考研数学三线性代数历年真题汇编2-无答案

考研数学三(线性代数)历年真题汇编2

(总分74,考试时间90分钟)

1.选择题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A和B都是nxn矩阵，则必有【】

A.IA+BI=IAI+IB

B.AB=BA

C.IAB|=|BA|

D.(A+B)-1=A-1+B-1

2.设A是mxn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r,则

[].

A.r>l.

B.r<rl.

C.r=rl.

D.r与rl的关系依C而定.

3.设n阶矩阵A非奇异(行N2),A*是矩阵A的伴随矩区，则【】

A.(A*)*=|A|n-lA

B.(An)n=IAIn+lA

C.(An)n=|AIn-2A

D.(An)n=IAIn+2A

4.设A、B为同阶可逆矩阵，则【】

A.AB=BA.

B.存在可逆矩阵P,使p/AP=B.

C.存在可逆矩阵C,使CTAC=B.

D.存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B.

5.设n(应3)阶矩阵的秩为，n—1,则a必为【】

1aa…a'

•a1aa

A=aa1a

••••

••••

..aaa1.

(A)1(B)(0-1(D)

1-n

A.B.

C.D.

6.设其中A可逆，则B-l等于

poor-1000-

01000010

Pi=，Pz=

00100100

J000..0001.

A.A-1P1P2

D.P1A-1P2

C.P1P2A-1

D.P2A-1PI

7.设n阶矩阵A与B等价，则必有【】

A.当IAI=a(a和)时,IBI=a.

B.当IAI=a(a¥O)时，IBI=—a.

C.当IA|刈时，IB|=0.

D.当IAI=0时,IB|=0.

8.设矩阵A=(aij)3x3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若al1,

al2,al3为三个相等的正数，则all,为【】

(A)名(B)3(C)(D)V3

3J

A.B.

C.D.

9.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的一1倍加到第2列

得C,记，则【】

110,

P=010

001.

A.C=P-1AP.

B.C=PAP-1.

C.C=PTAP.

D.C=PAPT.

10.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A=0,则【】

A.E—A不可逆，E+A不可逆.B.E—A不可逆，E+A可逆.

C.E-A可逆，E+A可逆.D.E-A可逆，E+A不可逆.

11.设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵.若|A1=2,IB|=3,则

分块矩阵的伴随矩阵为【】

OA

BO

A.B.

C.D.

12.设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且若P=(al,a2,a3),Q=(al+a2,a2,a3),

贝ijQTAQ为[]

10O,

PTAP=010

002

210]110200)100

(A)110.(B)120.(C)010(D)020

002002j00002,

A.B.

C.D.

13.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得

单位矩阵.记，则A=[]

1000、

1101

0010,

A.P1P2.

B.P-11P2.

C.P2P1.

D.P2P-11.

14.设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=(al,a2,a3),Q=(al+a2,a2,a3),

则Q-1AQ=1)

100

P'lAP=010

002,

10010O,200、200

(A)020.(B)010.(C)010.(D)020

001,002002.001.

A.B.

C.D.

2.填空题

1.设矩阵，则A・l=

2.若A和B都是n阶非零方阵，且AB=O,则A的秩必小于n().

3.设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则X-1.

rO

X=

4.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且IAI=a,IBI=b,,则ICI=

-OA-

.BO_

5.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为一

6.设其中ai#),i=l,2,...»n,则A-l=.

-o<21o•••0-1

00az0

•・■*••*

.■••

000•••a1

a00…0.

7.设，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-l=

100-

220

[345.

8.设矩阵A,B满足A*BA=2B4—8E,其中，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则

B=.

"100-

A=0-20

.001-

9.设，而n>2为正整数，则A*—2An-l=

■1or

A=020

J0L

10.设矩阵且秩(A)=3,则k.

>iir

1^11

A=

11^1

_111

11.设n维向量a=(a,0,...»0,a)T,a<0；E为n阶单位矩阵,矩阵A=E—aaT,B=E+,

其中A的逆矩阵为B,则@=

■yaar

12.设矩阵，则A3的秩为.

0100

0010

A=

0001

,0000,

13.设A,B为3阶矩阵，且IAI=3,IB|=2,IA_-l+BI=2,则IA+B-lI=.

14.设A为3阶矩阵，IAI=3,A*为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行得矩阵

B,贝I」|BA*|=.

15.设A=(aij)是3阶非零矩阵，IAI为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,

j=l,2,3),则IA|=.

3.解答题

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B,其中，求矩阵B.

-423-

A=110

-123.

2.设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式，求行列式I(3A)-1-2A*的值.

3.已知X=AX+B,其中求矩阵X.

4,已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=O,试证明矩阵E-A可逆，并写出其逆

矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

5.设A为n阶非奇异矩降，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴

随矩阵，I为n阶单位矩阵.(1)计算