xx+C,其中C为任意常数

知识点解析：因为(xX)=(eXmx)，=xX(l+lnx),所以Jx2(l+lnx)dx=xX+C,其中C为任

意常数.

16、曲线y=2M,(X?—7)(—coVxV+oo)的拐点是,

标准答案：(0,0)

知识点解析：l*2八＜0,*＜0-这里y(x)在(一00,y)连

续，(y'(0)，y"(0)均不与，y(x)在x=0两侧凹凸性相反，(0,0)是拐点.

-0-2-2-

22-2

17、矩阵〔一2-2一2」的非零特征值是

标准答案：4.

知识点解析：暂无解析

(为，其中f可导，则“智+»”

dxd

18、设2=乂丫+乂£1y=

标准答案：z+xy

知识点解析：

光-，+/号)一？/'号)噂=X+/号，则工+・灯+工/号)一/(少+〃(2)=3+1/号)=上+功

I-sin“工0・

19、设f(x,y)J俨°'个=_°'则fx'(0,l)=________.

标准答案：1

0

A(0,l)=lim-+一一/(°」)=lim竺=1.

知识点解析：“2ArxAr

20、设n阶矩阵A的秩为n一2,ai,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无

关的解，贝1」人*=1＞的通解为。

标准答案：ai+ki(a2ai)+k2(a2ai),ki，k2为任意常数

知识点解析：ai,a2,a3是非齐次线性方程组人*=6的三个线性无关的解，则a2一

ai，(X3—ai是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n—r(A)=2,故a2一

ai，013一囚是Ax=0的基础解系,所以Ax=b的通解为cq+kig—ai)+k2(ot2一

ai),k|,k2为任意常数。

21、微分方程(1一xX)y—xy=0满足初值条件y(l)=l的特解是.

标准答案：户官+“")

知识点解析：

原方程化为?=(十一工)疝.

积分得通解Iny=InGr—Jf,即y=CreTt由初值y(D=1解出C=e+得特解.

4

22、设A是三阶实对称矩阵，其特征值为入1=3,上=入3=5,且入1=3对应的线性

无关的特征向量为ai=,则12=入3=5对应的线性无关的特征向量为

01

a,=1皿0

O/

标准答案：1

知识点解析：因为实对祢矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令入2=入3=5对应

N1

的特征向量为”3,由ajN3=0得12=入3=5对应的线性无关的特征向量为a2

01

10

—0,0.3=1

(cosx)rX0,

/(x)=

23、设a.”=0在*=0处连续，则a=.

标准答案：

7

limf(z)=lim｛「l+(COSJ--1)]'i｝壁'=e'

知识点解析：2'I