江苏某中学18-19高三年级下册开学质量检测-数学

江苏扬州中学18-19高三下开学质量检测一数学

数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分,请将答案填写

在答题卷相应的位置上）

lo已知集合。

2.在复平面内，复数日勺对应点位于第象限。

3,向量，若，则实数日勺值为。

4.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图.

那么甲、乙两人得分的平均分（填〈，〉，=）

5o设且，则“函数在上是减函数〃，

是“函数在上是增函数”的条件.

6o某程序日勺框图如图所示，执行该程序,若输入日勺为，

则输出时时值为.

7.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点

的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是.

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为。

9.数列满足且对任意日勺，都有，则的前项和.

10。已知函数,其中.若时值域是，则H勺取值范围是.

Ik一个等差数列中，是一个与无关日勺常数，则此常数的集合为.

12.点在不等式.表示的平面区域内，若点到直线时最大距离为，则

k二,

13.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为

等腰三角形,则椭圆欧I离心率的I取值范围是.

14o设tR,若x>0时均有，则t=.

二、解答题：(本大题共6道题，计90分.解答应写出必要W、J文字

说明、证明过程或演算步骤)

15.已知的三个内角，，所对口勺边分别是，，，，.

(I)求的值;

(II)求的面积。

16o在直三棱柱中,二2，。点分别是，的中点，是棱上的动点。

(I)求证：平面；

(H)若〃平面，试确定点的位置,并给出证明；

17.如图所示，有一块边长为日勺正方形区域，在点处有一个可转动的

探照灯.，其照射角始终为弧度(其中点分别在边上运动)，设，.

(1)试用表示出的长度，并探求日勺周长；

(2)求探照灯照射在正方形内部区域日勺面积的最大值。

18.已知数列的前项和为，且满足:，N*,.

(I)求数列口勺通项公式；

(【I)若存在N*,使得,，成等差数列，试判断：对于任意日勺N*,

且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.

19o已知椭圆的离心率，一条准线方程为

⑴求椭圆的I方程；

⑵设为椭圆上日勺两个动点，为坐标原点,且.

①当直线的倾斜角为时，求日勺面积；

②是否存在以原点为圆心口勺定圆，使得该定圆始终与直线相切?若存

在,请求出该定圆方程；若不存在,请说明理由.

20.己知函数日勺定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”;

若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数

〃组成的集合记为。

(I)已知函数，若且，求实数的取值范围；

(11

)已

知，

且时

部分

函数

值由

下表

给

出，

求证：；

(山)定义集合

请问：是否存在常数，使得,，有成立?若存在，求出H勺最小值；若不

存在，说明理由.

附力口题

1.已知,，求曲线在矩阵MN对应日勺变换作用下得到出J曲线方程.

2o在极坐高二年级高三年级

标系中，

圆C:和直

线相交于

A.B两点,

求线段AB

时长.

3o今年雷

锋日，某

中学预备

从高中三

个年级选

派4名教师

和20名学

生去当雷

锋志愿者，

学生的名

额分配如

(I)若从20下：名学生中选

出3人参加文高一年级明交通宣传，

求他们中恰10人6人4人好有1人是高

一年级学生的概率；

（ID若将4名教帅安排到三个年级（假设每名教帅加入各年级是等

可能日勺，且各位教师的选择是相互独立日勺），记安排到高一年级的教

师人数为，求随机变量的分布列和数学期望。

4.对于数集，其中，，定义向量集

.若对于任意，存在，使得，则称X

具有性质P。例如具有性质Po

⑴若，且具有性质，求日勺值；

（II）若X具有性质P,且xl二1,x2=q（q为常数）,求有穷数列的通

项公式.

参考答案

1.2.二3.4.〈5.充分不必要6.7.

8.9.10.11.12.13.14.

15.（14分）解：（I）解

...........................5分

（II）由（I）知,................................7分

*

••

・・・...............................10分

...............................14分

16.（14分）

（I）证明：・・•在直三棱柱中，，点是日勺中点,

：•....................1分

・・・，平面................3分

平面

•**,即............5分

又

・•・平面........................7分

（II）当是棱的中点时，〃平面。.....................8分

证明如下：

连结，取的中点H,连接，则为的中位线

.・・〃，.............10分

・.,由已知条件，为正方形J〃，;为日勺中点，J...........12

分

・•・〃，且

・・・四边形为平行四边形，〃

又I................又分

.・・〃平面................14

17.（15分）（1）设，，，，，

（2分）

・・・，为定值.（7分）

（2）............（10分）

又函数在上是减函数，在上是增函数，.......（12分）

・・・，J.............（14分）

所以探照灯照射在正方形内部区域的面积日勺最大值

为。.......（15分）

18.（15分）解析：（I）由已知可得，两式相减可得，即，又，

所以当厂0时，数列为a,0,0……,0,……；当时，由已知，所以，于

是由，可得，所以成等比数列，当时，。

综上,数列的通项公式为：

（II）对于任意日勺，且，是否成等差数列，证明如下：

当r=0时,由（I）,知，

故对于任意的，且,7成等差数列；

当时，，.

若存在，使得成等差数列，则，

，即，

由（I）,知的公比，

于是对于任意的，且，，从而，

,即成等差数列。

综上，对于任意日勺，且，成等差数列.

19.（1）因为，，，.......................2分

解得，所以椭圆方程为.4分

（2）①由，解得，•…•,6分

由得，.........................................8分

所以，所以........................10分

②假设存在满足条件的定圆，设圆W、J半径为，则

因为，故，

当与日勺斜率均存在时，不妨设直线方程为：,

由，得,所以，.................12分

同理可得（将中欧!换成可得）.................14分

当与的斜率有一个不存在时，可得，

故满足条件的定圆方程为：.....................16分

20.（16分）解：（I）因为且，

即在是增函数，所以...........2分

而在不是增函数，而

当是增函数时，有，所以当不是增函数时，

综上，得.......4分

（II）因为，且

所以,所以，

同理可证，

三式相加得

所以...........6分

因为所以

而，所以

所以............8分

(III)因为集合

所以，存在常数，使得对成立

我们先证明对成立假设使得，

记因为是二阶比增函数，即是增函数。

所以当时，，所以

所以一定可以找到一个，使得

这与对成立矛盾............11分

对成立所以，对成立

下面我们证明在上无解假设存在,使得，

则因为是二阶增函数，即是增函数

一定存在，，这与上面证明日勺结果矛盾

所以在上无解

综上，我们得到，对成立

所以存在常数，使得，，有成立

又令，则对成立，

又有在上是增函数，所以，

而任取常数，总可以找到一个，使得时，有

所以日勺最小值为。............16分

1。【解析】本题考查矩阵日勺乘法，MN二二，...........4分

设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点,则有

于是，・・・・..............................8分

代入得，

所以曲线在批对应的变换作用下

得到的曲线方程为......................10分

2.解：本小题主要考查直线、圆的J极坐标方程、直线与圆KJ位置关系

等基础知识,考查运算求解能力.分别将圆C和直线1时极坐标方程化

为直角坐标方程：

3o解：(I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件,则

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰

好有1人是高一年级学生的概率为...............4分

(II)解法L的所有取值为0,1,2,3,4,由题意可知，每位教师选择

高一年级W、J概率均为.所以；；

随机01234

变量

KJ分

布列

为：

所以

解法2:随机变量服从参数为4,的二项分布，即二

随机01234

变量

的分

布列

为：

所以

4.解：（1）选取,Y中与垂直的元素必有形式。……2分

所以尸2仇从而44。...4分

（2）［解法一］猜测，i=l,2,…，no''

记，k=2,3,…，no

先证明：若具有性质匕则也具有性质P。