考研数学二（线性代数）模拟试卷44

考研数学二（线性代数）模拟试卷44

一、选择题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

1、设A,B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是().

A、IA+BI=IAI+IBI

B、若IABI=0,则A=O或B=O

C、IA-B|=IAI-IBI

D、IABI=IAIIBI

标准答案：D

(1°),B=(°°)

知识点解析：(A)、(C)显然不对，设A='l0/”V,显然A,B都是非

零矩阵，但AB=O,所以IABI=0,(B)不对，选(D).

2、设U|,«2»U3，pl，。2都是四维列向量，且IAI-a”U2»PlI=m,I

BI=ai，a2，02，a3=n,则Ias，g,ai，仇+命I为().

A、m+n

B、m-n

C、-(m+n)

D、n-m

标准答案：D

知识点解析：I(X3，a2，Ct],Pl+02I=I。3，ai，PlI+I(13，012，a],02I

=-Ia2，a2，03,PiI-Iai,s，013,P2I=-I四，«2»«3>PiI+Iai,012，

02，a3I=n-m.选(D).

3、设A是mxn阶矩阵，B是nxm阶矩阵，则().

A、当m>n时，必有IABI翔

B、当m>n时，必有IABI=0

C、当n>m时，必有IABI翔

D、当n>m时，必有IABI=0

标准答案：B

知识点解析：AB为m阶矩阵,因为r(A)$min{m,n),r(B)<min{m,n),且

r(AB)<min{r(A),r(B)j»所以r(AB)二min{m,n}*故当m>n时,r(AB)<n<m»7

是IABI=0,选(B).

4、设A,B,A+B,A」+B“皆为可逆矩阵,则(A"+B”)“等于().

A、A+B

B、A"+B”

C、A(A+B)-IB

D、(A+B)-1

标准答案：C

知识点解析：A(A+B)-1B(A-14-B1)=[(A4-B)A-，rl(BA-,+E)=(BA1+E)-,(BA-1+E)=E,

所以选(C).

5、设A,B都是n阶可逆矩阵，则().

A-.(A+B)*=A+B

B、(AB)*=BW

C、(A-B)*=A*-B’

D、(A+B)”一定可逆

标准答案：B

知识点解析:因为(AB"IABI(AB〉匕IAIIBIB"A"=IBIB1.IAIA-

=BA*,所以选(B).

6、设A为n阶矩阵，k为常数，则(ka)*等于().

A、kA*

B、knA"

C、QA*

D、内什以"

标准答案：C

知识点解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子

式，所以(kA)*=kn/A*,选(C).

7、设A为n阶矩阵,A2=A，则下列成立的是().

A、A=O

B、A=E

C、若A不可逆，则A=0

D、若A可逆，则A=E

标准答案：D

知识点解析:因为A2=A,所以A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得r(A)+r(E・A)=n,若

A可逆，则r(A)=n,所以r(E-A)=O,A=E,选(D).

8、设A为mxn阶矩阵，且r(A尸mVN,则().

A、A的任意m个列向量都线性无关

B、A的任意m阶子式都不等于零

C、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D、矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em，0)

标准答案：C

知识点解析：显然由r(A)=m〈n,得r(A)=r(A)=m〈n,所以方程组AX=b有无穷多

个解.选(C).

5回

U

9、设P产0p2=,若P/AP()n二则m,n可取().

A、m=3,n=2

m=3»n=5

C>m=2»n=3

D、m=2,n=2

标准答案：B

片23a22a

a12a11I

a”

mn

知识点解析:PiAP2=。33。32经过了A的第1,2两行对调与第1,3两

Fxi、

列对调，Pi==E|2»P2==Ei3，且E「=E,PimAP2=PiAP2n»则m=3,n=5,即

选(B).

10、设

/

aIaz*02r

000r4000

b\b2包b,仇/*0100

•B=0010

,P]=9匕p—

ClJJqe200100100

d\dzd小dz*1000,0001

，则B」为().

-1

A、AP|P2

-|

B、PIAP2

C、PRA"

-I

D、P2API

标准答案：c

知识点解析：B=AE14E23或B=AE2正14即B二APR或B=AP2P1，所以B-Zp^Pi

A/或B"=PJP2"AL注意到EiJ=Eij,于是B-LP2P1A/或B-1=PIP2A",选

(C).

二、填空题(本题共9题，每题L0分，共9分。)

2345

77733

32452

33322

11、设D=46523则A31+A32+A33二

标准答案：0

知识点解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+OA34+。A33

1234512345

7773300033

11100=11100=0.

3332200022

4652346523

12、设A,B都是三阶矩阵，A相似于B,且IE-AI=IE-2AI=IE-3AI=0,

则IB"+2EI=.

标准答案：60

知识点解析：因为IE-AI=IE-2AI=IE-3AI=0,所以A的三个特征值为

i_2£j_

于’21,又A〜B,所以B的特征值为5'万，1,从而B」的特征值为1,2,3,

则B“+2E的特征值为3,4,5,故IB"+2EI=60.

13、设A为三阶正交阵，且IAIVO,IB-AI=-4,贝I」IE-ABTI=.

标准答案：-4

知识点解析:IAI<0=>IAI=-l.IE-ABTI=IAAT-ABI=IAII(A-B)TI

=-IA-BI=IB-AI=-4.

14、设A为n阶矩阵，且IAI=a^0,则I(kA)*I=.

标准答案：kn(n-,)an-1

知识点解析：因为(kA)*二A*,且IA*I=IAInl,所以I(kA)*I=Ikn-1A*I

=kn(n-1)IAI向二收1纽”.

、

(220

30

15、设A,B都是三阶矩阵，A='l23,且满足(A*)/B=ABA+2A2,则

B=

「10100\

3

1000

10

16,

标准答案:'-1

2

知识点解析:IAI=3,A*=IAIA-1=-3A-,则(A*)/B=ABA+2A2化为3

1[*1

AB=ABA-2AJ注意至I」A可逆，得三B=BA+2A或-B=3BA+6A,则B=

6A(E+3A)",E+3A=，(E+3A)"二则B=-6A(E+3A)"二

「)

16、设矩阵A,B满足A'BA=2BA-8E,且A=1,则B=_____.

2

标准答案：I-2/1

知识点解析：由A*BA=2BA-8E,得AA/BA=2ABA-8A,即-2BA=2ABA-8A,于

f-1

是-2B=2AB-8E,(A+E)B=4E,所以B=4(A+E)"='42’

名外

标准答案：aIa2

/O0

01

o=E13，回二Eg因为Ei『-Eij,所以Eij2=E,

知识点解析：10于是二E13

I12

(24

18、设八=319,B为三阶矩阵，r(B*)=l且AB=O,则1=

标准答案：6

知识点解析：因为r(B*)=l,所以r(B)=2,又因为AB=O,所以r(A)+r(B)g3,从而

r(A)<l,又r(A)Nl,r(A)=1,于是t=6.

19、设A=42a\B，O为三阶矩阵，且BA=O,则r(B)=.

标准答案：1

知识点解析：BA=0=>n：A)+r(B)<3,因为r(A巨2,所以r(B)gl,又因为B#3,所以

r(B)=l.

三、解答题(本题共6题，每题分，共6分。)

20、设A是正交矩阵，且IAI<0.证明：IE+AI=0.

标准答案：因为A是正交矩阵，所以ATA二E,两边取行列式得IAI2=1,因为|

AIV0,所以IAI=-1.由IE+AI=IATA+AI=I(AT+E)AI=IAII

AT+EI=-IAT+EI=-I(A+E)TI=-IE+AI得IE+AI=0.

知识点解析：暂无解析

21、设A=(aij)nxn是非零矩阵，且IAI中每个元素ag与其代数余子式Ag相

等.证明：IAI#).

标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零

行，贝ijIAI=akiAki+ak2Ak2+…+aknAkn=au+ak2+…+akn~>0・

知识点解析：暂无解析

22、计算D2n二ba

222222n

标准答案：D2n=aD2n-2=bD2n-2=(a-b)D2n-2=...=(a-b).

知识点解析：暂无解析

1+aI1…1

1】十02…1

•••

■•••♦•

23、计算11…1+a.(a#0,i=1,2,.・.，n).

标准答案：Dn=

=a]a?...an-1+anDn.i=aia2...an.]+an(aia2...an.2+an-1Dn-2)=a)a2...an.i+aia2...an.

□

2an+anan-iDn-2=…=+anan-i...32(1+ai)=aia2...an

知识点解析：暂无解析

0100

002…0

••**

•.•*■

000•••n-1

C0•••0

24、设D=W求Aki+Ak2+…+Akn・

010•••0

10•••0

002•••0

••*■02•••0