考研数学一（线性代数）模拟试卷107

考研数学一(线性代数)模拟试卷107

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设A,B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是().

A、|A+B|=|A|+|B|

B、若|AB|=0,则A=0或B=0

C>|A-B|=|A|-|B|

D、|AB|=|A||B|

标准答案：D

(1°)

知识点解析：(A)、(C)显然不对，设A4l0/,HH,显然A,B都是非零

矩阵，但AB=O,所以|AB|=0,(B)不对,选(D).

2、设A为n阶矩阵，k为常数,则(kA)*等于().

A、kA*

B、knA"

C>kn,A*

D、川广】)A*

标准答案：C

知识点解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n—1阶子

式，所以(kA)*=k11",选(C).

,23

24

3、设P=、369。Q为三阶非零矩阵,且PO=O,则().

A、当t=6时，r(Q)=l

B、当t=6时,r(Q)=2

C、当日6时,r(Q)=l

D、当，6时,r(Q)=2

标准答案：C

知识点解析：因为Q，O,所以r(Q)斗又由PQ=O得r(P)+r(Q)W3,当厚6时,

r(P)>2,WJr(Q)<l,于是r(Q)=l,选(C).

4^若向量组ai，。2，口3，线性相关，且向量《4不可由向量组口1，口2，线性

表示，则下列结论正确的是().

A、ai，a2，a3线性无关

B、ai，a2,013线性相关

C>ai,a2,014线性无关

D、ai，a2，04线性相关

标准答案：B

知识点解析：若ai，a2,。3线性无关，因为04不可由ai，a2,(13线性表示，所以

ai，a2，(X3，04线性无关，矛盾，故ai，a2，(13线性相关，选(B).

5、设A是mxn矩阵，且m>n,下列命题正确的是().

A、A的行向量组一定线性无关

B、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解

C、人1人一定可逆

D、ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n

标准答案：D

知识点解析：若ArA可逆，则r(A,A)=n,因为r(A,A)=r(A),所以r(A)=n；反

之,若r(A尸n,因为r(ATA)=r(A),所以A,A可逆,选(D).

6、若AX=0的解都是BX=0的解,则r(A)》(B)(2)若r(A)Nr(B),则AX=0的解都是

BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，贝ljr(A)=r(B)(14)若r(A)=r(B),贝I」AX=0与

BX=0同解以上命题正确的是().

A、⑴⑵

B、(1)(3)

C、⑵(4)

D、⑶(4)

标准答案：B

知识点解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)<n-r(B),

从而r(A)>r(B),(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩

相等，但反之不对，所以⑶是正确的，(4)是错误的，选(B).

7、设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为川，a2,cz3,令

P=(3a2,-a3,2ai),则P】AP等于

/-100\/200

(A)010(B)010

'002/'oo-l

/300

(D)0-20

'00-2

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：显然3(X2，—。3,2al也是特征值1,2,一1的特征向量，所以P

!AP-1选(C).

8、设A,B为n阶可逆矩阵,则().

A、存在可逆矩阵P,使得p-1P=B

B、存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B

C、A,B与同一个对角矩阵相似

D、存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ二B

标准答案：D

知识点解析：因为A,B都是可逆矩阵，所以A,B等价，即存在可逆矩阵P,

Q,使得PAQ=B,选(D).

二、填空题(本题共3题，每题分，共3分。)

/I23、

246

9、设A=3/JB为三阶矩阵，r(B*)=l且AB=O,则t=.

标准答案：6

知识点解析：因为r(B*)=l,所以r(B)=2,又因为AB=O,所以r(A)+r(B)&3,从而

r(A)<l,又r(A)>l,r(A)=l,于是t=6.

10、设入2,入3是三阶矩阵A的三个不同特征值，⑴，(X2,分别是属于特征

值入1，入2,入3的特征向量，若ai，A(ai+a2),人2(叫+口2+。3)线性无关，则入1，九2，

13满足_______.

标准答案：入2九3声。

知识点解析：令xiai+x2A(ai+a2)+x3A2(ai+a2+a3)=0，即

(X1+QX2X2+Xl2X3)ai+()v2X2+入213)=2+入3%3013=0，则有X|十九1X2+入12X3=0，

1AiA?l

0#：

A2A?O=>

入2X2+入22X3=O，入32X3=O.因为XI，X2，X3只能全为零，所以。。Y

九2九3川.

11、f(xi，X2，X3，X4户XTAX的正惯性指数是2,且A2-2A=O,该二次型的规范

形为.

标准答案：yi2+Y22

知识点解析：A2-2A=O=>r(A)+r(2E-A)=4=>A可以对角化，入尸2,入2=0，又二次

型的正惯性指数为2,所以入产2,入2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为

22

yi+Y2.

三、解答题(本题共"题，每题1.0分，共“分。)

1+a1

12、计算2,♦・・，n).

标准答案:

•••

ax011+QI10

•••

0at111+。20

••*+*•

•♦•■*•■••

00•••111•••a.

=

=3)32...Hn—l+<lnDn—］二…Hn—1+@虱@m2…Hn—2+an-iDn-2)3132...Hn—11^2•••—

2an+andn-1Dn—2

%。2・・・。・.a］即…a.

=…=-------------1-------------+…+------1+a.0i…七。+即)

知识点解析：暂赢足

13、设A为n阶矩阵，证明：r(A)=l的充分必要条件是存在n维非零列向量a,

,使得A=apT.

标准答案：设r(A)=l,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例,

…如)，令

故人=(1「，显然a,。为非零向量.设A=apE其口口，(3为非零向量，则A为非

零矩阵，于是r(A)>l,又r(A)=r(apT)<r(a)=l»故r(A)=l.

知识点解析：暂无解析

14、设囚，।J.飞，证明：内，a2,…，即线性无关的充分

w1®I®iaz。ia.

a,a14%a»®»f0.

•••

•••♦

aLia：4…a：。.

必要条件是

a,aiaa2•••a：0rl.

a：a2…a：a.

=I；；

标准答案：令A=(a］，Q2,…，斯)，ATA/叫窃&…a：a"

r(A)=r(ATA),向量组ai，。2，…，如线性无关的充分必要条件是r(A)=n,即

r(A1A)=n或|A「A|¥0,从而内，a2,…，an线性无关的充分必要条件是

/0・

知识点解析•：智尢解析

日)

15、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a,b,c且不全为零，又B=、36"且

AB=O,求方程组AX=O的通解.

标准答案：由AB=O得r(A)+r(B)S3且r(A)Nl.(1)当厚9时,因为r(B)=2,所以

r(A)=l,方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取

B的第1、3两列，故通解为y'J(k|,k2为任意常数)；(2)当k=9时，

5

(C为任意常数)

r(B)=l,l<r(A)<2,当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当

r(A)=l时，

1

由一。

0k2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

―21]+zz+azj-51，=1[J:J+=1

(I)*xI+x2-xa-^6x(=4♦(II)*J：—=2

3小+孙+川+2孙=。[孙+工4=-1问a,b,c取何值时,

16、

（I）,（口）为同解方程组?

标准答案：方法一

/I001

2卜（ID的通解为£

3=010-2为任意常数）

'001-1

把（U）的

1—2(—A+D+2£+2+a(—k—1)—5£=1la——1

A+1)+2A+2—(―A—1)+及=4=)6=—2.

得;3(一万+1)+2左+2+(—A-l)+2A=ck=4方法

通解代入（I）,

二因为（I）,（口）同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，（口）的增广矩阵

为阶梯阵，其行向量组线性无关,

仇，p2»仇唯一线性表出,ai=-2pi+p2+ap3=>a=—La2可由。i，p2»仇唯一线

性表出，a2=Pl+p2—p3=>b=-2,（X3可由Bl，02，。3唯一线性表出，。3=3优+02+03

=^c=4.

知识点解析：暂无解析

即工1+•-+CI|.X.二册

+a〃*2H------FaX.=九/,、

4.2-（I）

*.

17、证明线性方程组aE-+a・/z+…+。・*,=心有解的充分必要条件是

+。21”+…=0

+而“++—%=o

。12»1+。:2»+…+%2力=0

+・“=o

5.(U)与4:(DI)

*■

50+…=0

+a“z+…=0

方程组dW+6沙2+…+力以=0是同解

方程组.

QiJ

令A=

、(DI)可分别写

为ATY=O及%”Y=0.若方程组(I)有解，则r(A)=r(Ab),从而「⑺丁)』”"，又

因为(DI)的解一定为(II)的解，所以(D)与(HI)同解；反之，若(D)与(IE)同解，则

r(AT)=r^T＜从而r(A)=r(A町,故方程组(I)有解。

知识点解析：暂无解析

+彳2-八=1

(11？+JT?=6

18、讨论方程组；2。+2公+6八=2的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中

a,b为常数.

a1-1

D=1—11

标准答案：32b=—(a+l)(b+2).⑴当a#—1,b声一2时，因为

D#),所以方程组有唯一解，由克拉默法则得

6+】ab2-2a+6汐二1)3+D

八

a+1"(G4-1X64-2)(a+D(b+2)/⑵当a二一1,忤一2

-11-111-1;)

1-11b04b—2

时,22b20001当厚一1时，方程组无解

100

一11-1T

04一342

A011

00007

当b二一1时,00o0方程组的通解为

X="34-1(^为任意常数).

'4/'o'

(3)当ar—1,b=—2时,

100

11-11

当a=l时.A—|0—22—33

01-1

00002

0000方程组的通

a为任意常数).

解为

当a*时,显然r(A)=2#r(不=3,方程组

无

解

知

谢

暂无解析

设A='l00/相似于对角阵.求：

19、a及可逆阵P,使得p—】AP=A,其中A为对角阵：

标准答案：仇E-A|=0=>中入2=1，入3=—1.因为A相似于对角阵，所以r(E-A)=l

/°°^

=>a=-2=>A=H212.

100(E—A)X=0基础解系为占=(0,1,0)T,^2=(1,0,

1)三(一E-A)X=0基础解系为之二(1,2,一19，令P=Q,42,自3)，则

,AP=diag(l,1,-1).

知识点解析：暂无解析

20、A100.

标准答案：piAi0°P=E=>Ai°°=PP1=E.

知识点解析：暂无解析

11ao2

0120

00-1b

21、设A二00O-1J有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向

量,并求A?。叱

标准答案：因为A为上二角矩阵，所以A的特征值为入］=入2=1，入3及4二一1•因为

A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有

0-a0-2-2-a0-2

00-200-2-20

r(E-A)2.r(—E—A)=r

002一h000-b

00020000

于

10

0

&=

0

是a=0,b=0.当入=1时,由(E—A)X=O得。00当X=-l时,由LE

，'1010I(1

0101I,因为p-」p=1

令尸=

000-1-1

000

一A)X=O得益-1所以P

12sop二E,从而A20叫E.

知识点解析:暂无解析

r1f\

0b0

设A1一4c1一’的一个特征值为人|=2,其对应的特征向量为自尸

22、求常数a,b,c；

标准答案：由A欧=2生，

‘a+2+2c=2仿=—2I—211

得<26=4，解得〃=2•则A=020

1―4+2c+2-2。=4[c=1—413

知识点解析：暂无解析

23、判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P,使得P「AP为对角矩

阵.若不可对角化，说明理由.

A4-2-1-1

=0A-20

标准答案：由仇E-A|4一1入―3=0,得入］=Q=2,入3=—L由(2E—

A)X=0,由(一E—A)X=0,得a3=('lI，显然A可对角化，令

/I11、/

P=I00,则P-AP"

'o4r-1

知识点解析•：暂无解析

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5,AX=O有非零解且Q=2是A的

特征值，对应特征向量为(-1,0,1)T